Kako pronaći područje različitih oblika. Određivanje površine lika omeđenog linijama y=f(x), x=g(y)

Kako pronaći područje figure?

Poznavanje i sposobnost izračunavanja površina različitih figura potrebno je ne samo za rješavanje jednostavnih geometrijskih problema. Ne možete bez ovog znanja kada sastavljate ili provjeravate procjene za popravke prostora, izračunavajući količinu potrebnih potrošnih materijala. Dakle, shvatimo kako pronaći područja različitih oblika.

Dio ravnine sadržan unutar zatvorene konture naziva se područje ove ravnine. Površina se izražava brojem kvadratnih jedinica sadržanih u njoj.

Da biste izračunali površinu osnovnih geometrijskih oblika, morate koristiti ispravnu formulu.

Površina trokuta

Oznake:

Ako su h, a poznati, tada se površina traženog trokuta određuje kao umnožak duljine stranice i visine trokuta spuštene na ovu stranu, podijeljen na pola: S=(a h)/2
Ako su a, b, c poznati, tada se tražena površina izračunava pomoću Heronove formule: kvadratnog korijena uzetog iz umnoška polovice opsega trokuta i tri razlike polovice opsega i svake stranice trokuta: S = √ (p (p - a) (p - b)·(p - c)).
Ako su a, b, γ poznati, tada se površina trokuta određuje kao polovica umnoška 2 stranice, pomnožena s vrijednošću sinusa kuta između ovih stranica: S=(a b sin γ)/2
Ako su a, b, c, R poznati, tada se tražena površina određuje dijeljenjem umnoška duljina svih stranica trokuta s četiri polumjera opisane kružnice: S=(a b c)/4R
Ako su p, r poznati, tada se tražena površina trokuta određuje množenjem polovice opsega polumjerom kruga upisanog u njega: S=p·r

Kvadratna površina

Oznake:

Ako je stranica poznata, tada se površina date figure određuje kao kvadrat duljine njezine stranice: S=a 2
Ako je d poznat, tada se površina kvadrata određuje kao polovica kvadrata duljine njegove dijagonale: S=d 2 /2

Površina pravokutnika

Oznake:

S - određeno područje,
a, b - duljine stranica pravokutnika.

Ako su a, b poznati, tada je površina zadanog pravokutnika određena umnoškom duljina njegovih dviju stranica: S=a b
Ako su duljine stranica nepoznate, tada se površina pravokutnika mora podijeliti na trokute. U ovom slučaju, površina pravokutnika određena je kao zbroj površina njegovih sastavnih trokuta.

Površina paralelograma

Oznake:

S je tražena površina,
a, b - duljine stranica,
h je duljina visine zadanog paralelograma,
d1, d2 - duljine dviju dijagonala,
α je kut između stranica,
γ je kut između dijagonala.

Ako su a, h poznati, tada se tražena površina određuje množenjem duljine stranice i visine spuštene na ovu stranu: S=a h
Ako su a, b, α poznati, tada se površina paralelograma određuje množenjem duljina stranica paralelograma i sinusa kuta između tih stranica: S=a b sin α
Ako su d 1 , d 2 , γ poznati, tada se površina paralelograma određuje kao polovica umnoška duljina dijagonala i sinusa kuta između tih dijagonala: S=(d 1 d 2 sinγ) /2

Površina romba

Oznake:

S je tražena površina,
a - duljina stranice,
h - duljina visine,
α je manji kut između dviju stranica,
d1, d2 - duljine dviju dijagonala.

Ako su a, h poznati, tada se površina romba određuje množenjem duljine stranice s duljinom visine koja se spušta na ovu stranu: S=a h
Ako su a, α poznati, tada se površina romba određuje množenjem kvadrata duljine stranice sa sinusom kuta između stranica: S=a 2 sin α
Ako su d 1 i d 2 poznati, tada se tražena površina određuje kao polovica umnoška duljina dijagonala romba: S=(d 1 d 2)/2

Područje trapeza

Oznake:

Ako su a, b, c, d poznati, tada se tražena površina određuje formulom: S= (a+b) /2 *√.
Uz poznate a, b, h, tražena površina se određuje kao umnožak polovice zbroja osnovica i visine trapeza: S=(a+b)/2 h

