Aritmetičke operacije s razlomcima. Operacije s razlomcima: pravila, primjeri, rješenja

U matematici su se različite vrste brojeva proučavale od svojih početaka. Postoji veliki broj skupova i podskupova brojeva. Među njima su cijeli brojevi, racionalni, iracionalni, prirodni, parni, neparni, složeni i frakcijski. Danas ćemo analizirati podatke o posljednjem skupu - frakcijskim brojevima.

Definicija razlomaka

Razlomci su brojevi koji se sastoje od cijelog dijela i razlomaka jedinice. Kao i kod cijelih brojeva, između dva cijela broja postoji beskonačan broj razlomaka. U matematici se operacije s razlomcima izvode na isti način kao s cijelim brojevima i prirodnim brojevima. Vrlo je jednostavno i može se naučiti u nekoliko lekcija.

U članku su prikazane dvije vrste

Obični razlomci

Obični razlomci su cijeli broj a i dva broja napisana kroz razlomak b/c. Obični razlomci mogu biti izuzetno prikladni ako se razlomački dio ne može prikazati u racionalnom decimalnom obliku. Osim toga, prikladnije je izvoditi aritmetičke operacije kroz razlomačku liniju. Gornji dio naziva se brojnik, donji dio je nazivnik.

Operacije s običnim razlomcima: primjeri

Glavno svojstvo razlomka. Na množenjem brojnika i nazivnika istim brojem koji nije nula, rezultat je broj jednak zadanom. Ovo svojstvo razlomka savršeno pomaže u donošenju nazivnika za dodavanje (o tome će biti riječi u nastavku) ili skratiti razlomak, čineći ga prikladnijim za brojanje. a/b = a*c/b*c. Na primjer, 36/24 = 6/4 ili 9/13 = 18/26

Svođenje na zajednički nazivnik. Da biste dobili nazivnik razlomka, morate predstaviti nazivnik u obliku faktora, a zatim pomnožiti s brojevima koji nedostaju. Na primjer, 7/15 i 12/30; 7/5*3 i 12/5*3*2. Vidimo da se nazivnici razlikuju za dva, pa brojnik i nazivnik prvog razlomka pomnožimo s 2. Dobijemo: 14/30 i 12/30.

Složeni razlomci- obični razlomci s istaknutim cijelim dijelom. (A b/c) Da biste složeni razlomak predstavili kao obični razlomak, potrebno je broj ispred razlomka pomnožiti s nazivnikom, a zatim ga zbrojiti s brojnikom: (A*c + b)/c.

Aritmetičke operacije s razlomcima

Bilo bi dobro uzeti u obzir dobro poznate aritmetičke operacije samo kada radite s razlomačkim brojevima.

Zbrajanje i oduzimanje. Zbrajanje i oduzimanje razlomaka jednako je jednostavno kao i zbrajanje i oduzimanje cijelih brojeva, osim jedne poteškoće - prisutnost razlomka. Kada zbrajate razlomke s istim nazivnikom, trebate samo zbrojiti brojnike obaju razlomaka; nazivnici ostaju nepromijenjeni. Na primjer: 5/7 + 1/7 = (5+1)/7 = 6/7

Ako su nazivnici dviju razlomaka različiti brojevi, prvo ih trebate dovesti do zajedničkog broja (kako to učiniti gore je objašnjeno). 1/8 + 3/2 = 1/2*2*2 + 3/2 = 1/8 + 3*4/2*4 = 1/8 + 12/8 = 13/8. Oduzimanje slijedi potpuno isti princip: 8/9 - 2/3 = 8/9 - 6/9 = 2/9.

Množenje i dijeljenje. Radnje Množenje s razlomcima odvija se prema sljedećem principu: brojnici i nazivnici se množe odvojeno. Općenito, formula množenja izgleda ovako: a/b *c/d = a*c/b*d. Osim toga, dok množite, možete smanjiti razlomak uklanjanjem sličnih faktora iz brojnika i nazivnika. Drugim riječima, brojnik i nazivnik podijeljeni su istim brojem: 4/16 = 4/4*4 = 1/4.

