Cosa significa decidere in modo razionale. Sapete cosa significa "razionale" e quali numeri si chiamano razionali? Leggi delle operazioni aritmetiche

Caratteristiche di classe

5 La classe “A” è eterogenea nella composizione, alcuni bambini sono piuttosto forti nella conoscenza, ma spiccano anche quelli deboli. In generale la classe è energica, gli studenti sono interessati e seguono volentieri le iniziative dell’insegnante.

Argomento: metodi razionali di calcolo (la lezione è una lezione finale, condotta dopo l'argomento: “semplificare le espressioni” nel secondo trimestre, n. 3)

Tipo di lezione: riepilogo del materiale

a) educativo

• ripetere le proprietà di addizione, sottrazione, moltiplicazione dei numeri naturali
• consoliderà la teoria della conoscenza nella pratica
• mostrare il vantaggio di modi razionali di portare a termine i compiti, cioè mostrare che la creazione di questo progetto è necessaria e significativa per i bambini stessi
• migliorare la capacità di applicare i metodi nella pratica;

b) in via di sviluppo

• sviluppare la capacità di trarre conclusioni, sistematizzare materiale, confrontare metodi con un edificio specifico, formulare chiaramente pensieri
• sviluppare la capacità di riflettere sulla propria attività cognitiva
• formare una coscienza creativa, una genuina passione per il lavoro;

c) educativo

• coltivare l’indipendenza, il collettivismo, la capacità di ascoltarsi reciprocamente, rispettare l’opinione degli altri, ma anche saper dimostrare la propria.

Attrezzatura: lavagna magnetica e magneti, pennarelli, foglie di alberi (fogli di album), immagini del gatto Matroskin e Sharik, schermo per diapositive.

L'Appendice 1 presenta lo schema del progetto.

Kozhinova Anastasia

BILANCIO COMUNALE NON TIPICO

ISTITUZIONE EDUCATIVA GENERALE

"LICEO N. 76"

QUAL È IL SEGRETO DELLA CONTABILITÀ RAZIONALE?

Eseguita:

Studente della 5a classe "B".

Kozhinova Anastasia

Supervisore:

Insegnante di matematica

Shchiklina Tatyana

Nikolaevna

Novokuznetsk 2013

Introduzione…………….................................................. 3

Parte principale.................................................................... 5-13

Conclusione e conclusioni……………………………………….. 13-14

Riferimenti…………………………..... 15

Applicazioni................................................................. 16-31

IO. introduzione

Problema: trovare i valori delle espressioni numeriche

Obiettivo del lavoro: ricerca, studio dei metodi e delle tecniche esistenti di contabilità razionale, applicandoli nella pratica.

Compiti:

1. Condurre una mini-ricerca sotto forma di sondaggio tra classi parallele.

2. Analizzare l'argomento di ricerca: letteratura disponibile nella biblioteca scolastica, informazioni nel libro di testo di matematica per la quinta elementare, su Internet.

3. Selezionare i metodi e i mezzi più efficaci di calcolo razionale.

4. Classificare le tecniche esistenti per il conteggio veloce orale e scritto.

5. Creare promemoria contenenti tecniche di conteggio razionale da utilizzare nei paralleli di quinta elementare.

Oggetto di studio: resoconto razionale.

Materia di studio: metodi di conteggio razionale.

Per garantire l'efficacia del lavoro di ricerca, ho utilizzato i seguenti metodi: analisi delle informazioni ottenute da varie risorse, sintesi, generalizzazione; indagine sociologica sotto forma di questionario. Il questionario è stato sviluppato da me in conformità con lo scopo e gli obiettivi dello studio, l'età degli intervistati ed è presentato nella parte principale del lavoro.

Durante il lavoro di ricerca sono state prese in considerazione questioni relative ai metodi e alle tecniche di calcolo razionale e sono state fornite raccomandazioni per eliminare i problemi con le competenze informatiche e per formare una cultura informatica.

II. Parte principale

Formazione della cultura informatica degli studenti

5-6 gradi.

È ovvio che le tecniche di calcolo razionale sono un elemento necessario della cultura computazionale nella vita di ogni persona, principalmente per il loro significato pratico, e gli studenti ne hanno bisogno in quasi ogni lezione.

La cultura computazionale è il fondamento per lo studio della matematica e di altre discipline accademiche, perché oltre al fatto che i calcoli attivano la memoria e l'attenzione, aiutano a organizzare razionalmente le attività e influenzano in modo significativo lo sviluppo umano.

Nella vita di tutti i giorni, nelle aule scolastiche, quando ogni minuto è prezioso, è molto importante svolgere velocemente e razionalmente i calcoli orali e scritti, senza commettere errori e senza utilizzare strumenti informatici aggiuntivi.

Noi scolari incontriamo questo problema ovunque: in classe, a casa, nel negozio, ecc. Inoltre, dopo le classi 9 e 11 dovremo sostenere esami sotto forma di IGA e Unified State Examination, dove non è consentito l'uso di una microcalcolatrice. Pertanto, il problema dello sviluppo di una cultura informatica in ogni persona, un elemento della quale è la padronanza delle tecniche di calcolo razionale, diventa estremamente importante.

È particolarmente necessario padroneggiare le tecniche del conteggio razionale

nello studio di materie come matematica, storia, tecnologia, informatica, ecc., cioè il calcolo razionale aiuta a padroneggiare materie correlate, a navigare meglio nel materiale studiato, nelle situazioni della vita. Allora, cosa stiamo aspettando? Entriamo nel mondo dei segreti delle tecniche di conteggio razionale!!!

Quali problemi hanno gli studenti quando eseguono i calcoli?

I coetanei della mia età hanno spesso problemi a svolgere vari compiti in cui devono effettuare calcoli in modo rapido e conveniente . Perché???

Ecco alcune ipotesi:

1. Lo studente non ha capito bene l'argomento studiato

2. Lo studente non ripete il materiale.

3. Lo studente ha scarse capacità matematiche.

4. Lo studente non vuole studiare questo argomento

5. Lo studente crede che non gli sarà utile.

Ho preso tutte queste ipotesi dalla mia esperienza e da quella dei miei compagni di classe e dei miei coetanei. Tuttavia, negli esercizi di calcolo, le capacità di conteggio razionale giocano un ruolo importante, quindi ho studiato, applicato e desidero presentarti alcune tecniche di conteggio razionale.

Metodi razionali di calcolo orale e scritto.

Nel lavoro e nella vita di tutti i giorni sorge costantemente la necessità di vari tipi di calcoli. L'uso dei metodi più semplici di conteggio mentale riduce l'affaticamento, sviluppa l'attenzione e la memoria. L'uso di metodi di calcolo razionali è necessario per aumentare la manodopera, l'accuratezza e la velocità dei calcoli. La velocità e l'accuratezza dei calcoli possono essere raggiunte solo con l'uso razionale di metodi e mezzi di meccanizzazione dei calcoli, nonché con l'uso corretto dei metodi di calcolo mentale.

IO. Tecniche per l'addizione semplificata di numeri

Esistono quattro metodi di addizione noti che possono accelerare i calcoli.

Metodo di addizione bit per bit sequenziale utilizzato nei calcoli mentali, poiché semplifica e accelera la somma dei termini. Quando si utilizza questo metodo, l'addizione inizia dalle cifre più alte: le cifre corrispondenti del secondo addendo vengono aggiunte al primo addendo.

Esempio. Troviamo la somma dei numeri 5287 e 3564 utilizzando il metodo dell'addizione bit a bit sequenziale.

Soluzione. Effettueremo il calcolo nella seguente sequenza:

5 287 + 3 000 = 8 287;

8 287 + 500 = 8 787;

8 787 + 60 = 8 847;

8 847 + 4 = 8 851.

Risposta: 8 851. (legge combinatorio-commutativa)

Un altro modo di addizione bit per bit sequenziale consiste nel fatto che la cifra più alta del secondo termine viene aggiunta alla cifra più alta del primo termine, quindi la cifra successiva del secondo termine viene aggiunta alla cifra successiva del primo termine, ecc.

Consideriamo questa soluzione utilizzando l'esempio fornito, otteniamo:

5 000 + 3 000 = 8 000;

200 + 500 = 700;

Risposta: 8851.

Metodo dei numeri tondi . Un numero che ha una cifra significativa e termina con uno o più zeri è detto numero tondo. Questo metodo si usa quando tra due o più termini si possono scegliere quelli che possono essere completati per formare un numero tondo. La differenza tra il numero tondo e il numero specificato nella condizione di calcolo è chiamata complemento. Ad esempio, 1.000 - 978 = 22. In questo caso, il numero 22 è l'addizione aritmetica di 978 a 1.000.

Per eseguire l'addizione utilizzando il metodo dei numeri tondi, è necessario arrotondare uno o più termini vicini ai numeri tondi, eseguire l'addizione dei numeri tondi e sottrarre le addizioni aritmetiche dalla somma risultante.

Esempio. Troviamo la somma dei numeri 1.238 e 193 utilizzando il metodo dei numeri tondi.

Soluzione. Arrotondiamo il numero 193 a 200 e aggiungiamo come segue: 1.238 + 193 = (1.238 + 200) - 7 = 1.431 (legge della combinazione)

Metodo di raggruppamento dei termini . Questo metodo viene utilizzato nel caso in cui i termini, raggruppati insieme, danno numeri tondi, che poi vengono sommati.

