Kako pronaći površinu i opseg pravokutnika pravilo. Kako izračunati površinu pravokutnika: praktični savjeti

Jedna od prvih formula koja se proučava u matematici vezana je za pravokutnik. Ujedno je i najčešće korišten. Pravokutne površine okružuju nas posvuda, pa često trebamo znati njihove površine. Barem da saznate je li dostupna boja dovoljna za bojanje podova.

Koje jedinice za površinu postoje?

Ako govorimo o onom koji je prihvaćen kao međunarodni, onda će to biti kvadratni metar. Pogodan je za korištenje pri izračunavanju površina zidova, stropova ili podova. Oni označavaju područje stanovanja.

Kada je riječ o manjim objektima, upisuju se kvadratni decimetri, centimetri ili milimetri. Potonji su potrebni ako lik nije veći od nokta.

Kada se mjeri površina grada ili države, kvadratni kilometri su najprikladniji. Ali postoje i jedinice koje se koriste za označavanje veličine površine: ar i hektar. Prvi od njih naziva se i sto.

Što ako su zadane stranice pravokutnika?

Na sličan način se računa, što je poseban slučaj pravokutnika. Budući da su sve strane jednake, proizvod postaje kvadrat slova A.

Što ako je lik prikazan na kariranom papiru?

U ovoj situaciji morate se osloniti na broj ćelija unutar figure. Koristeći njihov broj, lako je izračunati površinu pravokutnika. Ali to se može učiniti kada se stranice pravokutnika podudaraju s linijama ćelija.

Često je pravokutnik postavljen na takav način da su njegove stranice nagnute u odnosu na liniju papira. Tada je broj ćelija teško odrediti, pa izračunavanje površine pravokutnika postaje kompliciranije.

Prvo ćete morati saznati područje pravokutnika, koji se može nacrtati u ćelijama točno oko ove. Jednostavno je: pomnožite visinu i širinu. Zatim od dobivene površine oduzmite sve, a ima ih četiri. Usput, izračunavaju se kao pola proizvoda nogu.

Konačni rezultat će dati površinu ovog pravokutnika.

Što učiniti ako su stranice nepoznate, a zadana je njezina dijagonala i kut između dijagonala?

Prije toga, u ovoj situaciji, morate izračunati njegove strane kako biste upotrijebili već poznatu formulu. Prvo morate zapamtiti svojstvo njegovih dijagonala. One su jednake i raspolavljaju točkom presjeka. Na crtežu možete vidjeti da dijagonale dijele pravokutnik na četiri jednakokračna trokuta, koji su u parovima međusobno jednaki.

Jednake stranice ovih trokuta definirane su kao polovice dijagonale, što je poznato. Odnosno, svaki trokut ima dvije stranice i kut između njih koji su zadani u zadatku. Možeš koristiti

Jedna stranica pravokutnika izračunat će se pomoću formule koja koristi jednake stranice trokuta i kosinus zadanog kuta. Za izračun sekunde, vrijednost kosinusa morat će se uzeti iz kuta koji je jednak razlici od 180 i poznatog kuta.

Što učiniti ako problem daje perimetar?

Obično stanje označava i omjer duljine i širine. Pitanje kako izračunati površinu pravokutnika u ovom je slučaju jednostavnije pomoću konkretnog primjera.

Pretpostavimo da je u zadatku opseg određenog pravokutnika 40 cm. Također je poznato da je njegova duljina jedan i pol puta veća od njegove širine. Morate saznati njegovo područje.

Rješavanje problema počinje pisanjem formule perimetra. Pogodnije je zapisati ga kao zbroj duljine i širine, od kojih se svaki zasebno množi s dva. Ovo će biti prva jednadžba u sustavu koju treba riješiti.

Drugi je povezan s omjerom širine i visine koji je poznat po uvjetu. Prva stranica, odnosno duljina, jednaka je umnošku druge (širine) i broja 1,5. Ova se jednakost mora zamijeniti u formulu za opseg.

Ispada da je jednak zbroju dvaju monoma. Prvi je umnožak broja 2 i nepoznate širine, drugi je umnožak brojeva 2 i 1,5 i iste širine. Postoji samo jedna nepoznanica u ovoj jednadžbi: širina. Trebate ga prebrojati, a zatim pomoću druge jednakosti izračunati duljinu. Sve što ostaje je pomnožiti ova dva broja da biste saznali površinu pravokutnika.