Da biste podijelili jedan obični razlomak s drugim, trebate promijeniti brojnik i nazivnik djelitelja i pomnožiti dva razlomka prema ranije objašnjenom principu: 5/11: 25/11 = 5/11 * 11/25 = 5*11/ 11*25 = 1/5

Decimale

Decimale su popularnija i češće korištena verzija razlomaka. Lakše ih je zapisati u redak ili predstaviti na računalu. Struktura decimale je sljedeća: prvo se upisuje cijeli broj, a zatim iza decimalne točke upisuje se razlomak. U svojoj srži, decimale su složeni razlomci, ali njihov razlomački dio predstavljen je brojem podijeljenim s višekratnikom od 10. Odatle dolazi njihov naziv. Operacije s decimalnim razlomcima slične su operacijama s cijelim brojevima, jer se i oni pišu u decimalnom brojevnom sustavu. Također, za razliku od običnih razlomaka, decimale mogu biti iracionalne. To znači da oni mogu biti beskrajni. Napisani su ovako: 7, (3). Sljedeći zapis glasi: sedam zarez tri, tri desetine u točki.

Osnovne operacije s decimalnim brojevima

Zbrajanje i oduzimanje decimala. Rad s razlomcima nije ništa teži od rada s cijelim prirodnim brojevima. Pravila su potpuno slična onima koja se koriste pri zbrajanju ili oduzimanju prirodnih brojeva. Na isti se način mogu smatrati stupcem, ali ako je potrebno zamijenite mjesta koja nedostaju nulama. Na primjer: 5,5697 - 1,12. Da biste izvršili oduzimanje u stupcu, potrebno je izjednačiti broj brojeva iza decimalne točke: (5,5697 - 1,1200). Dakle, brojčana vrijednost se neće promijeniti i može se brojati u stupcu.

Operacije s decimalnim razlomcima ne mogu se izvoditi ako jedan od njih ima iracionalan oblik. Da biste to učinili, trebate pretvoriti oba broja u obične razlomke, a zatim upotrijebiti ranije opisane tehnike.

Množenje i dijeljenje. Množenje decimala slično je množenju prirodnih razlomaka. Mogu se množiti i u stupcu, jednostavno, bez obraćanja pozornosti na zarez, a zatim odvojiti zarezom u konačnoj vrijednosti onoliko znamenki koliko je bio zbroj iza decimalne točke u dva decimalna razlomka. Na primjer, 1,5 * 2,23 = 3,345. Sve je vrlo jednostavno i ne bi trebalo stvarati poteškoće ako ste već savladali množenje prirodnih brojeva.

Dijeljenje je također isto kao i dijeljenje prirodnih brojeva, ali s malim odstupanjem. Za dijeljenje s decimalnim brojem sa stupcem, morate odbaciti decimalni zarez u djelitelju i pomnožiti dividendu s brojem znamenki iza decimalnog zareza u djelitelju. Zatim izvršite dijeljenje kao s prirodnim brojevima. Kada dijelite nepotpuno, možete dodati nule dividendi s desne strane, također dodajte nulu odgovoru nakon decimalne točke.

Primjeri operacija s decimalama. Decimale su vrlo zgodan alat za aritmetičke izračune. Oni kombiniraju praktičnost prirodnih brojeva, cijelih brojeva i preciznost razlomaka. Osim toga, vrlo je lako pretvoriti neke razlomke u druge. Operacije s razlomcima ne razlikuju se od operacija s prirodnim brojevima.

Zbrajanje: 1,5 + 2,7 = 4,2
Oduzimanje: 3,1 - 1,6 = 1,5
Množenje: 1,7 * 2,3 = 3,91
Dijeljenje: 3,6: 0,6 = 6

Također, decimale su prikladne za predstavljanje postotaka. Dakle, 100% = 1; 60% = 0,6; i obrnuto: 0,659 = 65,9%.

To je sve što trebate znati o razlomcima. U članku su ispitane dvije vrste razlomaka - obični i decimalni. Oba su prilično jednostavna za računanje, a ako ste u potpunosti savladali prirodne brojeve i operacije s njima, slobodno možete krenuti s učenjem razlomaka.

1º. Cijeli brojevi- ovo su brojevi koji se koriste pri brojanju. Skup svih prirodnih brojeva označavamo s N, tj. N = (1, 2, 3, …).