Esempio. Troviamo la somma dei numeri 74, 32, 67, 48, 33 e 26.

Soluzione. Sommiamo i numeri raggruppati come segue: (74 + 26) + (32 + 48) + (67 + 33) = 280.

(legge combinatorio-commutativa)

oppure, quando il raggruppamento di numeri dà come risultato somme uguali:

Esempio:1+2+3+4+5+…+97+98+99+100= (1+100)+(2+99)+(3+98)+…=101x50=5050

(legge combinatorio-commutativa)

II. Tecniche per la sottrazione semplificata di numeri

Metodo di sottrazione bit per bit sequenziale. Questo metodo sottrae in sequenza ogni cifra sottratta dal minuendo. Viene utilizzato quando i numeri non possono essere arrotondati.

Esempio. Troviamo la differenza tra i numeri 721 e 398.

Soluzione. Eseguiamo i passaggi per trovare la differenza tra i numeri indicati nella seguente sequenza:

Immaginiamo il numero 398 come una somma: 300 + 90 + 8 = 398;

Eseguiamo la sottrazione bit per bit:

721 - 300 = 421; 421 - 90 = 331; 331 - 8 = 323.

Metodo dei numeri tondi . Questo metodo viene utilizzato quando il sottraendo è vicino a un numero tondo. Per calcolare è necessario sottrarre il sottraendo, preso come numero tondo, dal minuendo e aggiungere l'addizione aritmetica alla differenza risultante.

Esempio. Calcoliamo la differenza tra i numeri 235 e 197 utilizzando il metodo dei numeri tondi.

Soluzione. 235 - 197 = 235 - 200 + 3 = 38.

III. Tecniche per la moltiplicazione semplificata dei numeri

Moltiplicare per uno seguito da zeri. Quando si moltiplica un numero per un numero che include uno seguito da zeri (10; 100; 1.000, ecc.), vengono aggiunti a destra tanti zeri quanti ce ne sono nel fattore dopo l'uno.

Esempio. Troviamo il prodotto dei numeri 568 e 100.

Soluzione. 568 x 100 = 56.800.

Metodo di moltiplicazione bit per bit sequenziale . Questo metodo viene utilizzato quando si moltiplica un numero per qualsiasi numero a una cifra. Se è necessario moltiplicare un numero a due cifre (tre, quattro cifre, ecc.) per un numero a una cifra, prima il fattore a una cifra viene moltiplicato per le decine di un altro fattore, quindi per le sue unità e il i prodotti risultanti vengono sommati.

Esempio. Troviamo il prodotto dei numeri 39 e 7.

Soluzione. 39 x 7 = (30+9) x 7 = (30 x 7) + (9 x 7) = 210 + 63 = 273. (legge distributiva della moltiplicazione relativa all'addizione)

Metodo dei numeri tondi . Questo metodo viene utilizzato solo quando uno dei fattori è vicino a un numero tondo. Il moltiplicando viene moltiplicato per un numero tondo, poi per un'addizione aritmetica, e alla fine dal primo prodotto viene sottratto il secondo.

Esempio. Troviamo il prodotto dei numeri 174 e 69.

174 x 69 =174 x (70-1) =174 x 70 - 174 x 1 = 12.180 - 174 = 12.006 (legge distributiva della moltiplicazione relativa alla sottrazione)

Un metodo per scomporre uno dei fattori. In questo metodo, uno dei fattori viene prima scomposto in parti (addizione), quindi il secondo fattore viene moltiplicato a sua volta per ciascuna parte del primo fattore e i prodotti risultanti vengono sommati.

Esempio. Troviamo il prodotto dei numeri 13 e 325.

Scomponiamo il numero 13 in termini: 13 = 10 + 3. Moltiplichiamo ciascuno dei termini risultanti per 325: 10 x 325 = 3.250; 3 x 325 = 975. Sommiamo i prodotti risultanti: 3.250 + 975 = 4.225

Padroneggiare le capacità di calcolo mentale razionale renderà il tuo lavoro più efficace. Ciò è possibile solo con una buona padronanza di tutte le operazioni aritmetiche indicate. L'uso di tecniche di conteggio razionale accelera i calcoli e garantisce la precisione necessaria. Ma non solo devi essere in grado di calcolare, ma devi anche conoscere la tavola pitagorica, le leggi delle operazioni aritmetiche, le classi e i ranghi.

Esistono sistemi di conteggio mentale che ti consentono di contare oralmente in modo rapido e razionale. Vedremo alcune delle tecniche più comunemente utilizzate.

1. Moltiplicare un numero di due cifre per 11.

Abbiamo studiato questo metodo, ma non lo abbiamo studiato completamente Il segreto di questo metodo è che può essere considerato la legge delle operazioni aritmetiche.

Esempi:

23x11= 23x(10+1) = 23x10+23x1=253 (legge distributiva della moltiplicazione relativa all'addizione)

23x11=(20+3)x 11= 20x11+3x11=253 (legge di distribuzione e metodo dei numeri tondi)

Abbiamo studiato questo metodo, ma non ne conoscevamo un altro Il segreto per moltiplicare i numeri a due cifre per 11.

Osservando i risultati ottenuti moltiplicando i numeri a due cifre per 11, ho notato che esisteva un modo più conveniente per ottenere la risposta : quando si moltiplica un numero a due cifre per 11, le cifre di questo numero vengono allontanate e la somma di queste cifre viene posizionata al centro.

a) 23 11=253, perché 2+3=5;

b) 45 11=495, perché 4+5=9;

c) 57 11=627, perché 5+7=12, il due fu posto al centro, e l'uno fu aggiunto alle centinaia;

d) 78 11=858, poiché 7+8=15, allora il numero delle decine sarà pari a 5, e il numero delle centinaia aumenterà di uno e sarà pari a 8.

Ho trovato conferma di questo metodo su Internet.

2) Il prodotto di numeri a due cifre che hanno lo stesso numero di decine e la somma delle loro unità è 10, cioè 23 27; 34 36; 52 58 ecc.

Regola: la cifra delle decine viene moltiplicata per la cifra successiva della serie naturale, il risultato viene annotato e ad esso viene aggiunto il prodotto delle unità.

a) 23 27=621. Come hai ottenuto 621? Moltiplichiamo il numero 2 per 3 (il “due” è seguito da “tre”), diventa 6, e accanto ad esso aggiungiamo il prodotto delle unità: 3 7 = 21, risulta 621.

b) 34 36 = 1224, poiché 3 4 = 12, assegniamo 24 al numero 12, questo è il prodotto delle unità di questi numeri: 4 6.

c) 52 58 = 3016, poiché moltiplichiamo la cifra delle decine 5 per 6, sarà 30, assegniamo il prodotto di 2 e 8, cioè 16.

d) 61 69=4209. È chiaro che 6 è stato moltiplicato per 7 e abbiamo ottenuto 42. Da dove viene lo zero? Le unità sono state moltiplicate e abbiamo ottenuto: 1 9 = 9, ma il risultato deve essere di due cifre, quindi prendiamo 09.

3) Dividendo i numeri a tre cifre costituiti da cifre identiche per il numero 37. Il risultato è uguale alla somma di queste cifre identiche del numero a tre cifre (o il numero pari a tre volte la cifra del numero a tre cifre).

Esempi: a) 222:37=6. Questa è la somma 2+2+2=6; b) 333:37=9, perché 3+3+3=9.

c) 777:37=21, cioè 7+7+7=21.

d) 888:37=24, perché 8+8+8=24.

Teniamo anche conto che 888:24=37.

III. Conclusione

Per svelare il segreto principale dell'argomento del mio lavoro, ho dovuto lavorare sodo: cercare, analizzare informazioni, intervistare i compagni di classe, ripetere i metodi conosciuti in precedenza e trovare molti metodi non familiari di calcolo razionale e infine comprendere qual è il suo segreto? E ho capito che la cosa principale è conoscere ed essere in grado di applicare quelli conosciuti, trovare nuovi metodi razionali di conteggio, la tavola pitagorica, la composizione dei numeri (classi e ranghi), le leggi delle operazioni aritmetiche. Oltretutto,

cercare nuove strade:

- Tecniche per l'addizione semplificata di numeri: (metodo di addizione bit per bit sequenziale; metodo di numero tondo; metodo di scomposizione di uno dei fattori in termini);

-Tecniche per la sottrazione semplificata di numeri(metodo di sottrazione bit per bit sequenziale; metodo dei numeri tondi);

-Tecniche per la moltiplicazione semplificata dei numeri(moltiplicazione per uno seguito da zeri; metodo di moltiplicazione bit per bit sequenziale; metodo dei numeri tondi; metodo di scomposizione di uno dei fattori ;

- Segreti del conteggio mentale veloce(moltiplicando un numero a due cifre per 11: quando si moltiplica un numero a due cifre per 11, le cifre di questo numero vengono allontanate e la somma di queste cifre viene posta al centro; il prodotto di numeri a due cifre che hanno il lo stesso numero di decine e la somma delle unità è 10. La divisione di numeri a tre cifre costituiti dalle stesse cifre, fino al numero 37. Probabilmente esistono molti altri modi simili, quindi continuerò a lavorare su questo argomento in seguito. anno.

