Линии токов жидкости и вихревые линии. Плавно и резко изменяющееся движение

Если в движущейся жидкости взять бесконечно малый замкнутый контур и через все его точки провести линии тока, то образуется трубчатая поверхность, называемая трубкой тока. Часть потока, заключенная внутри трубки тока, называется элементарной струйкой. При стремлении поперечных размеров струйки к нулю она в пределе стягивается в линию тока.

В любой точке трубки тока, т. е. боковой поверхности струйки, векторы скорости направлены по касательной, а нормальные к этой поверхности составляющие скорости отсутствуют, следовательно, при установившемся движении ни одна частица жидкости, ни в одной точке трубки тока не может проникнуть внутрь струйки или выйти наружу. Трубка тока, таким образом, является как бы непроницаемой стенкой, а элементарная струйка представляет собой самостоятельный элементарный поток.

Рис 1.12 Рис 1.3

Линии тока Трубка тока

Потоки конечных размеров будем сначала рассматривать как совокупность элементарных струек, т. е. будем предполагать течение струйным. Из-за различия скоростей соседние струйки будут скользить одна по другой, но не будут перемешиваться одна с другой. Живым сечением, или просто сечением потока, называется в общем случае поверхность в пределах потока, проведенная нормально к линиям тока. Далее будем рассматривать в потоках такие участки, в которых струйки можно считать параллельными и, следовательно, живые сечения - плоскими.

Различают напорные и безнапорные течения жидкости. Напорными называют течения в закрытых руслах без свободной поверхности, а безнапорными - течения со свободной поверхностью. При напорных течениях давление вдоль потока обычно переменное, при безнапорном - постоянное (на свободной поверхности) и чаще всего атмосферное. Примерами напорного течения могут служить течения в трубопроводах с повышенным (или пониженным) давлением, в гидромашинах или других гидроагрегатах. Безнапорными являются течения в реках, открытых каналах и лотках.

Расходом называется количество жидкости, протекающее через живое течение потока (струйки) в единицу времени. Это количество можно измерить в единицах объёма, в весовых единицах или в единицах массы, в связи с чем различают объёмный Q, весовой Q G и массовый Q m расходы.

Для элементарной струйки, имеющий бесконечно малые площади сечений, можно считать истинную скорость одинаковой во всех точках каждого сечения. Следовательно, для этой струйки объёмный(м 3 /с), весовой(Н/с) и массовый(кг/с) расходы

;

Для потока конечных размеров в общем случае скорость имеет различное значение в разных точках сечения, поэтому расход надо определять как сумму элементарных расходов струек.

Обычно в рассмотрение вводят среднюю по сечению скорость

v ср =Q/S, откуда Q= v ср S.

Основываясь на законе сохранения вещества, на предположении о сплошности (неразрывности) течения и на указанном выше свойстве трубки тока, заключающемся в ее «непроницаемости», для установившегося течения несжимаемой жидкости можно утверждать, что объемный расход во всех сечениях элементарной струйки один и тот же:

dQ=v 1 dS 1 =v 2 dS 2 =const (вдоль струйки)

Это уравнение называется уравнением объемного расхода для элементарной струйки.

Аналогичное уравнение можно составить и для потока конечных размеров, ограниченного непроницаемыми стенками, только вместо истинных скоростей следует ввести средние скорости.

Вихревое движение. Вихревые линии и трубки. Вторая теорема Гельмгольца. Интенсивность вихревой трубки. Теорема Стокса. Формула Био-Савара.

Если в какой-то области пространства , это означает, что частицы жидкости перемещаются не только поступательно, но при своём движении вращаются вокруг мгновенных осей, проходящих через полюс частицы. Такое движение жидкости называется вихревым, при этом мгновенная угловая скорость вращения жидкой частицы Векторы угловых скоростей бесконечно малых объёмов жидкости в различных точках потока образуют векторное поле угловых скоростей (или векторное поле вихрей вектора скорости ). Векторное поле угловой скорости или ротора вектора скорости (вихря) характеризуется следующими геометрическими образами: вихревая линия и вихревая трубка.