Izračuni daju sljedeće vrijednosti: širina - 8 cm, duljina - 12 cm i površina - 96 cm 2. Zadnji broj je odgovor na razmatrani problem.

je paralelogram u kojem su svi kutovi jednaki 90°, a nasuprotne stranice su paralelne i u parovima jednake.

Pravokutnik ima nekoliko nepobitnih svojstava koja se koriste u rješavanju mnogih problema, u formulama za površinu pravokutnika i njegov opseg. Evo ih:

Duljina nepoznate stranice ili dijagonale pravokutnika izračunava se pomoću ili korištenjem Pitagorinog poučka. Površina pravokutnika može se pronaći na dva načina - proizvodom njegovih stranica ili formulom za površinu pravokutnika kroz dijagonalu. Prva i najjednostavnija formula izgleda ovako:

Primjer izračuna površine pravokutnika pomoću ove formule vrlo je jednostavan. Poznavajući dvije strane, na primjer a = 3 cm, b = 5 cm, lako možemo izračunati površinu pravokutnika:
Smatramo da će u takvom pravokutniku površina biti jednaka 15 četvornih metara. cm.

Površina pravokutnika kroz dijagonale

Ponekad morate primijeniti formulu za područje pravokutnika kroz dijagonale. Zahtijeva ne samo pronalaženje duljine dijagonala, već i kut između njih:

Pogledajmo primjer izračuna površine pravokutnika pomoću dijagonala. Neka je zadan pravokutnik dijagonale d = 6 cm i kuta = 30°. Zamjenjujemo podatke u već poznatu formulu:

Dakle, primjer izračuna površine pravokutnika kroz dijagonalu pokazao nam je da je pronalaženje površine na ovaj način, ako je zadan kut, vrlo jednostavno.
Pogledajmo još jedan zanimljiv problem koji će nam pomoći da malo protegnemo mozak.

Zadatak: S obzirom na kvadrat. Njegova površina je 36 četvornih metara. cm. Odredite opseg pravokutnika čija je duljina jedne stranice 9 cm, a površina jednaka gore navedenom kvadratu.
Dakle, imamo nekoliko uvjeta. Radi jasnoće, zapišimo ih kako bismo vidjeli sve poznate i nepoznate parametre:
Stranice figure su u parovima paralelne i jednake. Stoga je opseg figure jednak dvostrukom zbroju duljina stranica:
Iz formule za površinu pravokutnika, koja je jednaka umnošku dviju strana figure, nalazimo duljinu stranice b
Odavde:
Zamjenjujemo poznate podatke i nalazimo duljinu stranice b:
Izračunajte opseg figure:
Ovako, znajući nekoliko jednostavnih formula, možete izračunati opseg pravokutnika, znajući njegovu površinu.

Izračunajte površinu pravokutnika s detaljnim rješenjem. Kalkulator pronalazi površinu pomoću formule koristeći duljinu i širinu pravokutnika. Osnovne metode i objašnjenje formula pomoću kojih možete sami riješiti svoje probleme.

Online kalkulator

Prvo, shvatimo definiciju. Pravokutnik ima 4 stranice. Svaka strana je jednaka i paralelna sa suprotnom. Ovdje je važno razumjeti da sve 4 strane ne mogu biti jednake, inače ćete dobiti kvadrat. Pravokutnik će imati 2 identične stranice jedne duljine i 2 identične stranice druge.

Sva 4 kuta unutar pravokutnika su pravi kutovi. To jest, svaki kut je 90°.

Formula za površinu pravokutnika pomoću njegovih stranica

Da biste pronašli područje S S S pravokutnik, trebate pomnožiti njegove dvije strane: stranu a a a umnožiti naporedo b b b.

S = a ⋅ b. S = a\ctočka b. S=a ⋅b.

Imamo pravokutnik A B C D ABCD A B C D. Jedna strana toga A B AB A B jednak 5 5 5 cm, sekunda B C pr B C jednak 3 3 3 cm treba pronaći njegovu površinu S S S.

Riješenje:

Da biste pronašli područje S S S, trebate umnožiti stranu A B AB A B na stranu B C pr B C i dobivamo: S = 5 ⋅ 3 S = 5 \cdot 3 S=5 ⋅ 3 .

Odgovor: S = 15 S = 15 S=1 5 cm 2.

Formula za površinu pravokutnika pomoću dijagonala

S = 1 2 d 2 sin ⁡ α . S = \frac (1)(2)d^2 \sin \alpha.S=2 1 ​ d 2 grijehα.

Zapamtite, duljine dijagonala u pravokutniku su jednake i dijele se na pola kada se sijeku.