Frakcija je broj koji se sastoji od nekoliko razlomaka jedinice. Obični razlomak je broj oblika , gdje je prirodan broj n pokazuje na koliko je jednakih dijelova podijeljena jedinica, a prirodni broj m pokazuje koliko je takvih jednakih dijelova uzeto. Brojke m I n nazivaju se prema tome brojnik I nazivnik razlomci

Ako je brojnik manji od nazivnika, tada se zove razlomak ispraviti; ako je brojnik jednak ili veći od nazivnika, tada se zove razlomak pogrešno. Naziva se broj koji se sastoji od cijelog i razlomljenog dijela mješoviti broj.

Na primjer, - pravi obični razlomci, - nepravi obični razlomci, 1 - mješoviti broj.

2º. Prilikom izvođenja operacija s običnim razlomcima treba zapamtiti sljedeća pravila:

1)Glavno svojstvo razlomka. Ako se brojnik i nazivnik razlomka pomnože ili podijele istim prirodnim brojem, dobiva se razlomak jednak zadanom.

Na primjer, a) ; b) .

Dijeljenje brojnika i nazivnika razlomka njihovim zajedničkim djeliteljem koji nije jedan naziva se smanjivanje razlomka.

2) Da biste mješoviti broj predstavili kao nepravi razlomak, trebate pomnožiti njegov cijeli dio s nazivnikom razlomka i dobivenom umnošku dodati brojnik razlomka, a dobiveni iznos zapisati kao brojnik razlomka, a nazivnik ostaviti isti.

Slično, bilo koji prirodni broj može se napisati kao nepravi razlomak s bilo kojim nazivnikom.

Na primjer, a) jer ; b) itd.

3) Da biste nepravi razlomak zapisali kao mješoviti broj (tj. odvojili cijeli dio od nepravog razlomka), trebate brojnik podijeliti nazivnikom, kvocijent dijeljenja uzeti kao cijeli dio, ostatak kao brojnik , a nazivnik ostavite istim.

Na primjer, a) od 200: 7 = 28 (preostalo 4);
b) od 20: 5 = 4 (preostalo 0).

4) Da biste razlomke sveli na najmanji zajednički nazivnik, trebate pronaći najmanji zajednički višekratnik (LCM) nazivnika ovih razlomaka (to će biti njihov najmanji zajednički nazivnik), podijeliti najmanji zajednički nazivnik s nazivnicima tih razlomaka ( tj. pronađite dodatne faktore za razlomke), pomnožite brojnik i nazivnik svakog razlomka s njegovim dodatnim faktorom.

Na primjer, svedimo razlomke na njihov najmanji zajednički nazivnik:

630: 18 = 35, 630: 10 = 63, 630: 21 = 30.

Sredstva, ; ; .

5) Pravila aritmetičkih operacija nad običnim razlomcima:

a) Zbrajanje i oduzimanje razlomaka s istim nazivnicima izvodi se prema pravilu:

b) Zbrajanje i oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima provodi se prema pravilu a), nakon što se razlomci prvo svedu na najmanji zajednički nazivnik.

c) Kod zbrajanja i oduzimanja mješovite brojeve možete ih pretvoriti u neprave razlomke, a zatim slijedite pravila a) i b),

Akcije s razlomcima.

Pažnja!
Postoje dodatni
materijali u posebnom odjeljku 555.
Za one koji su jako "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Dakle, što su frakcije, vrste frakcija, transformacije - sjetili smo se. Prijeđimo na glavno pitanje.

Što možete učiniti s razlomcima? Da, sve je isto kao i s običnim brojevima. Zbrajanje, oduzimanje, množenje, dijeljenje.

Sve ove akcije sa decimal rad s razlomcima ne razlikuje se od rada s cijelim brojevima. Zapravo, to je ono što im je dobro, decimalni. Jedina stvar je da trebate pravilno staviti zarez.

Mješoviti brojevi, kao što sam već rekao, malo su korisni za većinu radnji. Još ih treba pretvoriti u obične razlomke.

Ali akcije sa obični razlomci bit će lukaviji. I puno važnije! Da vas podsjetim: sve radnje s razlomcima sa slovima, sinusima, nepoznanicama i tako dalje i tako dalje ne razlikuju se od radnji s običnim razlomcima! Operacije s običnim razlomcima temelj su cijele algebre. Upravo iz tog razloga ćemo ovdje vrlo detaljno analizirati svu ovu aritmetiku.

Zbrajanje i oduzimanje razlomaka.