Površina konveksnog četverokuta

Oznake:

Ako su d 1 , d 2 , α poznati, tada se površina konveksnog četverokuta određuje kao polovica umnoška dijagonala četverokuta, pomnožena sa sinusom kuta između ovih dijagonala: S=(d 1 · d 2 · sin α)/2
Za poznate p, r, površina konveksnog četverokuta određena je kao umnožak poluopsega četverokuta i polumjera kruga upisanog u ovaj četverokut: S=p r
Ako su a, b, c, d, θ poznati, tada se površina konveksnog četverokuta određuje kao kvadratni korijen umnoška razlike u poluopsegu i duljine svake stranice minus umnožak duljine svih stranica i kvadrat kosinusa polovice zbroja dva suprotna kuta: S 2 = (p - a )(p - b)(p - c)(p - d) - abcd cos 2 ((α+ β)/2)

Površina kruga

Oznake:

Ako je r poznat, tada se tražena površina određuje kao umnožak broja π i kvadrata polumjera: S=π r 2

Ako je d poznat, tada se površina kruga određuje kao umnožak broja π i kvadrata promjera podijeljenog s četiri: S=(π d 2)/4

Područje složene figure

Složene se mogu rastaviti na jednostavne geometrijske oblike. Površina složene figure definirana je kao zbroj ili razlika njezinih sastavnih područja. Razmotrimo, na primjer, prsten.

Oznaka:

S - područje prstena,
R, r - radijusi vanjskog i unutarnjeg kruga, redom,
D, d su promjeri vanjskog i unutarnjeg kruga.

Da biste pronašli površinu prstena, trebate oduzeti površinu od površine većeg kruga manji krug. S = S1-S2 = πR 2 -πr 2 = π (R 2 -r 2).

Dakle, ako su R i r poznati, tada se površina prstena određuje kao razlika u kvadratima polumjera vanjskog i unutarnjeg kruga, pomnožena s pi: S=π(R 2 -r 2).

Ako su D i d poznati, tada se površina prstena određuje kao četvrtina razlike u kvadratima promjera vanjskog i unutarnjeg kruga, pomnožena s pi: S= (1/4)(D 2 -d 2) π.

Područje zakrpe

Pretpostavimo da se unutar jednog kvadrata (A) nalazi drugi (B) (manje veličine), te treba pronaći osjenčanu šupljinu između likova "A" i "B". Recimo, "okvir" malog kvadrata. Za ovo:

Pronađite površinu slike "A" (izračunava se pomoću formule za pronalaženje površine kvadrata).
Slično tome, nalazimo područje slike "B".
Oduzmite područje "B" od područja "A". I tako dobivamo područje osjenčane figure.

Sada znate kako pronaći područja različitih oblika.

Svaka osoba ima ideju o tome koja je površina sobe, površina parcele, površina površine koju treba obojiti. On također razumije da ako su čestice zemlje iste, onda su njihove površine jednake; da se površina stana sastoji od površine prostorija i površine ostalih njegovih prostorija.

Ova uobičajena ideja površine koristi se kada se definira u geometriji, gdje se govori o površini figure. Ali geometrijski likovi raspoređeni su na različite načine, pa stoga, kada govore o površini, izdvajaju određenu klasu likova.

Na primjer, oni razmatraju površinu poligona, površinu proizvoljne ravne figure, površinu poliedra itd. U našem tečaju govorit ćemo samo o površini poligona i proizvoljna ravna figura.

Baš kao kada razmatramo duljinu segmenta i veličinu kuta, koristit ćemo koncept "sastoji se od", definirajući ga na sljedeći način: figura F sastoji se (sastavljena) od figura F 1 i F 2, ako je njihova unija a nemaju zajedničkih unutarnjih točaka.

U istoj situaciji možemo reći da je figura F podijeljena na figure F 1 i F 2. Na primjer, za figuru F prikazanu na slici 2, a, možemo reći da se sastoji od figura F 1 i F 2, budući da nemaju zajedničkih unutarnjih točaka. Slike F 1 i F 2 na slici 2, b imaju zajedničke unutarnje točke, pa se ne može reći da se figura F sastoji od likova F 1 i F 2. Ako se figura F sastoji od figura F 1 i F 2, tada se upisuje: F=F 1 Å F 2.