IV. Bibliografia

1. Savin A. P. Miniature matematiche / A. P. Savin. – M.: Letteratura per ragazzi, 1991

2. Zubareva I.I., Matematica, grado 5: un libro di testo per studenti di istituti di istruzione generale / I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich. – M.: Mnemosine, 2011

4. http://www. xreferat.ru

5. http://www. biografia.ru

6. http://www. Ripetizione matematica. ru

V. Applicazioni

Mini studio (indagine sotto forma di questionario)

Per identificare la conoscenza degli studenti sul conteggio razionale, ho condotto un sondaggio sotto forma di questionario sulle seguenti domande:

* Sai cosa sono le tecniche di conteggio razionale?

* Se sì, allora da dove e, se no, perché?

*Quanti modi di contare razionali conosci?

*Hai difficoltà nel calcolo mentale?

*Come studi matematica? a) a “5”; b) a “4”; c) a “3”

*Cosa ti piace di più della matematica?

a) esempi; b) compiti; c) frazioni

* Dove pensi che possa essere utile l'aritmetica mentale, oltre alla matematica? *Ricordi le leggi delle operazioni aritmetiche e, se sì, quali?

Dopo aver condotto un sondaggio, mi sono reso conto che i miei compagni di classe non sanno abbastanza delle leggi delle operazioni aritmetiche, la maggior parte di loro ha problemi con il conteggio razionale, molti studenti contano lentamente e con errori e tutti vogliono imparare a contare velocemente, correttamente e in modo conveniente. Pertanto, l'argomento del mio lavoro di ricerca è estremamente importante per tutti gli studenti e non solo.

1. Interessanti metodi di calcolo orali e scritti che abbiamo studiato durante le lezioni di matematica, utilizzando esempi tratti dal libro di testo "Matematica, 5a elementare":

Ecco qui alcuni di loro:

per moltiplicare rapidamente un numero per 5, basti notare che 5=10:2.

Ad esempio, 43x5=(43x10):2=430:2=215;

48x5=(48:2)x10=24x10=240.

Moltiplicare un numero per 50 , puoi moltiplicarlo per 100 e dividerlo per 2.

Ad esempio: 122x50=(122x100):2=12200:2=6100

Moltiplicare un numero per 25 , puoi moltiplicarlo per 100 e dividerlo per 4,

Ad esempio, 32x25=(32 x 100):4=3200:4=800

Moltiplicare un numero per 125 , puoi moltiplicarlo per 1000 e dividerlo per 8,

Ad esempio: 192x125=(192x1000):8=192000:8=24000

Dividere un numero tondo con due 0 finali per 25 , puoi dividerlo per 100 e moltiplicarlo per 4.

Ad esempio: 2400:25=(2400:100) x 4=24 x 4=96

Dividere un numero tondo per 50 , può essere diviso per 100 e moltiplicato per 2

Ad esempio: 4500:50=(4500:100) x 2 =45 x 2 =90

Ma non bisogna solo saper calcolare, ma bisogna anche conoscere la tavola pitagorica, le leggi delle operazioni aritmetiche, la composizione dei numeri (classi e cifre) e avere le competenze per usarli

Leggi delle operazioni aritmetiche.

UN + B = B + UN

Legge commutativa dell'addizione

(UN + B) + C = UN + (B + C)

Legge di combinazione dell'addizione

UN · B = B · UN

Legge commutativa della moltiplicazione

(UN · B) · C = UN · (B · C)

Legge combinata della moltiplicazione

(UN = B) · C = UN · C = B · C

Legge distributiva della moltiplicazione (relativa all'addizione)

Tabellina.

Cos'è la moltiplicazione?

Questa è un'aggiunta intelligente.

Dopotutto, è più intelligente moltiplicare i tempi,

Quindi somma tutto per un'ora.

Tabellina

Ne abbiamo tutti bisogno nella vita.

E non è stato chiamato per niente

Si è MOLTIPLICATA!

Grado e classi

Per rendere comoda la lettura e anche la memorizzazione dei numeri con valori grandi, è opportuno dividerli nelle cosiddette “classi”: partendo da destra, il numero viene diviso da uno spazio in tre cifre “prima classe”, poi un'altra vengono selezionate tre cifre, “seconda classe” e così via. A seconda del significato del numero, l'ultima classe può terminare con tre, due o una cifra.

Ad esempio, il numero 35461298 si scrive così:

Questo numero è diviso in classi:

482 – prima classe (classe di quote)

630 – seconda classe (classe delle migliaia)

35 – terza classe (classe milioni)

Scarico

Ciascuna delle cifre incluse nella classe è chiamata la sua cifra, anch'essa contata da destra.

Ad esempio, il numero 35.630.482 può essere suddiviso in classi e gradi:

482 – prima classe

2 – prima cifra (cifra delle unità)

8 – seconda cifra (decine)

4 – terza cifra (centinaia)

630 – seconda classe

0 – prima cifra (cifra delle migliaia)

3 – seconda cifra (cifra delle decine di migliaia)

6 – terza cifra (centinaia di migliaia)

35 – terza classe

5 – prima cifra (milioni di cifre)

3 – seconda cifra (cifra delle decine di milioni)

Si legge il numero 35.630.482:

Trentacinque milioniantadue.

Problemi con il conteggio razionale e come risolverli

Metodi razionali di memorizzazione.

A seguito del sondaggio e delle osservazioni delle lezioni, ho notato che alcuni studenti non risolvono bene vari problemi ed esercizi perché non hanno familiarità con le tecniche di calcolo razionale.

1. Una delle tecniche è portare il materiale studiato in un sistema conveniente per memorizzare e archiviare in memoria.

2. Affinché il materiale memorizzato venga archiviato nella memoria in un determinato sistema, è necessario eseguire alcuni lavori sul suo contenuto.

3. Successivamente puoi iniziare ad assimilare ogni singola parte del testo, rileggendolo e cercando di riprodurre immediatamente (ripetere a te stesso o ad alta voce) ciò che leggi.

4. La ripetizione del materiale è di grande importanza per la memorizzazione. Il proverbio popolare parla di questo: “La ripetizione è la madre dell’apprendimento”. Ma deve essere ripetuto saggiamente e correttamente.

Il lavoro di ripetizione deve essere ravvivato utilizzando illustrazioni o esempi che prima non esistevano o sono già stati dimenticati.

Sulla base di quanto sopra, possiamo formulare brevemente le seguenti raccomandazioni per una padronanza di successo del materiale didattico:

1. Imposta un compito, ricorda rapidamente e con fermezza il materiale didattico per molto tempo.

2. Concentrarsi su ciò che deve essere appreso.

3. Comprendere bene il materiale di studio.

4. Prepara un piano per la memorizzazione del testo, evidenziando i pensieri principali in esso contenuti e suddividi il testo in parti.

5. Se il materiale è grande, padroneggia in sequenza una parte dopo l'altra, quindi presenta tutto nel suo insieme.

6. Dopo aver letto il materiale, è necessario riprodurlo (raccontare cosa hai letto).

7. Ripeti il ​​materiale prima che venga dimenticato.

8. Distribuire la ripetizione su un periodo di tempo più lungo.

9. Durante la memorizzazione, utilizza diversi tipi di memoria (principalmente semantica) e alcune caratteristiche individuali della tua memoria (visiva, uditiva o motoria).

10. Il materiale difficile dovrebbe essere ripetuto prima di andare a dormire, e poi al mattino, “per avere una memoria fresca”.

11. Prova ad applicare nella pratica le conoscenze acquisite. Questo è il modo migliore per conservarli nella memoria (non per niente si dice: “La vera madre dell'apprendimento non è la ripetizione, ma l'applicazione”).

12. Dobbiamo acquisire più conoscenze, imparare qualcosa di nuovo.

Ora hai imparato a ricordare rapidamente e correttamente il materiale che hai studiato.

Una tecnica interessante per moltiplicare alcuni numeri per 9 in combinazione con l'aggiunta di numeri naturali consecutivi da 2 a 10

12345x9+6=111111

123456x9+7=1111111

1234567x9+8=11111111

12345678x9+9=111111111

123456789x9+10=1111111111

Interessante gioco “Indovina il numero”

Hai giocato al gioco "Indovina il numero"? Questo è un gioco molto semplice. Diciamo che penso a un numero naturale inferiore a 100, lo scrivo su carta (in modo che non ci sia possibilità di imbrogliare) e provi a indovinarlo ponendo domande a cui si può rispondere solo "sì" o "no". Quindi indovini un numero e io provo a indovinarlo. Vince chi indovina con meno domande.

Quante domande ti serviranno per indovinare il mio numero? Non lo so? Mi impegno a indovinare il tuo numero ponendo solo sette domande. Come? Ecco come, ad esempio. Lasciati indovinare un numero. Chiedo: "È inferiore a 64?" - "SÌ". - "Meno di 32?" - "SÌ". - "Meno di 16?" - "SÌ". - "Meno di 8?" - "NO". - "Meno di 12?" - "NO". - "Meno di 14?" - "SÌ". - "Meno di 13?" - "NO". - "Il numero 13 è previsto."

È chiaro? Divido l'insieme dei numeri possibili a metà, poi di nuovo la metà rimanente e così via, finché il resto non contiene un numero.