Zadan je pravokutnik A B C D ABCD A B C D. Njegova dijagonala A C AC A C jednak 8 8 8 cm, a šiljasti kut između dijagonala 30° 30° 3 0°. Pronađite područje figure.

Pomoću gornje formule dobivamo:
S = 1 2 ⋅ 8 2 ⋅ sin ⁡ 3 0 ∘ = 1 2 ⋅ 64 ⋅ 1 2 = 64 4 = 16 S = \frac(1)(2) \cdot 8^2 \cdot \sin 30^(\circ ) = \frac(1)(2) \cdot 64 \cdot \frac(1)(2) = \frac(64)(4) = 16S=2 1 ​ ⋅ 8 2 ⋅ grijeh 3 0 ∘ = 2 1 ​ ⋅ 6 4 ⋅ 2 1 ​ = 4 6 4 ​ = 1 6

Odgovor: S = 16 S = 16 S=1 6 cm 2.

Lekcija i prezentacija na temu: "Opseg i površina pravokutnika"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, recenzije, želje. Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Nastavna sredstva i simulatori u Internet trgovini Integrala za 3. razred
Trenažer za 3. razred "Pravila i vježbe iz matematike"
Elektronski udžbenik za 3. razred "Matematika za 10 minuta"

Što su pravokutnik i kvadrat

Pravokutnik je četverokut sa svim pravim kutovima. To znači da su suprotne strane međusobno jednake.

Kvadrat je pravokutnik s jednakim stranicama i jednakim kutovima. Naziva se pravilnim četverokutom.

Primjer.

Čita se ovako: četverokut ABCD; kvadrat EFGH.

Koliki je opseg pravokutnika? Formula za izračunavanje opsega

Opseg je označen latiničnim slovom P. Budući da je opseg duljina svih stranica pravokutnika, opseg se piše u jedinicama za duljinu: mm, cm, m, dm, km.

Na primjer, opseg pravokutnika ABCD označava se kao P ABCD, gdje su A, B, C, D vrhovi pravokutnika.

Zapišimo formulu za opseg četverokuta ABCD:

P ABCD = AB + BC + CD + AD = 2 * AB + 2 * BC = 2 * (AB + BC)

Riješenje:
1. Nacrtajmo pravokutnik ABCD s izvornim podacima.
2. Napišimo formulu za izračunavanje opsega zadanog pravokutnika:

P ABCD = 2 * (AB + BC)

P ABCD = 2 * (5 cm + 3 cm) = 2 * 8 cm = 16 cm

Formula za izračunavanje opsega kvadrata

P ABCD = 2 * (AB + BC)

P ABCD = 4 * AB

Riješenje.
1. Nacrtajmo kvadrat ABCD s izvornim podacima.

2. Prisjetimo se formule za izračunavanje opsega kvadrata:

P ABCD = 4 * AB

P ABCD = 4 * 6 cm = 24 cm

Odgovor: P ABCD = 24 cm.

Zadaci traženja opsega pravokutnika

1. Izmjerite širinu i duljinu pravokutnika. Odredi njihov opseg.

2. Nacrtaj pravokutnik ABCD sa stranicama 4 cm i 6 cm.

3. Nacrtaj kvadrat SEOM sa stranicom 5 cm. Odredi opseg kvadrata.

Gdje se koristi izračunavanje opsega pravokutnika?

U ovom zadatku potrebno je točno izračunati opseg mjesta kako se ne bi kupio višak materijala za izgradnju ograde.

2. Roditelji su odlučili renovirati dječju sobu. Morate znati opseg prostorije i njezinu površinu kako biste pravilno izračunali količinu tapeta.
Odredite duljinu i širinu prostorije u kojoj živite. Odredite opseg svoje sobe.

Kolika je površina pravokutnika?

Da biste odredili površinu pravokutnika, pomnožite duljinu pravokutnika s njegovom širinom.
Površina pravokutnika izračunava se množenjem duljine AC sa širinom CM. Zapišimo ovo kao formulu.

S AKMO = AK * KM

S AKMO = AK * KM = 7 cm * 2 cm = 14 cm 2.

Odgovor: 14 cm 2.

Formula za izračunavanje površine kvadrata

Primjer.
U ovom primjeru, površina kvadrata se izračunava množenjem stranice AB sa širinom BC, ali budući da su jednake, rezultat je množenje stranice AB sa AB.

S ABCO = AB * BC = AB * AB

S AKMO = AK * KM = 8 cm * 8 cm = 64 cm 2

Odgovor: 64 cm 2.