Definicija.Površina figure je pozitivna veličina definirana za svaku figuru tako da: 1) jednake figure imaju jednake površine; 2) ako se lik sastoji od dva dijela, tada je njegova površina jednaka zbroju površina tih dijelova.

Da biste izmjerili površinu figure, morate imati jedinicu površine. U pravilu, takva jedinica je površina kvadrata sa stranom jednakom jediničnom segmentu. Dogovorimo se da površinu jediničnog kvadrata označimo slovom E, a broj koji se dobije kao rezultat mjerenja površine figure - S(F). Taj se broj naziva numerička vrijednost površine figure F s odabranom jedinicom površine E. Mora zadovoljiti uvjete:

1. Broj S(F) je pozitivan.

2. Ako su brojke jednake, onda su numeričke vrijednosti njihovih područja jednake.

3. Ako se slika F sastoji od slika F 1 i F 2, tada je brojčana vrijednost površine figure jednaka zbroju brojčanih vrijednosti površina slika F 1 i F 2.

4. Prilikom zamjene jedinice površine, brojčana vrijednost površine dane figure F povećava se (smanjuje) za isti iznos koliko je nova jedinica manja (veća) od stare.

5. Brojčana vrijednost površine jediničnog kvadrata uzima se jednakom 1, tj. S(F) = 1.

6. Ako je slika F 1 dio slike F 2, tada brojčana vrijednost površine slike F 1 nije veća od brojčane vrijednosti površine slike F 2, tj. F 1 Ì F 2 Þ S (F 1) ≤ S (F 2) .

U geometriji je dokazano da za poligone i proizvoljne ravne figure takav broj uvijek postoji i jedinstven je za svaki lik.

Likovi čije su površine jednake nazivaju se jednake veličine.

⇐ Prethodna135136137138139140141142Sljedeća ⇒

Pročitajte također:

Kako izračunati površinu figure

U geometrijskim problemima često morate izračunati površinu ravne figure. U zadacima stereometrije tradicionalno se izračunava površina lica. Često je potrebno pronaći područje figure u svakodnevnom životu, na primjer, kada se izračunava broj potrebnih građevinskih materijala. Postoje posebne formule za određivanje površine najjednostavnijih figura. Međutim, ako lik ima težak oblik, izračunavanje njegove površine ponekad nije tako lako.

Trebat će vam

kalkulator ili računalo, ravnalo, metar, kutomjer

upute

1. Da biste izračunali površinu primitivne figure, koristite odgovarajuće matematičke formule: da biste izračunali površinu kvadrata, podignite duljinu njegove stranice na drugu potenciju: Pkv = c?, gdje je: Pkv je površina kvadrata, c je duljina njegove strane;

2. da biste pronašli površinu pravokutnika, pomnožite duljine njegovih stranica: Ppr = d * w, gdje je: Ppr površina pravokutnika, d i w su njegova duljina i širina;

3. da biste saznali površinu paralelograma, pomnožite duljinu svake njegove stranice s duljinom visine spuštene na ovu stranu. Ako su poznate duljine susjednih stranica paralelograma i kut između njih, tada pomnožite duljine ovih stranica sa sinusom kuta između njih: Ppar = C1 * B1 = C2 * B2 = C1 * C2 * sin?, gdje je: Ppar površina paralelograma, C1 i C2 su duljine stranica paralelograma, B1 i B2 su redom duljine visina spuštenih na njih,? – veličina kuta između susjednih stranica;

4. da biste pronašli površinu romba, pomnožite duljinu stranice s duljinom visine ili pomnožite kvadrat stranice romba sa sinusom bilo kojeg od njegovih kutova ili pomnožite duljine njegovih dijagonala i dobiveni umnožak podijelite s dva: Promb = C * B = C? *grijeh? = D1 * D2, gdje je: Promb je površina romba, C je duljina stranice, B je duljina visine, ? – veličina kuta između susjednih stranica, D1 i D2 – duljine dijagonala romba;

5. da biste izračunali površinu trokuta, pomnožite duljinu stranice s duljinom visine i dobiveni umnožak podijelite s dva ili pomnožite polovicu umnoška duljina 2 stranice sa sinusom kuta između njih, ili pomnožite poluopseg trokuta s polumjerom upisane kružnice u trokut ili izvadite kvadratni korijen iz umnoška razlike poluopsega trokuta i svake njegove stranice (Heronova formula): Ptr = C * B / 2 = ? * C1 * C2 * grijeh? = p * p = ?(p*(p-C1)*(p-C2)*(p-C3)), gdje su: C i B duljina proizvoljne stranice i visina spuštena na nju, C1, C2 , C3 su duljine stranica trokuta?