Svatko može zbrajati (oduzimati) razlomke s istim nazivnicima (stvarno se nadam!). Pa da podsjetim one potpuno zaboravne: pri zbrajanju (oduzimanju) nazivnik se ne mijenja. Brojnici se zbrajaju (oduzimaju) da bi se dobio brojnik rezultata. Tip:

Ukratko, općenito:

Što ako su nazivnici različiti? Zatim, koristeći osnovno svojstvo razlomka (evo opet dobro dolazi!), nazivnike učinimo istima! Na primjer:

Ovdje smo morali napraviti razlomak 4/10 od razlomka 2/5. S jedinom svrhom da nazivnici budu isti. Da napomenem, za svaki slučaj, da su 2/5 i 4/10 isti razlomak! Samo 2/5 nam je nezgodno, a 4/10 je sasvim ok.

Usput, to je bit rješavanja bilo kojeg matematičkog problema. Kad smo iz neugodno radimo izraze ista stvar, ali prikladnija za rješavanje.

Još jedan primjer:

Situacija je slična. Ovdje dobivamo 48 od 16. Jednostavnim množenjem s 3. Sve je jasno. Ali naišli smo na nešto poput:

Kako biti?! Teško je od sedam napraviti devetku! Ali pametni smo, znamo pravila! Preobrazimo se svaki razlomak tako da nazivnici budu isti. To se zove "svesti na zajednički nazivnik":

Wow! Kako sam znao za 63? Jako jednostavno! 63 je broj koji je djeljiv sa 7 i 9 u isto vrijeme. Takav se broj uvijek može dobiti množenjem nazivnika. Ako neki broj pomnožimo npr. sa 7, tada će rezultat sigurno biti djeljiv sa 7!

Ako trebate zbrojiti (oduzeti) nekoliko razlomaka, nema potrebe da to radite u paru, korak po korak. Samo trebate pronaći nazivnik zajednički svim razlomcima i svesti svaki razlomak na taj isti nazivnik. Na primjer:

I koji će biti zajednički nazivnik? Možete, naravno, pomnožiti 2, 4, 8 i 16. Dobit ćemo 1024. Noćna mora. Lakše je procijeniti da je broj 16 savršeno djeljiv s 2, 4 i 8. Stoga je iz ovih brojeva lako dobiti 16. Taj će broj biti zajednički nazivnik. Pretvorimo 1/2 u 8/16, 3/4 u 12/16, i tako dalje.

Usput, ako uzmete 1024 kao zajednički nazivnik, sve će uspjeti, na kraju će se sve smanjiti. Ali neće svi doći do ovog kraja, zbog kalkulacija...

Sami dovršite primjer. Ne nekakav logaritam... Trebalo bi biti 29/16.

Dakle, zbrajanje (oduzimanje) razlomaka je jasno, nadam se? Naravno, lakše je raditi u skraćenoj verziji, s dodatnim množiteljima. Ali ovo zadovoljstvo dostupno je onima koji su pošteno radili u nižim razredima... I nisu ništa zaboravili.

A sada ćemo učiniti iste radnje, ali ne s razlomcima, već s frakcijski izrazi. Ovdje će se otkriti novi rake, da...

Dakle, moramo zbrojiti dva razlomačka izraza:

Moramo učiniti nazivnike istima. I to samo uz pomoć množenje! To je ono što nalaže glavno svojstvo razlomka. Stoga ne mogu X dodati jedan u prvom razlomku u nazivniku. (ali to bi bilo lijepo!). Ali ako pomnožite nazivnike, vidite, sve raste zajedno! Dakle, zapišemo redak razlomka, ostavimo prazan prostor na vrhu, zatim ga zbrojimo, a ispod napišemo umnožak nazivnika, da ne zaboravimo:

I, naravno, ništa ne množimo s desne strane, ne otvaramo zagrade! I sada, gledajući zajednički nazivnik na desnoj strani, shvaćamo: da biste dobili nazivnik x(x+1) u prvom razlomku, trebate pomnožiti brojnik i nazivnik ovog razlomka s (x+1) . A u drugom razlomku - do x. Evo što dobivate:

Bilješka! Evo zagrada! To su grablje na koje mnogi ljudi stanu. Ne zagrade, naravno, već njihov nedostatak. Zagrade se pojavljuju jer množimo svi brojnik i svi nazivnik! A ne njihovi pojedinačni komadi...