Problemi s pronalaženjem površine pravokutnika i kvadrata

2. Kupljena je parcela za vikendicu dimenzija 20 m sa 30 m. Odredite površinu parcele za vikendicu i napišite odgovor u kvadratnim centimetrima.

Da biste izračunali površinu i opseg kvadrata, morate razumjeti koncepte ovih veličina. Kvadrat je pravokutnik sa samo četiri jednake strane koje međusobno zaklapaju kut od 90°. Opseg je zbroj duljina svih stranica. Površina je umnožak duljine pravokutnog lika i njegove širine.

Površina kvadrata i kako ga pronaći

Kao što je gore spomenuto, kvadrat je pravokutnik s 4 jednake strane, tako da je odgovor na pitanje: "kako pronaći površinu kvadrata" formula: S = a*a ili S = a 2 , gdje je a stranica kvadrata. Na temelju ove formule lako je pronaći stranicu kvadrata ako je površina poznata. Da biste to učinili, morate izvući kvadrat iz navedene vrijednosti.

Na primjer, S = 121, dakle, a = √121 = 11. Ako navedena vrijednost nije u tablici kvadrata, tada možete koristiti kalkulator: S = 94, a = √94 = 9,7.

Kako pronaći opseg kvadrata

Opseg kvadrata nalazi se pomoću jednostavne formule: P = 4a, gdje je a stranica kvadrata.

Primjer:

• stranica kvadrata = 5, stoga je P = 4*5 = 20
• stranica kvadrata = 3, dakle P = 4*3 = 12

Ali postoje problemi gdje je područje jasno naznačeno, ali morate pronaći opseg. Prilikom rješavanja potrebne su vam formule koje su prethodno predstavljene.

Na primjer: kako pronaći opseg kvadrata ako je poznato da površina iznosi 144?

Koraci rješenja:

1. Odredite duljinu jedne stranice: a = √144 = 12
2. Odredite opseg: P = 4*12 = 48.

Određivanje opsega upisanog kvadrata

Postoji nekoliko drugih načina za pronalaženje opsega kvadrata. Razmotrimo jedan od njih: pronalaženje opsega kroz radijus opisane kružnice. Ovdje se pojavljuje novi izraz "upisani kvadrat" - to je kvadrat čiji vrhovi leže na krugu.

Algoritam rješenja:

• budući da razmatramo kvadrat, formula se može izraziti na sljedeći način: a 2 + a 2 = (2r) 2 ;
• tada jednadžbu treba pojednostaviti: 2a 2 = 4(r)2;
• podijelite jednadžbu s 2: (a 2) = 2(r) 2;
• izvuci korijen: a = √(2r).

Kao rezultat, dobivamo posljednju formulu: a (stranica kvadrata) = √(2r).

1. Pronađena stranica kvadrata pomnoži se s 4, a zatim se primijeni standardna formula za određivanje opsega: P = 4√(2r).

Zadatak:

Zadan je kvadrat koji je upisan u krug, njegov polumjer je 5. To znači da je dijagonala kvadrata 10. Primjenjujemo Pitagorin poučak: 2(a 2 ) = 10 2 , to jest 2a 2 = 100. Rezultat podijelite s dva i rezultat je: a 2 = 50. Budući da ovo nije tablična vrijednost, koristimo se kalkulatorom: a = √50 = 7,07. Pomnožite s 4: P = 4*7,07 = 28,2. Problem riješen!

Razmotrimo još jedno pitanje

Često se u problemima susrećemo s drugim uvjetom: kako pronaći površinu kvadrata ako je opseg poznat?

Već smo razmotrili sve potrebne formule, pa ih je za rješavanje problema ove vrste potrebno vješto primijeniti i međusobno povezati. Prijeđimo ravno na ilustrativni primjer: Površina kvadrata je 25 cm 2 , pronađite njegov opseg.

Koraci rješenja:

1. Odredite stranicu kvadrata: a = √25 = 5.

1. Nalazimo sam opseg: P = 4*a = 4*5 = 20.

Ukratko, važno je podsjetiti da su takve jednostavne formule primjenjive ne samo u obrazovnim aktivnostima, već iu svakodnevnom životu. Djeca uče pronaći opseg i površinu figure u osnovnoj školi. U srednjim razredima pojavljuje se novi predmet - geometrija, gdje je Pitagorin teorem na samom početku učenja. Ove osnove matematike također se provjeravaju na kraju OGE i USE škole, stoga je važno znati te formule i pravilno ih primijeniti.