Se il gioco ti è piaciuto o, al contrario, ne vuoi di più, allora vai in biblioteca e prendi il libro “A. P. Savin (Miniature matematiche). In questo libro troverai molte cose interessanti ed emozionanti. Immagine del libro:

Grazie a tutti per la vostra attenzione

E ti auguro successo!!!

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Anteprima:

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Didascalie delle diapositive:

Qual è il segreto del conteggio razionale?

Scopo del lavoro: ricerca di informazioni, studio dei metodi e delle tecniche esistenti di contabilità razionale, applicazione nella pratica.

compiti: 1. Condurre una mini-ricerca sotto forma di sondaggio tra classi parallele. 2. Analizzare l'argomento di ricerca: letteratura disponibile nella biblioteca scolastica, informazioni nel libro di testo di matematica per la quinta elementare e su Internet. 3. Selezionare i metodi e i mezzi più efficaci per il conteggio razionale. 4. Classificare le tecniche esistenti per il conteggio rapido orale e scritto. 5. Creare promemoria contenenti tecniche di conteggio razionale da utilizzare nei paralleli di 5a elementare.

Come ho già detto, il tema del calcolo razionale è rilevante non solo per gli studenti, ma anche per ogni persona, per accertarmene ho condotto un sondaggio tra gli studenti di 5a elementare. Le domande e le risposte del sondaggio sono presentate in appendice.

Cos'è il conteggio razionale? Un resoconto razionale è un resoconto conveniente (la parola razionale significa conveniente, corretto)

Perché gli studenti hanno difficoltà???

Ecco alcune ipotesi: Lo studente: 1. ha poco compreso l'argomento studiato; 2. non ripete il materiale; 3. ha scarse competenze matematiche; 4 . crede che non ne avrà bisogno.

Metodi razionali di calcolo orale e scritto. Nel lavoro e nella vita di tutti i giorni sorge costantemente la necessità di vari tipi di calcoli. L'uso dei metodi più semplici di conteggio mentale riduce l'affaticamento, sviluppa l'attenzione e la memoria.

Esistono quattro metodi di addizione noti che possono accelerare i calcoli. I. Tecniche per l'addizione semplificata di numeri

Il metodo dell'addizione bit per bit sequenziale viene utilizzato nei calcoli mentali, poiché semplifica e accelera la somma dei termini. Quando si utilizza questo metodo, l'addizione inizia dalle cifre più alte: le cifre corrispondenti del secondo addendo vengono aggiunte al primo addendo. Esempio. Troviamo la somma dei numeri 5287 e 3564 usando questo metodo. Soluzione. Effettueremo il calcolo nella seguente sequenza: 5.287 + 3.000 = 8.287; 8.287 + 500 = 8.787; 8.787 + 60 = 8.847; 8847 + 4 = 8851. Risposta: 8.851.

Un altro modo di addizione bit per bit sequenziale è che la cifra più alta del secondo addendo viene aggiunta alla cifra più alta del primo addendo, quindi la cifra successiva del secondo addendo viene aggiunta alla cifra successiva del primo addendo, ecc. Consideriamo questa soluzione utilizzando l'esempio riportato, otteniamo: 5.000 + 3.000 = 8.000; 200 + 500 = 700; 80 + 60 = 140; 7 + 4 = 11 Risposta: 8851.

Metodo dei numeri tondi. Un numero che termina con uno o più zeri è detto numero tondo. Questo metodo si usa quando tra due o più termini si possono scegliere quelli che possono essere completati per formare un numero tondo. La differenza tra il numero tondo e il numero specificato nella condizione di calcolo è chiamata complemento. Ad esempio, 1.000 - 978 = 22. In questo caso, il numero 22 è l'addizione aritmetica del numero 978 a 1.000. Per eseguire l'addizione utilizzando il metodo dei numeri tondi, è necessario arrotondare uno o più termini vicini ai numeri tondi, eseguire l'addizione dei numeri tondi e sottrarre le addizioni aritmetiche dalla somma risultante. Esempio. Troviamo la somma dei numeri 1.238 e 193 utilizzando il metodo dei numeri tondi. Soluzione. Arrotondiamo il numero 193 a 200 e facciamo l'addizione come segue: 1.238 + 193 = (1.238 + 200) - 7 = 1.431.

Metodo di raggruppamento dei termini. Questo metodo viene utilizzato nel caso in cui i termini, raggruppati insieme, danno numeri tondi, che poi vengono sommati. Esempio. Trova la somma dei numeri 74, 32, 67, 48, 33 e 26. Soluzione. Sommiamo i numeri raggruppati come segue: (74 + 26) + (32 + 48) + (67 + 33) = 280.

Un metodo di addizione basato sui termini di raggruppamento. Esempio: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…….+97+98+99+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)= 101x50=5050.

II. Tecniche per la sottrazione semplificata di numeri

Metodo di sottrazione bit per bit sequenziale. Questo metodo sottrae in sequenza ogni cifra sottratta dal minuendo. Viene utilizzato quando i numeri non possono essere arrotondati. Esempio. Troviamo la differenza tra i numeri 721 e 398. Eseguiamo i passaggi per trovare la differenza tra i numeri indicati nella seguente sequenza: immagina il numero 398 come una somma: 300 + 90 + 8 = 398; Eseguiamo la sottrazione bit per bit: 721 - 300 = 421; 421 - 90 = 331; 331 - 8 = 323.

Metodo dei numeri tondi. Questo metodo viene utilizzato quando il sottraendo è vicino a un numero tondo. Per calcolare è necessario sottrarre il sottraendo, preso come numero tondo, dal minuendo e aggiungere l'addizione aritmetica alla differenza risultante. Esempio. Calcoliamo la differenza tra i numeri 235 e 197 utilizzando il metodo dei numeri tondi. Soluzione. 235 - 197 = 235 - 200 + 3 = 38.

III. Tecniche per la moltiplicazione semplificata dei numeri

Moltiplicare per uno seguito da zeri. Quando si moltiplica un numero per un numero che include uno seguito da zeri (10; 100; 1.000, ecc.), vengono aggiunti a destra tanti zeri quanti ce ne sono nel fattore dopo l'uno. Esempio. Troviamo il prodotto dei numeri 568 e 100. Soluzione. 568 x 100 = 56.800.

Metodo di moltiplicazione bit per bit sequenziale. Questo metodo viene utilizzato quando si moltiplica un numero per qualsiasi numero a una cifra. Se è necessario moltiplicare un numero a due cifre (tre, quattro cifre, ecc.) per un numero a una cifra, prima si moltiplica uno dei fattori per le decine dell'altro fattore, poi per le sue unità e poi per i prodotti risultanti vengono sommati. Esempio. Troviamo il prodotto dei numeri 39 e 7. Soluzione. 39 x 7 = (30 x 7) + (9 x 7) = 210 + 63 = 273.

Metodo dei numeri tondi. Questo metodo viene utilizzato solo quando uno dei fattori è vicino a un numero tondo. Il moltiplicando viene moltiplicato per un numero tondo, poi per un'addizione aritmetica, e alla fine dal primo prodotto viene sottratto il secondo. Esempio. Troviamo il prodotto dei numeri 174 e 69. Soluzione. 174 x 69 = (174 x 70) - (174 x 1) = 12.180 - 174 = 12.006.

Un metodo per scomporre uno dei fattori. In questo metodo, uno dei fattori viene prima scomposto in parti (addizione), quindi il secondo fattore viene moltiplicato a sua volta per ciascuna parte del primo fattore e i prodotti risultanti vengono sommati. Esempio. Troviamo il prodotto dei numeri 13 e 325. Soluzione. Scomponiamo il numero in termini: 13 = 10 + 3. Moltiplichiamo ciascuno dei termini risultanti per 325: 10 x 325 = 3.250; 3 x 325 = 975 Sommiamo i prodotti risultanti: 3.250 + 975 = 4.225.

Segreti del calcolo mentale veloce. Esistono sistemi di conteggio mentale che ti consentono di contare oralmente in modo rapido e razionale. Vedremo alcune delle tecniche più comunemente utilizzate.

Moltiplicare un numero di due cifre per 11.

Esempi: 23x11= 23x(10+1) = 23x10+23x1=253 (legge distributiva della moltiplicazione relativa all'addizione) 23x11=(20+3)x 11= 20x11+3x11=253 (legge distributiva e metodo dei numeri tondi) Abbiamo studiato questo metodo, ma non conoscevamo un altro segreto per moltiplicare i numeri a due cifre per 11.

Osservando i risultati ottenuti moltiplicando i numeri a due cifre per 11, ho notato che puoi ottenere la risposta in un modo più conveniente: moltiplicando un numero a due cifre per 11, le cifre di questo numero vengono allontanate e la somma di queste le cifre vengono messe al centro. Esempi. a) 23 11=253, perché 2+3=5; b) 45 11=495, perché 4+5=9; c) 57 11=627, perché 5+7=12, il due fu posto al centro, e l'uno fu aggiunto alle centinaia; Ho trovato conferma di questo metodo su Internet.