Područje figura

– veličina kuta između stranica (C1, C2), p – poluopseg trokuta: p = (C1+C2+C3)/2,p – polumjer kružnice upisane u trokut;

7. da biste izračunali površinu kruga, pomnožite kvadrat njegovog polumjera s brojem "pi", približno jednakim 3,14: Pcr =? * r?, gdje je: r – polumjer kruga, ? – broj “pi” (3.14).

8. Da biste izračunali površinu složenijih figura, podijelite ih na nekoliko primitivnih figura koje se ne preklapaju, pronađite površinu svake od njih i zbrojite dobivene rezultate. Ponekad je lakše izračunati površinu figure kao razliku između površina 2 (ili nekoliko) primitivnih figura.

Video na temu

Područje složene figure. 5. razred

Dva lika nazivamo jednakima ako se jedan od njih može postaviti na drugi tako da se ti likovi podudaraju.Površine jednakih likova su jednake. Njihovi opsegi su također jednaki Površina kvadrata Da biste izračunali površinu kvadrata, morate pomnožiti njegovu duljinu sa samim sobom.

S = a a Primjer: SEKFM = EK EK

SEKFM = 3 3 = 9 cm2

Formula za površinu kvadrata, znajući definiciju stupnja, može se napisati na sljedeći način:

S = a2Površina pravokutnika Da biste izračunali površinu pravokutnika, morate njegovu duljinu pomnožiti s njegovom širinom.

S = a bPrimjer: SABCD = AB BC

SABCD = 3 7 = 21 cm2
Ne možete izračunati opseg ili površinu ako su duljina i širina izražene u različitim jedinicama duljine. Obavezno provjerite jesu li i duljina i širina izražene u istim jedinicama, odnosno u cm, m itd. Površina složene figure Površina cijelog lika jednaka je zbroju površina njegovih dijelova. Zadatak: pronađite površinu okućnice. Budući da lik na slici nije ni kvadrat ni pravokutnik, njegova površina može se izračunati pomoću gornjeg pravila. Podijelimo figuru na dva pravokutnika čije površine možemo lako izračunati koristeći dobro poznatu formulu. SABCE = AB BC
SEFKL = 10 3 = 30 m2
SCDEF = FC CD
SCDEF = 7 5 = 35 m2

Da biste pronašli površinu cijele figure, dodajte površine pronađenih pravokutnika. S = SABCE + SEFKL
S = 30 + 35 = 65 m2

Odgovor: S = 65 m2 je površina okućnice. Svojstvo u nastavku može vam biti od koristi pri rješavanju problema površine. Dijagonala pravokutnika dijeli pravokutnik na dva jednaka trokuta. Površina bilo kojeg od ovih trokuta jednaka je polovici površine pravokutnika. Razmotrimo pravokutnik: AC je dijagonala pravokutnika ABCD.

Nađimo površinu trokuta ABC i ACD. Prvo pronađi površinu pravokutnika pomoću formule.SABCD = AB BC
SABCD = 5 4 = 20 cm2

S ABC = SABCD: 2

S ABC = 20 : 2 = 10 cm2

Trebat će vam

- nepravilan geometrijski lik;
- mjerni instrumenti;
- prozirna plastika;
- vladar;
- kvadrat;
- kemijska olovka.

upute

Razmotrite geometrijski lik i utvrdite jesu li vam poznati njegovi parametri. To mogu biti duljine stranica ili kutovi. Ovisno o navedenim parametrima, odaberite metodu određivanja područja. Na primjer, podijelite ga na nekoliko figura, formule za izračunavanje površine koje ste. Jedna od najčešćih metoda je crtanje dijagonala od jednog kuta do svih ostalih vrhova. U ovom slučaju morate znati formulu za izračunavanje površine proizvoljnog trokuta. Ali nitko ne zabranjuje dijeljenje određene figure u druge poligone. Na primjer, kada se izračunava površina poda u sobi s nišom, prikladnije je podijeliti nepravilan oblik u dva pravokutnika ili kvadrata.