U brojniku desne strane upišemo zbroj brojnika, sve je kao kod brojčanih razlomaka, zatim otvorimo zagrade u brojniku desne strane, tj. Sve množimo i dajemo slične. Nema potrebe otvarati zagrade u nazivnicima niti bilo što množiti! Općenito, u nazivnicima (bilo koji) proizvod je uvijek ugodniji! Dobivamo:

Pa smo dobili odgovor. Proces se čini dug i težak, ali ovisi o praksi. Kad jednom riješite primjere, naviknete se, sve će postati jednostavno. Oni koji su svojedobno savladali razlomke, sve ove operacije rade jednom lijevom rukom, automatski!

I još jedna napomena. Mnogi se pametno bave razlomcima, ali zapnu na primjerima s cijeli brojevima. Na primjer: 2 + 1/2 + 3/4= ? Gdje pričvrstiti dvodijelni? Ne trebate ga nigdje pričvrstiti, trebate napraviti razlomak od dva. Nije lako, ali vrlo jednostavno! 2=2/1. Kao ovo. Bilo koji cijeli broj može se napisati kao razlomak. Brojnik je sam broj, nazivnik je jedan. 7 je 7/1, 3 je 3/1 i tako dalje. Isto je i sa slovima. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1, itd. I onda radimo s tim razlomcima prema svim pravilima.

Pa se obnovilo znanje o zbrajanju i oduzimanju razlomaka. Ponovljeno je pretvaranje razlomaka iz jedne vrste u drugu. Možete se i pregledati. Hoćemo li to malo riješiti?)

Izračunati:

Odgovori (u neredu):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Množenje/dijeljenje razlomaka – na sljedećem satu. Tu su i zadaci za sve operacije s razlomcima.

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učimo - sa zanimanjem!)

Možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.

Složimo se da će "akcije s razlomcima" u našoj lekciji značiti radnje s običnim razlomcima. Obični razlomak je razlomak koji ima atribute kao što su brojnik, razlomačka crta i nazivnik. Ovo razlikuje obični razlomak od decimalnog, koji se dobiva iz običnog razlomka smanjivanjem nazivnika na višekratnik broja 10. Decimalni razlomak piše se zarezom koji odvaja cijeli dio od razlomka. Govorit ćemo o operacijama s običnim razlomcima, budući da upravo oni stvaraju najveće poteškoće učenicima koji su zaboravili osnove ove teme obrađene u prvom polugodištu školskog tečaja matematike. Istodobno, pri transformaciji izraza u višoj matematici uglavnom se koriste operacije s običnim razlomcima. Već same kratice razlomaka vrijede! Decimalni razlomci ne uzrokuju posebne poteškoće. Dakle, samo naprijed!

Za dva razlomka kaže se da su jednaka ako je .

Na primjer, budući da

Razlomci i (pošto), i (pošto) su također jednaki.

Očito, oba razlomka i su jednaki. To znači da ako brojnik i nazivnik danog razlomka pomnožimo ili podijelimo istim prirodnim brojem, dobit ćemo razlomak jednak zadanom: .

To se svojstvo naziva osnovno svojstvo razlomka.

Osnovno svojstvo razlomka može se koristiti za promjenu predznaka brojnika i nazivnika razlomka. Ako se brojnik i nazivnik razlomka pomnože s -1, dobiva se . To znači da se vrijednost razlomka neće promijeniti ako se istodobno promijene predznaci brojnika i nazivnika. Ako promijenite predznak samo brojniku ili samo nazivniku, razlomak će promijeniti predznak:

Smanjenje razlomaka

Koristeći osnovno svojstvo razlomka, možete zamijeniti zadani razlomak drugim razlomkom koji je jednak zadanom, ali s manjim brojnikom i nazivnikom. Ta se zamjena naziva redukcija razlomka.

Neka nam je, na primjer, dan razlomak. Brojevi 36 i 48 imaju najveći zajednički djelitelj 12. Zatim

Općenito, smanjivanje razlomka uvijek je moguće ako brojnik i nazivnik nisu međusobno prosti brojevi. Ako su brojnik i nazivnik međusobno prosti brojevi, tada se razlomak naziva nesvodivim.

Dakle, smanjiti razlomak znači podijeliti brojnik i nazivnik razlomka zajedničkim faktorom. Sve gore navedeno vrijedi i za frakcijske izraze koji sadrže varijable.