2) Il prodotto di numeri a due cifre che hanno lo stesso numero di decine, e la somma delle unità è 10, cioè 23 27; 34 36; 52 58, ecc. Regola: la cifra delle decine viene moltiplicata per la cifra successiva della serie naturale, il risultato viene annotato e ad esso viene aggiunto il prodotto delle unità. Esempi. a) 23 27=621. Come hai ottenuto 621? Moltiplichiamo il numero 2 per 3 (il “due” è seguito da “tre”), diventa 6, e accanto ad esso aggiungiamo il prodotto delle unità: 3 7 = 21, risulta 621. b) 34 36 = 1224, poiché 3 4 = 12, assegniamo 24 al numero 12, questo è il prodotto delle unità di questi numeri: 4 6.

3) Dividere i numeri di tre cifre costituiti da cifre identiche per il numero 37. Il risultato è uguale alla somma di queste cifre identiche di un numero di tre cifre (o un numero pari al triplo della cifra di un numero di tre cifre). Esempi. a) 222:37=6. Questa è la somma 2+2+2=6. b) 333:37=9, perché 3+3+3=9. c) 777:37=21, cioè 7+7+7=21. d) 888:37=24, perché 8+8+8=24. Teniamo anche conto che 888:24=37.

Padroneggiare le capacità di calcolo mentale razionale renderà il tuo lavoro più efficace. Ciò è possibile solo con una buona padronanza di tutte le operazioni aritmetiche indicate. L'uso di tecniche di conteggio razionale accelera i calcoli e garantisce la precisione necessaria.

Conclusione Per svelare il segreto principale nell'argomento del mio lavoro, ho dovuto lavorare sodo: cercare, analizzare informazioni, sondare i compagni di classe, ripetere i metodi conosciuti in precedenza e trovare molti metodi non familiari di calcolo razionale, e infine capire qual è il suo segreto? E ho capito che la cosa principale è conoscere ed essere in grado di applicare quelli conosciuti, trovare nuovi metodi razionali di conteggio, conoscere la tavola pitagorica, la composizione dei numeri (classi e gradi), le leggi delle operazioni aritmetiche. Inoltre, cerca nuovi modi:

Tecniche per l'addizione semplificata di numeri: (metodo di addizione bit per bit sequenziale; metodo dei numeri tondi; metodo di scomposizione di uno dei fattori in termini); - Tecniche per la sottrazione semplificata di numeri (metodo di sottrazione sequenziale bit per bit; metodo dei numeri tondi); - Tecniche per la moltiplicazione semplificata dei numeri (moltiplicazione per uno seguito da zeri; un metodo di moltiplicazione bit per bit sequenziale; un metodo per numeri tondi; un metodo per scomporre uno dei fattori; - Segreti del calcolo mentale veloce (moltiplicazione di un numero a due cifre per 11: quando si moltiplica un numero di due cifre per 11, le cifre di questo numero vengono allontanate e al centro viene messa la somma di queste cifre, il prodotto dei numeri a due cifre che hanno lo stesso numero di decine, e la somma di unità è 10; divisione di numeri a tre cifre costituiti dalle stesse cifre per il numero 37. Probabilmente esistono molti altri metodi simili, quindi continuerò a lavorare su questo argomento l'anno prossimo.

In conclusione, vorrei concludere il mio intervento con queste parole:

Grazie a tutti per l'attenzione, vi auguro successo!!!

Questa lezione riguarda l'addizione e la sottrazione di numeri razionali. L'argomento è classificato come complesso. Qui è necessario utilizzare l'intero arsenale di conoscenze precedentemente acquisite.

Le regole per sommare e sottrarre numeri interi valgono anche per i numeri razionali. Ricordiamo che i numeri razionali sono numeri che possono essere rappresentati come una frazione, dove UN - questo è il numeratore della frazione, Bè il denominatore della frazione. In cui, B non dovrebbe essere zero.

In questa lezione chiameremo sempre più frazioni e numeri misti con una frase comune: numeri razionali.

Esempio 1. Trova il significato dell'espressione:

Racchiudiamo ogni numero razionale tra parentesi insieme ai suoi segni. Teniamo presente che il più indicato nell'espressione è un segno di operazione e non si applica alla frazione. Questa frazione ha il proprio segno più, che è invisibile perché non è scritto. Ma lo scriviamo per chiarezza:

Questa è la somma di numeri razionali con segni diversi. Per sommare numeri razionali con segni diversi, è necessario sottrarre il modulo più piccolo dal modulo più grande e inserire il segno del numero razionale il cui modulo è maggiore prima della risposta risultante. E per capire quale modulo è maggiore e quale è minore, bisogna poter confrontare i moduli di queste frazioni prima di calcolarle:

Il modulo di un numero razionale è maggiore del modulo di un numero razionale. Pertanto, abbiamo sottratto da . Abbiamo ricevuto una risposta. Quindi, riducendo questa frazione di 2, abbiamo ottenuto la risposta finale.

Alcune azioni primitive, come mettere i numeri tra parentesi e aggiungere moduli, possono essere saltate. Questo esempio può essere scritto brevemente:

Esempio 2. Trova il significato dell'espressione:

Racchiudiamo ogni numero razionale tra parentesi insieme ai suoi segni. Teniamo presente che il meno tra i numeri razionali è un segno dell'operazione e non si applica alla frazione. Questa frazione ha il proprio segno più, che è invisibile perché non è scritto. Ma lo scriviamo per chiarezza:

Sostituiamo la sottrazione con l'addizione. Ricordiamo che per fare ciò è necessario aggiungere al minuendo il numero opposto al sottraendo:

Abbiamo ottenuto la somma dei numeri razionali negativi. Per aggiungere numeri razionali negativi, devi sommare i loro moduli e mettere un segno meno davanti alla risposta risultante:

Nota. Non è necessario racchiudere tutti i numeri razionali tra parentesi. Questo viene fatto per comodità, per vedere chiaramente quali segni hanno i numeri razionali.

Esempio 3. Trova il significato dell'espressione:

In questa espressione le frazioni hanno denominatori diversi. Per semplificare il nostro compito, riduciamo queste frazioni a un denominatore comune. Non ci soffermeremo nei dettagli su come farlo. Se riscontri difficoltà, assicurati di ripetere la lezione.

Dopo aver ridotto le frazioni a un denominatore comune, l'espressione assumerà la forma seguente:

Questa è la somma di numeri razionali con segni diversi. Sottraiamo il modulo più piccolo dal modulo più grande, e prima della risposta risultante mettiamo il segno del numero razionale il cui modulo è maggiore:

Scriviamo in breve la soluzione di questo esempio:

Esempio 4. Trova il valore di un'espressione

Calcoliamo questa espressione come segue: aggiungiamo i numeri razionali e poi sottraiamo il numero razionale dal risultato risultante.

Prima azione:

Seconda azione:

Esempio 5. Trova il significato dell'espressione:

Rappresentiamo l'intero −1 come una frazione e convertiamo il numero misto in una frazione impropria:

Racchiudiamo ogni numero razionale tra parentesi insieme ai suoi segni:

Abbiamo ottenuto la somma di numeri razionali con segni diversi. Sottraiamo il modulo più piccolo dal modulo più grande, e prima della risposta risultante mettiamo il segno del numero razionale il cui modulo è maggiore:

Abbiamo ricevuto una risposta.

Esiste una seconda soluzione. Consiste nel mettere insieme intere parti separatamente.

Torniamo quindi all'espressione originale:

Racchiudiamo ogni numero tra parentesi. Per fare ciò, il numero misto è temporaneo:

Calcoliamo le parti intere:

(−1) + (+2) = 1

Nell'espressione principale, invece di (−1) + (+2), scriviamo l'unità risultante:

L'espressione risultante è . Per fare ciò, scrivi insieme l'unità e la frazione:

Scriviamo la soluzione in questo modo in modo più breve:

Esempio 6. Trova il valore di un'espressione

Convertiamo il numero misto in una frazione impropria. Riscriviamo il resto senza cambiare:

Racchiudiamo ogni numero razionale tra parentesi insieme ai suoi segni:

Sostituiamo la sottrazione con l'addizione:

Scriviamo in breve la soluzione di questo esempio:

Esempio 7. Trova il valore di un'espressione

Rappresentiamo l'intero −5 come una frazione e convertiamo il numero misto in una frazione impropria:

Portiamo queste frazioni a un denominatore comune. Dopo essere stati ridotti a un denominatore comune, assumeranno la forma seguente:

Racchiudiamo ogni numero razionale tra parentesi insieme ai suoi segni:

Sostituiamo la sottrazione con l'addizione:

Abbiamo ottenuto la somma dei numeri razionali negativi. Sommiamo i moduli di questi numeri e mettiamo un segno meno davanti alla risposta risultante:

Pertanto, il valore dell'espressione è .

