Парадокс Монти Холла: формулировка и объяснение. Парадокс монти холла - логическая задачка не для слабаков Как выбрать один из трех

Загадка Монти Холла

В поисках автомобиля, игрок выбирает дверь 1. Тогда ведущий открывает 3-ю дверь, за которой находится коза, и предлагает игроку изменить свой выбор на дверь 2. Стоит ли ему это делать?

Парадо́кс Мо́нти Хо́лла - одна из известных задач теории вероятностей , решение которой, на первый взгляд, противоречит здравому смыслу. Задача формулируется как описание гипотетической игры , основанной на американском телешоу «Let’s Make a Deal», и названа в честь ведущего этой передачи. Наиболее распространенная формулировка этой задачи, опубликованная в году в журнале Parade Magazine , звучит следующим образом:

Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трех дверей. За одной из дверей находится автомобиль , за двумя другими дверями - козы . Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где - козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас, не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2. Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?

Хотя данная формулировка задачи является наиболее известной, она несколько проблематична, поскольку оставляет некоторые важные условия задачи неопределенными. Ниже приводится более полная формулировка.

При решении этой задачи обычно рассуждают примерно так: после того, как ведущий открыл дверь, за которой находится коза, автомобиль может быть только за одной из двух оставшихся дверей. Поскольку игрок не может получить никакой дополнительной информации о том, за какой дверью находится автомобиль, то вероятность нахождения автомобиля за каждой из дверей одинакова, и изменение первоначального выбора двери не дает игроку никаких преимуществ. Однако такой ход рассуждений неверен. Если ведущий всегда знает, за какой дверью что находится, всегда открывает ту из оставшихся дверей, за которой находится коза, и всегда предлагает игроку изменить свой выбор, то вероятность того, что автомобиль находится за выбранной игроком дверью, равна 1/3, и, соответственно, вероятность того, что автомобиль находится за оставшейся дверью, равна 2/3. Таким образом, изменение первоначального выбора увеличивает шансы игрока выиграть автомобиль в 2 раза. Этот вывод противоречит интуитивному восприятию ситуации большинством людей , поэтому описанная задача и называется парадоксом Монти Холла .

Задача и решение

Более точная формулировка задачи

Наиболее распространённая формулировка задачи, опубликованная в журнале Parade , к сожалению, не вполне точна, поскольку оставляет неопределёнными несколько существенных условий. Более полная и точная формулировка задачи выглядит примерно так:

Представьте, что вы стали участником игры, в которой вы находитесь перед тремя дверями. Ведущий, о котором известно, что он честен , поместил за одной из дверей автомобиль, а за двумя другими дверями - по козе. У вас нет никакой информации о том, что за какой дверью находится. Ведущий говорит вам: «Сначала вы должны выбрать одну из дверей. После этого я открою одну из оставшихся дверей, за которой находится коза. Затем я предложу вам изменить свой первоначальный выбор и выбрать оставшуюся закрытую дверь вместо той, которую вы выбрали вначале. Вы можете последовать моему совету и выбрать другую дверь, либо подтвердить свой первоначальный выбор. После этого я открою дверь, которую вы выбрали, и вы выиграете то, что находится за этой дверью.»

Вы выбираете дверь номер 3. Ведущий открывает дверь номер 1 и показывает, что за ней находится коза. Затем ведущий предлагает вам выбрать дверь номер 2. Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы последуете его совету?

В данной задаче также неявно предполагается, что открытие ведущим двери с козой не несёт никакой информации о том, что находится за дверью, которую сначала выбрал игрок. Наиболее простой способ добиться этого - потребовать, чтобы в случае, когда автомобиль находится за дверью, выбранной игроком, ведущий открывал одну из оставшихся дверей с козами обязательно случайным образом.

Вначале вероятность того, что участник попадёт на автомобиль равна 1/3. После того как ведущий открывает дверь, большинство людей считают что она должна быть равна 1/2, но это не так. Ведущий знает, где находится автомобиль, и поэтому не открывает дверь с автомобилем. И вероятность была бы 1/2 только тогда, когда ведущий бы не знал положение призов, и тогда бы открытие двери ничего бы не меняло.