Primjer 1. Smanjite razlomak

Riješenje. Da faktoriziramo brojnik, prvo predstavljamo monom - 5 xy kao zbroj - 2 xy - 3xy, dobivamo

Da bismo faktorizirali nazivnik, koristimo formulu razlike kvadrata:

Kao rezultat

Svođenje razlomaka na zajednički nazivnik

Neka dva razlomka i . Imaju različite nazivnike: 5 i 7. Koristeći osnovno svojstvo razlomaka, te razlomke možete zamijeniti drugima koji su im jednaki, a tako da dobiveni razlomci imaju iste nazivnike. Množenjem brojnika i nazivnika razlomka sa 7, dobivamo

Množenjem brojnika i nazivnika razlomka s 5 dobivamo

Dakle, razlomci se svode na zajednički nazivnik:

Ali to nije jedino rješenje problema: na primjer, ovi se razlomci također mogu svesti na zajednički nazivnik 70:

i općenito na bilo koji nazivnik djeljiv i sa 5 i sa 7.

Razmotrimo još jedan primjer: dovedimo razlomke i na zajednički nazivnik. Raspravljajući kao u prethodnom primjeru, dobivamo

Ali u ovom slučaju moguće je razlomke svesti na zajednički nazivnik koji je manji od umnoška nazivnika tih razlomaka. Nađimo najmanji zajednički višekratnik brojeva 24 i 30: LCM(24, 30) = 120.

Budući da je 120:4 = 5, da biste napisali razlomak s nazivnikom 120, trebate pomnožiti i brojnik i nazivnik s 5, ovaj broj se naziva dodatni faktor. Sredstva .

Dalje, dobivamo 120:30=4. Množenjem brojnika i nazivnika razlomka s dodatnim faktorom 4, dobivamo .

Dakle, ti se razlomci svode na zajednički nazivnik.

Najmanji zajednički višekratnik nazivnika ovih razlomaka je najmanji mogući zajednički nazivnik.

Za frakcijske izraze koji uključuju varijable, zajednički nazivnik je polinom koji se dijeli s nazivnikom svakog razlomka.

Primjer 2. Nađite zajednički nazivnik razlomaka i.

Riješenje. Zajednički nazivnik ovih razlomaka je polinom, jer je djeljiv s oba i. Međutim, ovaj polinom nije jedini koji može biti zajednički nazivnik ovih razlomaka. Može biti i polinom , i polinom , i polinom itd. Obično se uzima takav zajednički nazivnik da se bilo koji drugi zajednički nazivnik podijeli s odabranim bez ostatka. Taj se nazivnik naziva najmanji zajednički nazivnik.

U našem primjeru, najmanji zajednički nazivnik je . dobio:

;

Uspjeli smo svesti razlomke na njihov najmanji zajednički nazivnik. To se dogodilo množenjem brojnika i nazivnika prvog razlomka s , a brojnika i nazivnika drugog razlomka s . Polinomi se nazivaju dodatni faktori, odnosno za prvi i drugi razlomak.

Zbrajanje i oduzimanje razlomaka

Zbrajanje razlomaka definirano je na sljedeći način:

Na primjer,

Ako b = d, To

To znači da je za zbrajanje razlomaka s istim nazivnikom dovoljno zbrojiti brojnike, a nazivnik ostaviti istim. Na primjer,

Ako zbrajate razlomke s različitim nazivnicima, obično razlomke svedete na najmanji zajednički nazivnik, a zatim dodate brojnike. Na primjer,

Sada pogledajmo primjer zbrajanja frakcijskih izraza s varijablama.

Primjer 3. Pretvori izraz u jedan razlomak

Riješenje. Nađimo najmanji zajednički nazivnik. Da bismo to učinili, najprije faktoriziramo nazivnike.

Ovaj odjeljak pokriva operacije s običnim razlomcima. Ako je potrebno izvršiti matematičku operaciju s mješovitim brojevima, tada je dovoljno mješoviti razlomak pretvoriti u izvanredni razlomak, izvršiti potrebne operacije i, ako je potrebno, konačni rezultat ponovno prikazati u obliku mješovitog broja . Ova će operacija biti opisana u nastavku.