Risolviamo questo esempio nel secondo modo. Torniamo all'espressione originale:

Scriviamo il numero misto in forma estesa. Riscriviamo il resto senza modifiche:

Racchiudiamo ogni numero razionale tra parentesi insieme ai suoi segni:

Calcoliamo le parti intere:

Nell'espressione principale, invece di scrivere il numero risultante −7

L'espressione è una forma estesa di scrittura di un numero misto. Scriviamo insieme il numero −7 e la frazione per formare la risposta finale:

Scriviamo brevemente questa soluzione:

Esempio 8. Trova il valore di un'espressione

Racchiudiamo ogni numero razionale tra parentesi insieme ai suoi segni:

Sostituiamo la sottrazione con l'addizione:

Abbiamo ottenuto la somma dei numeri razionali negativi. Sommiamo i moduli di questi numeri e mettiamo un segno meno davanti alla risposta risultante:

Quindi il valore dell'espressione è

Questo esempio può essere risolto nel secondo modo. Consiste nell'aggiungere separatamente le parti intere e quelle frazionarie. Torniamo all'espressione originale:

Racchiudiamo ogni numero razionale tra parentesi insieme ai suoi segni:

Sostituiamo la sottrazione con l'addizione:

Abbiamo ottenuto la somma dei numeri razionali negativi. Sommiamo i moduli di questi numeri e mettiamo un segno meno davanti alla risposta risultante. Ma questa volta aggiungeremo le parti intere (−1 e −2), sia frazionarie che

Scriviamo brevemente questa soluzione:

Esempio 9. Trova espressioni espressive

Convertiamo i numeri misti in frazioni improprie:

Racchiudiamo tra parentesi un numero razionale insieme al suo segno. Non è necessario mettere un numero razionale tra parentesi, poiché è già tra parentesi:

Abbiamo ottenuto la somma dei numeri razionali negativi. Sommiamo i moduli di questi numeri e mettiamo un segno meno davanti alla risposta risultante:

Quindi il valore dell'espressione è

Proviamo ora a risolvere lo stesso esempio nel secondo modo, ovvero sommando separatamente le parti intere e quelle frazionarie.

Questa volta, per avere una soluzione breve, proviamo a saltare alcuni passaggi, come scrivere un numero misto in forma estesa e sostituire la sottrazione con l'addizione:

Tieni presente che le parti frazionarie sono state ridotte a un denominatore comune.

Esempio 10. Trova il valore di un'espressione

Sostituiamo la sottrazione con l'addizione:

L'espressione risultante non contiene numeri negativi, che rappresentano la causa principale degli errori. E poiché non ci sono numeri negativi, possiamo rimuovere il segno più davanti al sottraendo e anche le parentesi:

Il risultato è un'espressione semplice che è facile da calcolare. Calcoliamolo in qualsiasi modo conveniente per noi:

Esempio 11. Trova il valore di un'espressione

Questa è l'addizione di numeri razionali con segni diversi. Sottraiamo il modulo più piccolo dal modulo più grande, e prima della risposta risultante mettiamo il segno del numero razionale il cui modulo è maggiore:

Esempio 12. Trova il valore di un'espressione

L'espressione è composta da diversi numeri razionali. Secondo, prima di tutto è necessario eseguire i passaggi tra parentesi.

Per prima cosa calcoliamo l'espressione, quindi aggiungiamo i risultati ottenuti.

Prima azione:

Seconda azione:

Terza azione:

Risposta: valore espressivo equivale

Esempio 13. Trova il valore di un'espressione

Convertiamo i numeri misti in frazioni improprie:

Mettiamo tra parentesi il numero razionale insieme al suo segno. Non è necessario mettere il numero razionale tra parentesi, poiché è già tra parentesi:

Portiamo queste frazioni a un denominatore comune. Dopo essere stati ridotti a un denominatore comune, assumeranno la forma seguente:

Sostituiamo la sottrazione con l'addizione:

Abbiamo ottenuto la somma di numeri razionali con segni diversi. Sottraiamo il modulo più piccolo dal modulo più grande, e prima della risposta risultante mettiamo il segno del numero razionale il cui modulo è maggiore:

Quindi, il significato dell'espressione equivale

Consideriamo l'addizione e la sottrazione dei decimali, che sono anch'essi numeri razionali e possono essere positivi o negativi.

Esempio 14. Trova il valore dell'espressione −3.2 + 4.3

Racchiudiamo ogni numero razionale tra parentesi insieme ai suoi segni. Teniamo presente che il più indicato nell'espressione è un segno di operazione e non si applica alla frazione decimale 4.3. Questa frazione decimale ha il proprio segno più, che è invisibile perché non è scritto. Ma lo scriviamo per chiarezza:

(−3,2) + (+4,3)

Questa è la somma di numeri razionali con segni diversi. Per sommare numeri razionali con segni diversi, è necessario sottrarre il modulo più piccolo dal modulo più grande e inserire il segno del numero razionale il cui modulo è maggiore prima della risposta risultante. E per capire quale modulo è più grande e quale è più piccolo, devi essere in grado di confrontare i moduli di queste frazioni decimali prima di calcolarle:

(−3,2) + (+4,3) = |+4,3| − |−3,2| = 1,1

Il modulo del numero 4.3 è maggiore del modulo del numero −3.2, quindi abbiamo sottratto 3.2 da 4.3. Abbiamo ricevuto la risposta 1.1. La risposta è positiva, poiché la risposta deve essere preceduta dal segno del numero razionale il cui modulo è maggiore. E il modulo del numero 4.3 è maggiore del modulo del numero −3.2

Pertanto, il valore dell'espressione −3,2 + (+4,3) è 1,1

−3,2 + (+4,3) = 1,1

Esempio 15. Trova il valore dell'espressione 3,5 + (−8,3)

Questa è la somma di numeri razionali con segni diversi. Come nell'esempio precedente, sottraiamo il modulo più piccolo dal modulo più grande e prima della risposta mettiamo il segno del numero razionale il cui modulo è maggiore:

3,5 + (−8,3) = −(|−8,3| − |3,5|) = −(8,3 − 3,5) = −(4,8) = −4,8

Pertanto, il valore dell'espressione 3,5 + (−8,3) è −4,8

Questo esempio può essere scritto brevemente:

3,5 + (−8,3) = −4,8

Esempio 16. Trova il valore dell'espressione −7.2 + (−3.11)

Questa è la somma di numeri razionali negativi. Per aggiungere numeri razionali negativi, devi sommare i loro moduli e mettere un segno meno davanti alla risposta risultante.

Puoi saltare la voce con i moduli per non ingombrare l'espressione:

−7,2 + (−3,11) = −7,20 + (−3,11) = −(7,20 + 3,11) = −(10,31) = −10,31

Pertanto, il valore dell'espressione −7,2 + (−3,11) è −10,31

Questo esempio può essere scritto brevemente:

−7,2 + (−3,11) = −10,31

Esempio 17. Trova il valore dell'espressione −0,48 + (−2,7)

Questa è la somma di numeri razionali negativi. Aggiungiamo i loro moduli e mettiamo un segno meno davanti alla risposta risultante. Puoi saltare la voce con i moduli per non ingombrare l'espressione:

−0,48 + (−2,7) = (−0,48) + (−2,70) = −(0,48 + 2,70) = −(3,18) = −3,18

Esempio 18. Trova il valore dell'espressione −4.9 − 5.9

Racchiudiamo ogni numero razionale tra parentesi insieme ai suoi segni. Teniamo presente che il meno, che si trova tra i numeri razionali −4.9 e 5.9, è un segno di operazione e non appartiene al numero 5.9. Questo numero razionale ha il suo segno più, che è invisibile perché non è scritto. Ma lo scriviamo per chiarezza:

(−4,9) − (+5,9)

Sostituiamo la sottrazione con l'addizione:

(−4,9) + (−5,9)

Abbiamo ottenuto la somma dei numeri razionali negativi. Aggiungiamo i loro moduli e mettiamo un segno meno davanti alla risposta risultante:

(−4,9) + (−5,9) = −(4,9 + 5,9) = −(10,8) = −10,8

Pertanto, il valore dell'espressione −4,9 − 5,9 è −10,8

−4,9 − 5,9 = −10,8

Esempio 19. Trova il valore dell'espressione 7 − 9.3

Mettiamo ogni numero tra parentesi insieme ai suoi segni.

(+7) − (+9,3)

Sostituisci la sottrazione con l'addizione

(+7) + (−9,3)

(+7) + (−9,3) = −(9,3 − 7) = −(2,3) = −2,3

Pertanto, il valore dell'espressione 7 − 9,3 è −2,3

Scriviamo in breve la soluzione di questo esempio:

7 − 9,3 = −2,3

Esempio 20. Trova il valore dell'espressione −0,25 − (−1,2)

Sostituiamo la sottrazione con l'addizione:

−0,25 + (+1,2)

Abbiamo ottenuto la somma di numeri razionali con segni diversi. Sottraiamo il modulo più piccolo dal modulo più grande, e prima della risposta mettiamo il segno del numero il cui modulo è maggiore:

−0,25 + (+1,2) = 1,2 − 0,25 = 0,95

Scriviamo in breve la soluzione di questo esempio:

−0,25 − (−1,2) = 0,95

Esempio 21. Trova il valore dell'espressione −3,5 + (4,1 − 7,1)

Eseguiamo le azioni tra parentesi, quindi aggiungiamo la risposta risultante con il numero −3.5

Prima azione:

4,1 − 7,1 = (+4,1) − (+7,1) = (+4,1) + (−7,1) = −(7,1 − 4,1) = −(3,0) = −3,0

Seconda azione:

−3,5 + (−3,0) = −(3,5 + 3,0) = −(6,5) = −6,5

Risposta: il valore dell'espressione −3,5 + (4,1 − 7,1) è −6,5.