Вихревая линия – линия, касательная к которой в каждой точке в данный момент времени направлена по вектору ротора скорости, т.е. || , где - элемент вихревой линии. Принимая во внимание, что = получаем уравнение вихревой линии:

(4.1)

где - проекции вектора угловой скорости на оси координат. При установившемся движении вихревые линии в различные моменты времени совпадают друг с другом.

Вихревая трубка – совокупность вихревых линий, проходящих через замкнутую кривую, не являющуюся вихревой линией.

Вихревой шнур – часть жидкости, ограниченная вихревой трубкой.

2-я теорема Гельмгольца - Поток вектора ротора скорости через любое сечение вихревой трубки в данный момент времени одинаков вдоль всей трубки:

(4.2)

Поток вектора вихря является величиной, характерной для вихревой трубки. Его называют интенсивностью вихревой трубки:

(4.3)

Для элементарной вихревой трубки соотношение (4.3) можно записать следующим образом:

(4.4)

Из выражения (4.4) вытекают два следствия:

1. Сечение вихревой трубки не может стать равным нулю ни в одной точке внутри жидкости.

2. Вихревые трубки не могут начинаться и заканчиваться сечением конечных размеров внутри жидкости.

Вихревые трубки либо образуют замкнутые кольца, либо начинаются и заканчиваются на ограничивающих жидкость поверхностях или свободной поверхности.

Теорема Стокса : Интенсивность вихревой трубки равна циркуляции вектора скорости по замкнутому контуру, расположенному на поверхности вихревой трубки и один раз ее опоясывающему:

(4.5)

Если в пространстве имеется несколько вихревых трубок с интенсивностями , а в остальной области пространства вне вихревых трубок , то циркуляция вектора скорости по замкнутому контуру, однократно охватывающему вихревые трубки, равна алгебраической сумме интенсивностей этих трубок:

(4.6)

Формула Био-Савара – позволяет рассчитать поле скоростей в окрестности заданной вихревой нити L (вихревого шнура) с циркуляцией (интенстивностью) Г. Скорость, индуцированная в точке М элементом вихревой нити по формуле Био-Савара равна:

(4.7)

где (см. рис.) - элемент вихревого шнура, - радиус-вектор, направленный из начала элемента вихревого шнура в точку М , - угол между и .

Вектор направлен перпендикулярно векторам и (по правилу векторного произведения векторов). Для нахождения скорости , индуцированной всем вихревым шнуром в точке М, необходимо провести интегрирование выражения (4.7) по всей длине вихревого шнура.

За редким исключением, движение жидкости или газа почти всегда бывает вихревым. Так, вихревым является ламинарное течение в круглой трубе, когда скорость распределяется по параболическому закону, течение в пограничном слое при плавном обтекании тела и в следе за плохо обтекаемым телом. Вихревой характер носит любое турбулентное течение. Если обтекание тела происходит при больших числахRe , завихренность порождается в пограничном слое, а затем сносится в основной поток, где формируются отчетливо видимые вихри, некоторое время эволюционирующие и сохраняющие свою индивидуальность. Например, за плохообтекаемым телом образуется регулярная вихревая дорожка Кармана. Вихреобразование в следе за плохообтекаемым телом определяет основную часть лобового сопротивления тела, а образование вихрей у концов крыльев летательных аппаратов вызывает дополнительное индуктивное сопротивление .

Основы теории подобия. Теоремы подобия .

Критерии подобия. Критерии Рейнольдса, Эйлера, Фруда, Струхала, Маха. Приближенное моделирование.