Smanjenje razlomka

Matematička operacija. Smanjenje razlomka

Da biste smanjili razlomak \frac(m)(n), morate pronaći najveći zajednički djelitelj njegovog brojnika i nazivnika: gcd(m,n), a zatim podijeliti brojnik i nazivnik razlomka tim brojem. Ako je GCD(m,n)=1, tada se razlomak ne može smanjiti. Primjer: \frac(20)(80)=\frac(20:20)(80:20)=\frac(1)(4)

Obično se odmah pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja čini teškim zadatkom, au praksi se razlomak smanjuje u nekoliko faza, korak po korak izolirajući očite zajedničke faktore od brojnika i nazivnika. \frac(140)(315)=\frac(28\cdot5)(63\cdot5)=\frac(4\cdot7\cdot5)(9\cdot7\cdot5)=\frac(4)(9)

Svođenje razlomaka na zajednički nazivnik

Matematička operacija. Svođenje razlomaka na zajednički nazivnik

Da biste doveli dva razlomka \frac(a)(b) i \frac(c)(d) na zajednički nazivnik potrebno vam je:

pronaći najmanji zajednički višekratnik nazivnika: M=LMK(b,d);
pomnoži brojnik i nazivnik prvog razlomka s M/b (nakon čega nazivnik razlomka postaje jednak broju M);
pomnožite brojnik i nazivnik drugog razlomka s M/d (nakon čega nazivnik razlomka postaje jednak broju M).

Dakle, izvorne razlomke transformiramo u razlomke s istim nazivnicima (koji će biti jednaki broju M).

Na primjer, razlomci \frac(5)(6) i \frac(4)(9) imaju LCM(6,9) = 18. Zatim: \frac(5)(6)=\frac(5\cdot3) (6 \cdot3)=\frac(15)(18);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot2)(9\cdot2)=\frac(8)(18) . Dakle, dobiveni razlomci imaju zajednički nazivnik.

U praksi, pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM) nazivnika nije uvijek jednostavan zadatak. Stoga se kao zajednički nazivnik bira broj jednak umnošku nazivnika izvornih razlomaka. Na primjer, razlomci \frac(5)(6) i \frac(4)(9) svode se na zajednički nazivnik N=6\cdot9:

\frac(5)(6)=\frac(5\cdot9)(6\cdot9)=\frac(45)(54);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot6)( 9\cdot6)=\frac(24)(54)

Usporedba razlomaka

Matematička operacija. Usporedba razlomaka

Za usporedbu dva obična razlomka potrebno je:

usporediti brojnike dobivenih razlomaka; razlomak s većim brojnikom bit će veći.

Na primjer, \frac(9)(14)

Kod uspoređivanja razlomaka postoji nekoliko posebnih slučajeva:

Od dva razlomka s istim nazivnicima Veći je razlomak čiji je brojnik veći. Na primjer, \frac(3)(15)
Od dva razlomka s istim brojnicima Veći je razlomak čiji je nazivnik manji. Na primjer, \frac(4)(11)>\frac(4)(13)
Taj razlomak koji istovremeno veći brojnik i manji nazivnik, više. Na primjer, \frac(11)(3)>\frac(10)(8)

Pažnja! Pravilo 1 primjenjuje se na sve razlomke ako im je zajednički nazivnik pozitivan broj. Pravila 2 i 3 primjenjuju se na pozitivne razlomke (one čiji su i brojnik i nazivnik veći od nule).

Zbrajanje i oduzimanje razlomaka

Matematička operacija. Zbrajanje i oduzimanje razlomaka

Za zbrajanje dva razlomka potrebno je:

dovesti ih pod zajednički nazivnik;
zbrojite njihove brojnike, a nazivnik ostavite nepromijenjenim.

Primjer: \frac(7)(9)+\frac(4)(7)=\frac(7\cdot7)(9\cdot7)+\frac(4\cdot9)(7\cdot9)=\frac(49 )(63)+\frac(36)(63)=\frac(49+36)(63)=\frac(85)(63)

Da biste od jednog razlomka oduzeli drugi, trebate:

svesti razlomke na zajednički nazivnik;
Oduzmite brojnik drugog razlomka od brojnika prvog razlomka i ostavite nazivnik nepromijenjen.

Primjer: \frac(4)(15)-\frac(3)(5)=\frac(4)(15)-\frac(3\cdot3)(5\cdot3)=\frac(4)(15) -\frac(9)(15)=\frac(4-9)(15)=\frac(-5)(15)=-\frac(5)(3\cdot5)=-\frac(1)( 3)

Ako izvorni razlomci u početku imaju zajednički nazivnik, tada se korak 1 (svođenje na zajednički nazivnik) preskače.