Esempio 22. Trova il valore dell'espressione (3,5 − 2,9) − (3,7 − 9,1)

Facciamo i passaggi tra parentesi. Quindi, dal numero ottenuto come risultato dell'esecuzione delle prime parentesi, sottrai il numero ottenuto come risultato dell'esecuzione delle seconde parentesi:

Prima azione:

3,5 − 2,9 = (+3,5) − (+2,9) = (+3,5) + (−2,9) = 3,5 − 2,9 = 0,6

Seconda azione:

3,7 − 9,1 = (+3,7) − (+9,1) = (+3,7) + (−9,1) = −(9,1 − 3,7) = −(5,4) = −5,4

Terzo atto

0,6 − (−5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6

Risposta: il valore dell'espressione (3,5 − 2,9) − (3,7 − 9,1) è 6.

Esempio 23. Trova il valore di un'espressione −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15

Racchiudiamo tra parentesi ogni numero razionale insieme ai suoi segni

(−3,8) + (+17,15) − (+6,2) − (+6,15)

Sostituiamo la sottrazione con l'addizione ove possibile:

(−3,8) + (+17,15) + (−6,2) + (−6,15)

L'espressione è composta da diversi termini. Secondo la legge combinatoria dell'addizione, se un'espressione è composta da più termini, la somma non dipenderà dall'ordine delle azioni. Ciò significa che i termini possono essere aggiunti in qualsiasi ordine.

Non reinventiamo la ruota, ma aggiungiamo tutti i termini da sinistra a destra nell'ordine in cui appaiono:

Prima azione:

(−3,8) + (+17,15) = 17,15 − 3,80 = 13,35

Seconda azione:

13,35 + (−6,2) = 13,35 − −6,20 = 7,15

Terza azione:

7,15 + (−6,15) = 7,15 − 6,15 = 1,00 = 1

Risposta: il valore dell'espressione −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15 è 1.

Esempio 24. Trova il valore di un'espressione

Convertiamo la frazione decimale −1,8 in un numero misto. Riscriviamo il resto senza cambiare:

L'attuale livello di sviluppo degli strumenti di automazione informatica ha creato tra molti l'illusione che non sia affatto necessario sviluppare competenze informatiche. Ciò ha influito sulla preparazione degli scolari. In assenza di una calcolatrice, anche i compiti computazionali più semplici diventano un problema per molti.

Allo stesso tempo, i compiti d'esame e i materiali per l'Esame di Stato Unificato contengono molti compiti, la cui soluzione richiede la capacità dei partecipanti al test di organizzare razionalmente i calcoli.

In questo articolo esamineremo alcuni metodi per ottimizzare i calcoli e la loro applicazione a problemi competitivi.

Molto spesso, i metodi per ottimizzare i calcoli sono associati all'applicazione delle leggi fondamentali per l'esecuzione delle operazioni aritmetiche.

Per esempio:

125 · 24 = 125 · 8 · 3 = 1000 · 3 = 3000; O

98 16(100 – 2) 16 = 100 16 – 2 16 = 1600 – 32 = 1568, ecc.

Un'altra direzione - uso di formule di moltiplicazione abbreviate.

96 · 104 = (100 – 4) · (100 + 4) = 100 2 – 4 2 = 10000 – 16 = 9984; O

115 2 = (100 + 15) 2 = 10000 + 2 15 100 + 225 = 10525.

Interessante per i calcoli è il seguente esempio.

Calcolare:

(197 · 203 + 298 · 302 + 13) / (1999 · 2001 + 2993 · 3007 + 50) =
= ((200 – 3) · (200 + 3) + (300 – 2) · (300 + 2) + 13) / ((2000 – 1) · (2000 + 1) + (3000 – 7) · (3000 + 7) + 50) =
= (200 2 – 3 2 + 300 2 – 2 2 + 13) / (2000 2 – 1 2 + 3000 2 – 7 2 – 50) =
= 130000 / 13000000 = 0,01

Questi sono modi quasi standard per ottimizzare i calcoli. A volte ne vengono offerti di più esotici. Ad esempio, considera il metodo di moltiplicazione dei numeri a due cifre la cui somma dà come risultato 10.

54 26 = 50 30 + 4 (26 – 50) = 1500 – 96 =1404 o

43 87 = 40 90 + 3 (87 – 40) = 3600 + 141 = 3741.

Lo schema di moltiplicazione può essere compreso dalla figura.

Da dove viene questo schema di moltiplicazione?

I nostri numeri secondo la condizione hanno la forma: M = 10m + n, K = 10k + (10 – n). Componiamo un pezzo:

M K = (10m + n)(10k + (10 – n)) =
= 100mk + 100m – 10mn + 10nk + 10n – n 2 =
= m(k + 1) 100 + n(10k + 10 – n) =
= (10m) · (10 · (k + 1)) + n · (K – 10m) e il metodo è giustificato.

Esistono molti modi intelligenti per trasformare calcoli abbastanza complessi in problemi mentali. Ma non si può pensare che tutti debbano ricordare questi e molti altri modi intelligenti per semplificare i calcoli. È importante solo impararne alcuni di base. L'analisi degli altri ha senso solo per sviluppare competenze nell'uso dei metodi di base. È il loro uso creativo che consente di risolvere rapidamente e correttamente i problemi computazionali.

A volte, quando si risolvono esempi di calcolo, è conveniente passare dalla trasformazione di espressioni con numeri alla trasformazione di polinomi. Considera il seguente esempio.

Calcola nel modo più razionale:

3 1/117 4 1/110 -1 110/117 5 118/119 - 5/119

Soluzione.

Sia a = 1/117 e b = 1/119. Quindi 3 1/117 = 3 + a, 4 1/119 = 4 + b, 1 116/117 = 2 – a, 5 118/119 = 6 – b.

Pertanto, l'espressione data può essere scritta come (3 + a) · (4 + b) – (2 – a) · (6 – b) – 5b.

Dopo aver eseguito semplici trasformazioni del polinomio, otteniamo 10a o 10/117.

Qui abbiamo ottenuto che il valore della nostra espressione non dipende da b. Ciò significa che abbiamo calcolato non solo il valore di questa espressione, ma anche qualsiasi altra ottenuta da (3 + a) · (4 + b) – (2 – a) · (6 – b) – 5b sostituendo i valori di a e b. Se, ad esempio, a = 5/329, la risposta sarà 50 / 329 , qualunque cosa b.

Consideriamo un altro esempio, la cui soluzione utilizzando una calcolatrice è quasi impossibile, e la risposta è abbastanza semplice se si conosce l'approccio per risolvere esempi di questo tipo

Calcolare

1 / 6 · 7 1024 – (7 512 + 1) · (7 256 + 1) · (7 128 + 1) · (7 64 + 1) · (7 32 + 1) · (7 16 + 1) · ( 7 8 + 1) · (7 4 + 1) · (7 2 + 1) · (7 + 1)

Soluzione.

Trasformiamo la condizione

1 / 6 7 1024 - 1 / 6 (7 512 + 1) (7 256 + 1) (7 128 + 1) (7 64 +1) (7 32 + 1) (7 16 + 1) · (7 8 + 1) · (7 4 + 1) · (7 2 + 1) · (7 + 1) · (7 – 1) =

1/6 · 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) · (7 256 + 1) · (7 128 + 1) · (7 64 + 1) · (7 32 + 1) · (7 16 + 1 ) · (7 8 + 1) · (7 4 + 1) · (7 2 + 1) · (7 2 – 1) =

1/6 · 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) · (7 256 + 1) · (7 128 + 1) · (7 64 + 1) · (7 32 + 1) · (7 16 + 1 ) · (7 8 + 1) · (7 4 + 1) · (7 4 – 1) =

1/6 · 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) · (7 256 + 1) · (7 128 + 1) · (7 64 + 1) · (7 32 + 1) · (7 16 + 1 ) · (7 8 + 1) · (7 8 – 1) =

1/6 · 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) · (7 256 +1) · (7 128 + 1) · (7 64 + 1) · (7 32 + 1) · (7 16 + 1 ) · (7 16 – 1) = … =

1/6 · 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) · (7 512 – 1) = 1/6 · 7 1024 - 1/6 · (7 1024 – 1) = 1/6

Diamo un'occhiata a un esempio che è già diventato libro di testo nei materiali d'esame per il corso scolastico di base.

Calcola l'importo:

1/2 + 1 / (2 3) + 1 / (3 4) + 1 / (4 5) + … + 1 / (120 121) =

= (1 – 1/2) + (1/2 – 1/3) + (1/3 – 1/4) + (1/4 – 1/5) + … + (1/120 – 1/121) =

= 1 – 1/121 = 120/121.

Cioè, questo problema è stato risolto sostituendo ciascuna frazione con la differenza di due frazioni. La somma risultò essere coppie di numeri opposti a tutti tranne il primo e l'ultimo.

Ma questo esempio può essere generalizzato. Consideriamo l'importo:

k/(n (n + k)) + k/((n + k) (n + 2k)) + k/((n + 2k) (n + 3k)) + … + k/(( n+(m – 1)k) (n + mk))

Per questo vale lo stesso ragionamento dell’esempio precedente. Infatti:

1/n – 1/(n + k) = k/(n · (n + k));

1/((n+k) – 1/(n + 2k) = k/((n + k) (n + 2k)), ecc.

Quindi costruiremo la risposta secondo lo stesso schema: 1/n – 1/(n + mk) = mk/(n (n + mk))

E ancora sugli importi “lunghi”.