Несмотря на высокий уровень развития современной гидромеханики, далеко не все задачи могут быть решены теоретически с достаточной для практики точностью и надежностью. Значительная часть гидромеханических проблем и практических задач решается до настоящего времени экспериментальным путем. Основные экспериментальные исследования проводятся на модельных установках, где могут использоваться различные рабочие тела, а сами испытания проводятся при скоростях и параметрах жидкости, отличающихся от натурных. Смысл моделирования в том, чтобы по результатам опытов на модели судить о явлениях, происходящих в натурных условиях. Поэтому при постановке эксперимента необходимо решить две задачи:

Как должна быть изготовлена модель испытуемого объекта;

В основе моделирования лежит понятие о подобии сравниваемых течений. Два течения подобны, если по характеристикам одного можно получить характеристики другого посредством простого умножения характеристик первого на некоторые постоянные коэффициенты, называемые коэффициентами подобия. В гидромеханике различают геометрическое, кинематическое, динамическое и тепловое подобие.

Два тела геометрически подобны, если сходственные отрезки тел пропорциональны и углы между сходственными отрезками равны между собой:

(12.1)

где – длины сходственных отрезков, – углы между сходственными отрезками, – линейный масштаб моделирования. Линейный масштаб выбирается из практических соображений. Если выбрать в качестве единиц измерения характерные сходственные размеры и натуры и модели, то любые линейные размеры можно выразить в долях от этих величин:

Можно показать, что , т.е. безразмерные координаты сходственных точек в натуре и модели одинаковы.

Потоки кинематически подобны, если скорости в сходственных точках пропорциональны и углы между векторами скорости и осями координат одинаковы. Пусть потоки геометрически подобны. Если отношения

(12.3)

одинаковы для любой пары сходственных точек, то потоки кинематически подобны ( – масштаб моделирования по скорости). Из кинематического подобия потоков вытекает геометрическое подобие их линий тока.

Для динамического подобия необходима пропорциональность сил, действующих на сходственные элементы, и равенство углов между соответствующими векторами сил и осями координат. Пусть и - силы, действующие на сходственные элементы в натуре и модели. Если

(12.4)

Есть величина постоянная для любой пары сходственных элементов, то потоки динамически подобны. Безразмерные значения сил в сходственных точках одинаковы. Кинематическое и динамическое подобия могут существовать только при наличии геометрического подобия. Если для какой-либо группы гидродинамических явлений имеет место кинематическое и динамическое подобия, то ее называют группой механически подобных явлений. Механическое подобие частный случай общего подобия физических процессов.

Для механически подобных потоков безразмерные координаты сходственных точек, безразмерные скорости и безразмерные силы в сходственных точках одинаковы. Безразмерные поля физических параметров механически подобных потоков одинаковы. Гидромеханическое явление определяется полями характеризующих его физических величин При подобии явлений (систем) поля соответствующих параметров двух систем подобны в пространстве и во времени. Если потоки подобны, то характеристики натурного течения получаются из характеристик модельного течения умножением их на соответствующие коэффициенты подобия (масштабы моделирования).

Для полного подобия двух течений необходима пропорциональность всех величин, описывающих процесс. Практически ограничиваются частичным подобием некоторых наиболее существенных для данного явления характеристик.

Теория подобия – учение об условиях подобия физических явлений. Опирается на учение о размерности физических величин и служит основой моделирования. Предметом теории подобия является установление критериев подобия физических явлений и изучение с помощью этих критериев свойств самих явлений.

В основе теории подобия лежат следующие теоремы:

Похожая информация.

Особенности видов движения, рассматриваемых в гидродинамике.

Можно выделить следующие виды движения.

Неустановившееся, по поведению скорости, давления, температуры и т. д.; установившееся, по тем же параметрам; неравномерное, в зависимости от поведения тех же параметров в живом сечении с площадью; равномерное, по тем же признакам; напорное, когда движение происходит под давлением p > p атм, (например, в трубопроводах); безнапорное, когда движение жидкости происходит только под действием силы тяжести.

Однако основными видами движения, несмотря на большое количество их разновидностей, являются вихревое и ламинарное движения.

Движение, при котором частицы жидкости вращаются вокруг мгновенных осей, проходящих через их полюсы, называют вихревым движением.