Наиболее существенным дополнением по сравнению с приведённой выше формулировкой здесь является то, что игрок до начала игры знает, что после его выбора ведущий в любом случае откроет дверь с козой и в любом случае предложит игроку изменить свой выбор, то есть совершение данных действий ведущим не несёт никакой информации о том, правильным или неправильным был первоначальный выбор игрока.

Решение

Правильным ответом к этой задаче является следующее: да, шансы выиграть автомобиль увеличиваются в два раза, если игрок будет следовать совету ведущего и изменит свой первоначальный выбор.

Наиболее простое объяснение этого ответа состоит в следующем соображении. Для того, чтобы выиграть автомобиль без изменения выбора, игрок должен сразу угадать дверь, за которой стоит автомобиль. Вероятность этого равна 1/3. Если же игрок первоначально попадает на дверь, за которой стоит коза (а вероятность этого события 2/3, поскольку есть две козы и лишь один автомобиль), то он может однозначно выиграть автомобиль, изменив своё решение, так как остаются автомобиль и одна коза, а дверь с козой ведущий уже открыл.

Таким образом, без смены выбора игрок остаётся при своей первоначальной вероятности выигрыша 1/3, а при смене первоначального выбора, игрок оборачивает себе на пользу в два раза большую оставшуюся вероятность того, что в начале он не угадал.

Также интуитивно понятное объяснение можно сделать, поменяв местами два события. Первое событие – принятие решения игроком о смене двери, второе событие – открытие лишней двери. Это допустимо, т.к. открытие лишней двери не дает игроку никакой новой информации (док-во см. в этой статье).

Тогда задачу можно свести к следующей формулировке. В первый момент времени игрок делит двери на две группы: в первой группе одна дверь (та что он выбрал), во второй группе две оставшиеся двери. В следующий момент времени игрок делает выбор между группами (sic!). Очевидно, что для первой группы вероятность выигрыша 1/3, для второй группы 2/3. Игрок выбирает вторую группу. Во второй группе он может открыть обе двери (sic!). Одну открывает ведущий, а вторую сам игрок.

Ключи к пониманию

Несмотря на простоту объяснения этого явления, множество людей интуитивно полагают, что вероятность выигрыша не меняется при изменении игроком своего выбора. Обычно невозможность изменения вероятности выигрыша мотивируется тем, что при вычислении вероятности происшедшие в прошлом события не имеют значения, как это происходит, например, при подбрасывании монетки - вероятность выпадения орла или решки не зависит от того, сколько раз до этого выпал орёл или решка. Поэтому многие считают, что в момент выбора игроком одной двери из двух уже не имеет значения, что в прошлом имел место выбор одной двери из трёх, и вероятность выиграть автомобиль одинаковая как при изменении выбора, так и при оставлении первоначального выбора.

Однако, хотя такие соображения верны в случае подбрасывания монетки, они верны не для всех игр. В данном случае должно быть проигнорировано открытие двери ведущим . Игрок по существу выбирает между той одной дверью, которую он выбрал сначала, и остальными двумя - открытие одной из них служит лишь для отвлечения внимания игрока. Известно, что имеется один автомобиль и две козы. Первоначальный выбор игроком одной из дверей делит возможные исходы игры на две группы: либо автомобиль находится за дверью, выбранной игроком (вероятность этого 1/3), либо за одной из двух других (вероятность этого 2/3). При этом уже известно, что в любом случае за одной из двух оставшихся дверей находится коза, и, открывая эту дверь, ведущий не даёт игроку никакой дополнительной информации о том, что находится за выбранной игроком дверью. Таким образом, открытие ведущим двери с козой не меняет вероятности (2/3) того, что автомобиль находится за одной из оставшихся дверей. А поскольку уже открытую дверь игрок не выберет, то вся эта вероятность оказывается сосредоточена в том событии, что автомобиль находится за оставшейся закрытой дверью.

Более интуитивно понятное рассуждение: Пусть игрок действует по стратегии «изменить выбор». Тогда проиграет он только в том случае, если изначально выберет автомобиль. А вероятность этого - одна треть. Следовательно, вероятность выигрыша: 1-1/3=2/3. Если же игрок действует по стратегии «не менять выбор», то он выиграет тогда и только тогда, когда изначально выбрал автомобиль. А вероятность этого - одна треть.