Pretvaranje mješovitog broja u nepravi razlomak i obrnuto

Matematička operacija. Pretvaranje mješovitog broja u nepravi razlomak i obrnuto

Da biste mješoviti razlomak pretvorili u nepravi razlomak, jednostavno zbrojite cijeli dio mješovitog razlomka s dijelom razlomka. Rezultat takvog zbroja bit će nepravilan razlomak, čiji je brojnik jednak zbroju umnoška cijelog dijela nazivnika razlomka s brojnikom mješovitog razlomka, a nazivnik će ostati isti. Na primjer, 2\frac(6)(11)=2+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11)(11)+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11+ 6)(11)=\frac(28)(11)

Za pretvaranje nepravilnog razlomka u mješoviti broj:

podijeliti brojnik razlomka s njegovim nazivnikom;
ostatak dijeljenja upiši u brojnik, a nazivnik ostavi isti;
rezultat dijeljenja napiši kao cijeli dio.

Na primjer, razlomak \frac(23)(4) . Kod dijeljenja 23:4=5,75, odnosno cijeli dio je 5, ostatak dijeljenja je 23-5*4=3. Tada će mješoviti broj biti zapisan: 5\frac(3)(4) . \frac(23)(4)=\frac(5\cdot4+3)(4)=5\frac(3)(4)

Pretvaranje decimale u razlomak

Matematička operacija. Pretvaranje decimale u razlomak

Da biste pretvorili decimalni razlomak u obični razlomak, trebate:

uzmite n-tu potenciju desetice kao nazivnik (ovdje je n broj decimalnih mjesta);
kao brojnik uzeti broj iza decimalne točke (ako cjelobrojni dio izvornog broja nije jednak nuli, uzeti i sve vodeće nule);
cijeli broj različit od nule upisuje se u brojniku na samom početku; nulti cijeli dio je izostavljen.

Primjer 1: 0,0089=\frac(89)(10000) (postoje 4 decimalna mjesta, tako da nazivnik ima 10 4 =10000, budući da je cijeli dio 0, brojnik sadrži broj iza decimalne točke bez vodećih nula)

Primjer 2: 31.0109=\frac(310109)(10000) (u brojniku upišemo broj iza decimalne točke sa svim nulama: “0109”, a zatim ispred njega dodamo cijeli dio izvornog broja “31”)

Ako cijeli dio decimalnog razlomka nije nula, tada se može pretvoriti u mješoviti razlomak. Da bismo to učinili, pretvorimo broj u obični razlomak kao da je cijeli dio jednak nuli (točke 1 i 2), i jednostavno prepišemo cijeli dio ispred razlomka - to će biti cijeli dio mješovitog broja . Primjer:

3,014=3\frac(14)(100)

Da biste razlomak pretvorili u decimalu, jednostavno podijelite brojnik s nazivnikom. Ponekad završite s beskonačnom decimalom. U tom slučaju potrebno je zaokružiti na željeno decimalno mjesto. Primjeri:

\frac(401)(5)=80,2;\quad \frac(2)(3)\približno 0,6667

Množenje i dijeljenje razlomaka

Matematička operacija. Množenje i dijeljenje razlomaka

Da biste pomnožili dva obična razlomka, morate pomnožiti brojnike i nazivnike razlomaka.

\frac(5)(9)\cdot\frac(7)(2)=\frac(5\cdot7)(9\cdot2)=\frac(35)(18)

Da biste podijelili jedan obični razlomak s drugim, trebate pomnožiti prvi razlomak s recipročnom vrijednošću drugog ( recipročni razlomak- razlomak u kojem su brojnik i nazivnik zamijenjeni.

\frac(5)(9):\frac(7)(2)=\frac(5)(9)\cdot\frac(2)(7)=\frac(5\cdot2)(9\cdot7)= \frac(10)(63)

Ako je jedan od razlomaka prirodan broj, gornja pravila množenja i dijeljenja ostaju na snazi. Samo trebate uzeti u obzir da je cijeli broj isti razlomak, čiji je nazivnik jednak jedan. Na primjer: 3:\frac(3)(7)=\frac(3)(1):\frac(3)(7)=\frac(3)(1)\cdot\frac(7)(3) = \frac(3\cdot7)(1\cdot3)=\frac(7)(1)=7