Da biste odredili područje ne prevelikog dijela, možete koristiti paletu. To je moguće. Izrežite pravokutni komad bilo koje prozirne plastike. Podijelite ga na kvadrate čiju površinu znate - npr. 1x1 ili 0,5x0,5 cm Ravnalo i kvadrat moraju biti točni. Postavite paletu na komad. Prebroji kompletne, pa -. Broj nepotpunih kvadratića podijelite s 2 i rezultat pribrojite broju cijelih brojeva. Što su manje podjele na paleti, rezultat će biti točniji. Slično tome, možete izračunati površinu stranice. Ulogu palete igrat će mreža kvadrata sa stranicom od 1x1 m, nacrtana na tlu ili označena klinovima s užetima rastegnutim između njih. Možete se ograničiti na označavanje teritorija u pruge. .

S velikim površinama stvari možete učiniti drugačije. Uzmite najtočniji plan mjesta ili lokalnog područja. Odredite mjerilo. Koristite jednu od predloženih metoda. Zatim pretvorite dobiveni broj kvadratnih centimetara u željeno mjerilo.

Koristan savjet

Kada proizvodite ravne metalne dijelove, njihovu površinu možete izračunati pomoću standarda pomoću vaganja. Izrežite sam dio i standard - kvadrat, čija je površina prikladna za izračunavanje. Moraju biti izrađene od istog materijala, a debljina lima mora biti ista i istovremeno beznačajna. Izračunajte omjer masa, a iz njega nepoznatu površinu. Međutim, ovo nije vrlo točna metoda i može se koristiti samo u ekstremnim slučajevima.

Svaka nepravilna figura može se prikazati kao grafikon. Svaka točka ima svoje koordinate. Zamislite svaki segment kao graf funkcije. Površina presjeka od apscise do nje je određeni integral. Izračunajte sve integrale. Odredite površinu figure koristeći razliku između integrala s većim i manjim vrijednostima. Ovo je prilično radno intenzivna metoda, ali daje najveću točnost.

Za rješavanje geometrijskih problema morate znati formule - poput površine trokuta ili površine paralelograma - kao i jednostavne tehnike koje ćemo obraditi.

Prvo, naučimo formule za površine figura. Posebno smo ih prikupili u prigodnoj tablici. Ispiši, nauči i primijeni!

Naravno, nisu sve geometrijske formule u našoj tablici. Na primjer, za rješavanje problema iz geometrije i stereometrije u drugom dijelu profila Jedinstveni državni ispit iz matematike koriste se druge formule za područje trokuta. Svakako ćemo vam reći o njima.

Ali što ako ne trebate pronaći područje trapeza ili trokuta, već područje neke složene figure? Postoje univerzalni načini! Pokazat ćemo ih na primjerima iz FIPI banke zadataka.

1. Kako pronaći područje nestandardne figure? Na primjer, proizvoljni četverokut? Jednostavna tehnika - podijelimo ovu figuru na one o kojima sve znamo i pronađemo joj površinu - kao zbroj površina tih figura.

Podijelite ovaj četverokut vodoravnom crtom na dva trokuta sa zajedničkom bazom jednakom . Visine ovih trokuta su jednake i . Tada je površina četverokuta jednaka zbroju površina dvaju trokuta: .

Odgovor: .

2. U nekim slučajevima, područje figure može se prikazati kao razlika nekih područja.

Nije tako lako izračunati čemu su jednake osnovica i visina tog trokuta! Ali možemo reći da je njegova površina jednaka razlici površina kvadrata sa stranicom i tri pravokutna trokuta. Vidite li ih na slici? Dobivamo: .

Odgovor: .

3. Ponekad u zadatku trebate pronaći područje ne cijele figure, već njenog dijela. Obično govorimo o površini sektora - dijela kruga. Nađite površinu sektora kruga polumjera čija je duljina luka jednaka .

Na ovoj slici vidimo dio kruga. Površina cijelog kruga jednaka je . Ostaje saznati koji je dio kruga prikazan. Budući da je duljina cijele kružnice jednaka (od ), i duljina luka danog sektora je jednaka , dakle, duljina luka je nekoliko puta manja od duljine cijele kružnice. Kut pod kojim ovaj luk počiva također je faktor manji od punog kruga (tj. stupnjeva). To znači da će područje sektora biti nekoliko puta manje od područja cijelog kruga.