Quantità

X = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/512 + 1/1024

può essere calcolato come la somma di 11 termini di una progressione geometrica con denominatore 1/2 e primo termine pari a 1. Ma la stessa somma può essere calcolata da uno studente di 5a elementare che non ha idea delle progressioni. Per fare ciò, è sufficiente selezionare con successo un numero che aggiungeremo alla somma X. Questo numero qui sarà 1/1024.

Calcoliamo

X + 1/1024 = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/512 + (1/1024 + 1 /1024) =
= 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/512 + 1/512 =
=1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/256 = … = 1 + 1/2 + 1/2 = 2.

Ora è ovvio che X = 2 – 1/1024 = 1 1023 / 1024 .

Il secondo metodo non è meno promettente. Usandolo puoi calcolare l'importo:

S = 9 + 99 + 999 + 9999 + … + 99 999 999 999.

Qui il numero “fortunato” è 11. Aggiungilo a S e distribuiscilo uniformemente tra tutti gli 11 termini. Ognuno di essi otterrà quindi 1. Quindi abbiamo:

S + 11 = 9 + 1 + 99 + 1 + 999 + 1 + 9999 + 1 + … + 99 999 999 999 + 1 =
= 10 + 100 + 1000 + 10000 + ... + 100 000 000 000 = 111 111 111 110;

Pertanto S = 111 111 111 110 – 11 = 111 111 111 099.

1 + 11 + 111 + 1111 + ... + 1 111 111 111?

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In questo articolo inizieremo ad esplorare numeri razionali. Qui daremo le definizioni dei numeri razionali, forniremo le spiegazioni necessarie e forniremo esempi di numeri razionali. Successivamente, ci concentreremo su come determinare se un dato numero è razionale o meno.

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Definizione ed esempi di numeri razionali

In questa sezione daremo alcune definizioni di numeri razionali. Nonostante le differenze nella formulazione, tutte queste definizioni hanno lo stesso significato: i numeri razionali uniscono numeri interi e frazioni, proprio come i numeri interi uniscono i numeri naturali, i loro opposti e il numero zero. In altre parole, i numeri razionali generalizzano i numeri interi e frazionari.

Iniziamo con definizioni di numeri razionali, che viene percepito nel modo più naturale.

Dalla definizione data segue che un numero razionale è:

• Qualsiasi numero naturale n. In effetti, puoi rappresentare qualsiasi numero naturale come una frazione ordinaria, ad esempio 3=3/1.
• Qualsiasi numero intero, in particolare il numero zero. In effetti, qualsiasi numero intero può essere scritto come frazione positiva, frazione negativa o zero. Ad esempio, 26=26/1, .
• Qualsiasi frazione comune (positiva o negativa). Ciò è direttamente confermato dalla definizione data di numeri razionali.
• Qualsiasi numero misto. In effetti, puoi sempre rappresentare un numero misto come una frazione impropria. Ad esempio, e.
• Qualsiasi frazione decimale finita o frazione periodica infinita. Ciò è dovuto al fatto che le frazioni decimali indicate vengono convertite in frazioni ordinarie. Ad esempio, e 0,(3)=1/3.

È anche chiaro che qualsiasi frazione decimale infinita non periodica NON è un numero razionale, poiché non può essere rappresentata come una frazione comune.

Adesso possiamo donare facilmente esempi di numeri razionali. I numeri 4, 903, 100.321 sono numeri razionali perché sono numeri naturali. Anche gli interi 58, −72, 0, −833,333,333 sono esempi di numeri razionali. Anche le frazioni comuni 4/9, 99/3 sono esempi di numeri razionali. Anche i numeri razionali sono numeri.

Dagli esempi precedenti è chiaro che esistono numeri razionali sia positivi che negativi, e il numero razionale zero non è né positivo né negativo.

La definizione di numeri razionali di cui sopra può essere formulata in una forma più concisa.

Definizione.

Numeri razionali sono numeri che possono essere scritti come frazione z/n, dove z è un numero intero e n è un numero naturale.

Dimostriamo che questa definizione di numeri razionali è equivalente alla definizione precedente. Sappiamo che possiamo considerare la linea di una frazione come un segno di divisione, quindi dalle proprietà di dividere gli interi e dalle regole per dividere gli interi segue la validità delle seguenti uguaglianze e. Quindi, questa è la prova.

Diamo esempi di numeri razionali basati su questa definizione. I numeri −5, 0, 3 e sono numeri razionali, poiché possono essere scritti come frazioni con un numeratore intero e un denominatore naturale della forma e, rispettivamente.

La definizione di numeri razionali può essere data nella seguente formulazione.

Definizione.

Numeri razionali sono numeri che possono essere scritti come frazione decimale periodica finita o infinita.

Anche questa definizione è equivalente alla prima definizione, poiché ad ogni frazione ordinaria corrisponde una frazione decimale finita o periodica e viceversa, e ad ogni intero si può associare una frazione decimale con zeri dopo la virgola.

Ad esempio, i numeri 5, 0, −13 sono esempi di numeri razionali perché possono essere scritti come le seguenti frazioni decimali 5.0, 0.0, −13.0, 0.8 e −7, (18).

Concludiamo la teoria di questo punto con le seguenti affermazioni:

• gli interi e le frazioni (positive e negative) costituiscono l'insieme dei numeri razionali;
• ogni numero razionale può essere rappresentato come una frazione con un numeratore intero e un denominatore naturale, e ciascuna di queste frazioni rappresenta un certo numero razionale;
• ogni numero razionale può essere rappresentato come una frazione decimale periodica finita o infinita, e ciascuna di tali frazioni rappresenta un numero razionale.

Questo numero è razionale?

Nel paragrafo precedente abbiamo scoperto che qualsiasi numero naturale, qualsiasi numero intero, qualsiasi frazione ordinaria, qualsiasi numero misto, qualsiasi frazione decimale finita, nonché qualsiasi frazione decimale periodica è un numero razionale. Questa conoscenza ci permette di “riconoscere” i numeri razionali da un insieme di numeri scritti.

Ma cosa succede se il numero è dato sotto forma di alcuni , o come , ecc., come rispondere alla domanda se questo numero è razionale? In molti casi è molto difficile rispondere. Indichiamo alcune direzioni di pensiero.

Se un numero è dato come espressione numerica che contiene solo numeri razionali e segni aritmetici (+, −, · e:), allora il valore di questa espressione è un numero razionale. Ciò deriva da come vengono definite le operazioni con numeri razionali. Ad esempio, dopo aver eseguito tutte le operazioni nell'espressione, otteniamo il numero razionale 18.

A volte, dopo aver semplificato le espressioni e averle rese più complesse, diventa possibile determinare se un dato numero è razionale.

Andiamo oltre. Il numero 2 è un numero razionale, poiché qualsiasi numero naturale è razionale. E il numero? È razionale? Si scopre che no, non è un numero razionale, è un numero irrazionale (la prova di questo fatto per contraddizione è data nel libro di testo di algebra per la classe 8, elencato di seguito nell'elenco dei riferimenti). È stato anche dimostrato che la radice quadrata di un numero naturale è un numero razionale solo nei casi in cui sotto la radice c'è un numero che è il quadrato perfetto di un numero naturale. Ad esempio, e sono numeri razionali, poiché 81 = 9 2 e 1 024 = 32 2, e i numeri e non sono razionali, poiché i numeri 7 e 199 non sono quadrati perfetti di numeri naturali.

Il numero è razionale oppure no? In questo caso è facile notare che, quindi, questo numero è razionale. Il numero è razionale? È stato dimostrato che la radice k-esima di un intero è un numero razionale solo se il numero sotto il segno della radice è la potenza k-esima di qualche intero. Non è quindi un numero razionale, poiché non esiste un intero la cui quinta potenza sia 121.

Il metodo per assurdo consente di dimostrare che i logaritmi di alcuni numeri non sono numeri razionali per qualche motivo. Ad esempio, dimostriamo che - non è un numero razionale.

Supponiamo il contrario, cioè diciamo che è un numero razionale e può essere scritto come una frazione ordinaria m/n. Quindi diamo le seguenti uguaglianze: . L'ultima uguaglianza è impossibile, poiché c'è a sinistra numero dispari 5 n, e sul lato destro c'è il numero pari 2 m. Pertanto, la nostra ipotesi è errata, quindi non è un numero razionale.

In conclusione, vale la pena notare in particolare che quando si determina la razionalità o l'irrazionalità dei numeri, è necessario astenersi dal trarre conclusioni improvvise.

Ad esempio, non dovresti affermare immediatamente che il prodotto dei numeri irrazionali π ed e è un numero irrazionale, questo è “apparentemente ovvio”, ma non dimostrato; Ciò solleva la domanda: “Perché un prodotto dovrebbe essere un numero razionale?” E perché no, perché puoi fare un esempio di numeri irrazionali, il cui prodotto dà un numero razionale: .

Non è inoltre noto se i numeri e molti altri numeri siano razionali o meno. Ad esempio, ci sono numeri irrazionali il cui potere irrazionale è un numero razionale. A scopo illustrativo, presentiamo un grado della forma , la base di questo grado e l'esponente non sono numeri razionali, ma , e 3 è un numero razionale.

Bibliografia.

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