Это движение жидкой частицы характеризуется угловой скоростью, компонентами (составляющими), которой являются:

Вектор самой угловой скорости всегда перпендикулярен плоскости, в которой происходит вращение.

Если определить модуль угловой скорости, то

Удвоив проекции на соответствующие координаты оси? x , ? y , ? z , получим компоненты вектора вихря

Совокупность векторов вихря называется векторным полем.

По аналогии с полем скоростей и линией тока, существует и вихревая линия, которая характеризует векторное поле.

Это такая линия, у которой для каждой точки вектор угловой скорости сонаправлен с касательной к этой линии.

Линия описывается следующим дифференциальным уравнением:

в котором время t рассматривается как параметр.

Вихревые линии во многом ведут себя так же, как и линии тока.

Вихревое движение называют также турбулентным.

Вихревым движением называется вращательное движение частицы вокруг осей, проходящих через частицу.

Изучение вихревого движения жидкости и газа в аэродинамике имеет важное практическое значение. На вихревой теории, в частности, основаны методы определения аэродинамических характеристик крыльев бесконечного и конечного размаха. При обтекании тел реальным потоком может происходить отрыв потока с образованием вихрей (рис. 2.6).

Вращательное движение частиц характеризуется угловыми скоростями:

, ,

То есть в каждой точке пространства вращение жидких частиц можно охарактеризовать вектором угловой скорости , модуль которого равен . Каждый такой вектор характеризует местное вращение жидкости.

При исследовании полей угловых скоростей обычно вводят понятия, аналогичные тем, которые были введены применительно к полю линейных скоростей. Для описания поля угловых скоростей вращения вводится понятие вихревыхлиний. Построение вихревых линий аналогично построению линий тока (рис. 2.7).

Вихревой линией называется линия, проведенная в данный момент времени в потоке жидкости или газа, в каждой точке которой вектор угловой скорости направлен по касательной к ней.

По аналогии с линиями тока можно записать дифференциальные уравнения вихревых линий:

Кроме понятия вихревых линий вводится понятие вихревых трубок. Рассмотрим произвольный малый замкнутый контур, не совпадающий с вихревой линией, и проведем через каждую точку этого контура вихревую линию (рис. 2.8). Совокупность этих линий образует вихревую трубку. Жидкость или газ, заключенные в ней, называются вихревым шнуром (вихревой нитью или вихрем).

Боковые поверхности вихревой трубки образованы вихревыми линиями, и, следовательно, поток вихря вектора скорости через боковую поверхность равен нулю.

Так как , то поток вихря для любых поперечных сечений вихревой трубки (интенсивность вихря) одинаков: . Если для поперечного сечения вихревой трубки , то интенсивность вихревой трубки постоянна:

Отсюда, вторая теорема Гельмгольца звучит следующим образом:

Поток вихря вектора скорости сквозь произвольно проведенное поперечное сечение вихревой трубки в данный момент времени одинаков вдоль всей трубки.

Из этой теоремы можно сделать вывод о возможных формах существования вихрей:

1. Сечение вихревой трубки нигде не равно 0, так как при и постоянной интенсивности вихревой трубки угловая скорость вращения , что физически невозможно.

2. Вихревые трубки не могут заканчиваться внутри жидкости: они либо замыкаются на себя (вихревые кольца), либо опираются на стенку (поверхность твердого тела) или на свободную поверхность (поверхность раздела двух сред с разной плотностью). Вихри теоретически могут иметь бесконечную протяженность, что возможно только в идеальной жидкости. В реальных условиях под действием сил вязкостного трения вихрь постепенно разрушается. Значение интенсивности (или напряжения) вихря связано с возникающей вокруг вихря циркуляцией вектора скорости.

При отсутствии вихревого движения . Если в этом случае траектории частиц представляют собой замкнутые кривые, то такое движение является частным случаем циркуляционного течения (частицы вращаются относительно оси, не проходящей через нее, и не вращаются относительно собственных осей).