Postoji beskonačan broj plosnatih figura raznih oblika, pravilnih i nepravilnih. Zajedničko svojstvo svih figura je da svaka od njih ima površinu. Površine likova su dimenzije dijela ravnine koji ti likovi zauzimaju, izražene u određenim jedinicama. Ova vrijednost se uvijek izražava kao pozitivan broj. Mjerna jedinica je površina kvadrata čija je stranica jednaka jedinici duljine (na primjer, jedan metar ili jedan centimetar). Približna površina bilo koje figure može se izračunati množenjem broja jediničnih kvadrata na koje je podijeljena s površinom jednog kvadrata.

Ostale definicije ovog koncepta su sljedeće:

1. Površine jednostavnih figura su skalarne pozitivne veličine koje zadovoljavaju uvjete:

Jednake figure imaju jednake površine;

Ako je lik podijeljen na dijelove (jednostavne figure), tada je njegova površina zbroj površina tih figura;

Kvadrat sa stranicom mjerne jedinice služi kao jedinica za površinu.

2. Površine likova složenog oblika (poligona) su pozitivne veličine sa sljedećim svojstvima:

Jednaki poligoni imaju iste veličine površina;

Ako je mnogokut sastavljen od nekoliko drugih poligona, njegova je površina jednaka zbroju površina potonjih. Ovo pravilo vrijedi za poligone koji se ne preklapaju.

Prihvaćeno je kao aksiom da su površine likova (poligona) pozitivne veličine.

Definicija površine kruga data je zasebno kao vrijednost kojoj teži površina datog kruga upisanog u krug - unatoč činjenici da broj njegovih strana teži beskonačnosti.

Površine figura nepravilnog oblika (proizvoljnih figura) nemaju definiciju, samo su određene metode za njihovo izračunavanje.

Već u antičko doba izračunavanje površina bilo je važan praktični zadatak pri određivanju veličine zemljišnih čestica. Pravila za izračunavanje površina tijekom nekoliko stotina godina formulirali su grčki znanstvenici i postavili ih u Euklidovim Elementima kao teoreme. Zanimljivo je da su pravila za određivanje područja jednostavnih figura u njima ista kao i sada. Područja sa zakrivljenom konturom izračunata su pomoću prijelaza do granice.

Izračunavanje područja jednostavnog pravokutnika ili kvadrata), poznatog svima iz škole, vrlo je jednostavno. Nije čak ni potrebno pamtiti formule za površine slika koje sadrže slovne simbole. Dovoljno je zapamtiti nekoliko jednostavnih pravila:

2. Površina pravokutnika izračunava se množenjem njegove duljine i širine. Potrebno je da duljina i širina budu izražene u istim mjernim jedinicama.

3. Izračunavamo površinu složene figure tako da je podijelimo na nekoliko jednostavnih i dodamo dobivena područja.

4. Dijagonala pravokutnika dijeli ga na dva trokuta čije su površine jednake i jednake polovici njegove površine.

5. Površina trokuta izračunava se kao polovica umnoška njegove visine i baze.

6. Površina kruga jednaka je umnošku kvadrata polumjera i dobro poznatog broja "π".

7. Izračunavamo površinu paralelograma kao umnožak susjednih strana i sinusa kuta koji leži između njih.

8. Površina romba je ½ rezultat množenja dijagonala sa sinusom unutarnjeg kuta.

9. Područje trapeza nalazimo množenjem njegove visine s duljinom središnje crte, koja je jednaka aritmetičkoj sredini baza. Druga mogućnost određivanja površine trapeza je množenje njegovih dijagonala i sinusa kuta koji leži između njih.

Radi jasnoće, djeca u osnovnoj školi često dobivaju zadatke: pronađite područje figure nacrtane na papiru pomoću palete ili lista prozirnog papira podijeljenog na kvadrate. Takav list papira stavlja se na izmjerenu figuru, broji se broj potpunih ćelija (jedinica površine) koje stanu u njegov obris, zatim broj nepotpunih, koji se dijeli na pola.