В аэрогидромеханике важную роль играет понятие циркуляции скорости Г. Выделим в движущейся жидкости произвольный замкнутый контур (рис. 2.9). Пусть в некоторой точке этого контура скорость равна V , а проекция ее на касательную к данной точке контура равна . Запишем произведение и возьмем от него криволинейный интеграл по контуру :

Определяемая таким образом величина Г называется циркуляцией скорости по замкнутому контуру . При вычислении Г направление обхода контура (направление интегрирования) считается положительным, если охваченная контуром область остается слева.

Рассмотрим в качестве примера циркуляционного течения обтекание несимметричного профиля крыла плоскопараллельным потоком.

Допустим, что среда обтекает крыло, вызывая появление подъемной силы. Тогда скорости течения под нижней поверхностью крыла меньше скорости невозмущенного набегающего потока, а над верхней поверхностью – больше . Характер возмущенного течения у крыла можно выяснить, вычитая из локальных скоростей скорости прямолинейного поступательного потока. В результате получим поток возмущения, т. е. движение, которое возникает в среде от присутствия крыла. Поскольку влияние крыла местное, то линии тока потока возмущения не уходят на бесконечность, а должны иметь начало и конец на поверхности крыла или быть замкнутыми. Такой поток с замкнутыми линиями тока и называют циркуляционным. Таким образом, течение у крыла можно представить как сумму поступательного невозмущенного потока и течения по замкнутым траекториям (рис. 2.10).

Интенсивность циркуляционного потока у крыла характеризуется величиной циркуляции скорости по замкнутому контуру :

где – элемент дуги контура; – проекция скорости на элемент . В общем случае произвольно выбранный контур может не совпадать с линией тока циркуляционного течения (рис. 2.11). Таким образом, циркуляционным называется движение, при котором циркуляция скорости ; если , то движение среды происходит без циркуляции.

Если циркуляция скорости вокруг профиля (крыла) равна нулю, то профиль (крыло) не создает подъемной силы. Если величина подъемной силы не равна нулю, то в обязательном порядке около профиля создается циркуляционное течение и циркуляция скорости .

Применим понятие циркуляции скорости к сечению вихревой трубки, проведенному по нормали к ее оси. Вихревая нить индуцирует вокруг себя поле скоростей. При скорость движения частиц на расстоянии от оси вихря определяется как . Выберем замкнутый контур, охватывающий вихрь, в виде окружности радиусом . Тогда циркуляция вектора скорости по этому контуру будет равна , где – площадь, охватываемая окружностью. Полученное выражение есть не что иное, как удвоенная интенсивность вихревой трубки.

Таким образом, мы рассмотрели методы описания движения среды, математическое описание движения жидкой частицы, движения без вращения частицы, вихревого движения. Далее будут рассмотрены уравнения движения газа как сплошной среды.

Контрольные вопросы и задания

1. На основании анализа уравнения линии тока покажите, что через критическую точку может проходить бесконечное число линий тока.

2. В некоторой точке пространства движущейся жидкости площадь поперечного сечения трубки тока становится равной нулю. Какой кинематический объект находится в этой точке пространства, если линии тока направлены в его сторону?

3. Почему через каждую точку потока можно провести только одну линию тока? Не находится ли данное положение в противоречии с кинематическим образом, о котором говорится в задании 2?

4. В чем принципиальное отличие движения жидкой частицы от движения твердого тела?

5. Потенциал скорости для некоторой точки пространства движущейся жидкости равен . Запишите выражение для расчета величины скорости потока через потенциал.

DA , равна .

В каком из вариантов наблюдается циркуляционное течение?

9. Объясните, почему на рис. 2.11 вектор скорости в нижней части контура обхода направлен именно таким образом.

10. Исходя из положения, что угловая скорость вращения не может быть равной ¥, объясните, что будет происходить с вихревым жгутом, образовавшимся в некотором месте пространства, и как он может себя вести.