Другая частая причина трудного понимания решения этой задачи состоит в том, что нередко люди представляют себе немного другую игру - когда заранее неизвестно, будет ли ведущий открывать дверь с козой и предлагать игроку изменить свой выбор. В этом случае игрок не знает тактики ведущего (то есть, по существу, не знает всех правил игры) и не может сделать оптимальный выбор. Например, если ведущий будет предлагать смену варианта лишь в случае, когда игрок изначально выбрал дверь с автомобилем, то, очевидно, игрок должен всегда оставлять первоначальное решение без изменения. Именно поэтому важно иметь в виду точную формулировку задачи Монти Холла.(Хотя, даже при таком варианте, правильной стратегией будет смена выбора двери (при условии, что игрок не знает «хитрости» ведущего). Так как в этом случае проигрыш будет означать реализацию вероятности 1/3.)

Увеличение количества дверей

Для того, чтобы легче понять суть происходящего, можно рассмотреть случай, когда игрок видит перед собой не три двери, а, например, сто. При этом за одной из дверей находится автомобиль, а за остальными 99 - козы. Игрок выбирает одну из дверей, при этом в 99 % случаев он выберет дверь с козой, а шансы сразу выбрать дверь с автомобилем очень малы - они составляют 1 %. После этого ведущий открывает 98 дверей с козами и предлагает игроку выбрать оставшуюся дверь. При этом в 99 % случаев автомобиль будет находиться за этой оставшейся дверью, поскольку шансы на то, что игрок сразу выбрал правильную дверь, очень малы. Понятно, что в этой ситуации рационально мыслящий игрок должен всегда принимать предложение ведущего.

При рассмотрении увеличенного количества дверей нередко возникает вопрос: если в оригинальной задаче ведущий открывает одну дверь из трёх (то есть 1/3 от общего количества дверей), то почему нужно предполагать, что в случае 100 дверей ведущий откроет 98 дверей с козами, а не 33 ? Это соображение является обычно одной из существенных причин того, почему парадокс Монти Холла входит в противоречие с интуитивным восприятием ситуации. Предполагать открытие 98 дверей будет правильным потому, что существенным условием задачи является наличие только одного альтернативного варианта выбора для игрока, который и предлагается ведущим. Поэтому для того, чтобы задачи были аналогичными, в случае 4 дверей ведущий должен открывать 2 двери, в случае 5 дверей - 3, и так далее, чтобы всегда оставалась одна неоткрытая дверь кроме той, которую изначально выбрал игрок. Если ведущий будет открывать меньшее количество дверей, то задача уже не будет аналогична оригинальной задаче Монти Холла.

Следует отметить, что в случае множества дверей, даже если ведущий будет оставлять закрытой не одну дверь, а несколько, и предлагать игроку выбрать одну из них, то при смене первоначального выбора шансы игрока выиграть автомобиль всё равно будут увеличиваться, хотя и не столь значительно. Например, рассмотрим ситуацию, когда игрок выбирает одну дверь из ста, и затем ведущий открывает только одну дверь из оставшихся, предлагая игроку изменить свой выбор. При этом шансы на то, что автомобиль находится за первоначально выбранной игроком дверью, остаются прежними - 1/100, а для остальных дверей шансы изменяются: суммарная вероятность того, что автомобиль находится за одной из оставшихся дверей (99/100) распределяется теперь не на 99 дверей, а на 98. Поэтому вероятность нахождения автомобиля за каждой из этих дверей будет равна не 1/100, а 99/9800. Прирост вероятности составит примерно 0.01 %.

Дерево принятия решений

Дерево возможных решений игрока и ведущего, показывающее вероятность каждого исхода

Более формально сценарий игры может быть описан c помощью дерева принятия решений .

В первых двух случаях, когда игрок сначала выбрал дверь, за которой находится коза, изменение выбора приводит к выигрышу. В двух последних случаях, когда игрок сначала выбрал дверь с автомобилем, изменение выбора приводит к проигрышу.

Суммарная вероятность того, что изменение выбора приведёт к выигрышу, эквивалентна сумме вероятностей первых двух исходов, то есть . Соответственно, вероятность того, что отказ от изменения выбора приведёт к выигрышу, равна .

Существует простой способ убедиться в том, что изменение первоначального выбора приводит к выигрышу в двух случаях из трёх в среднем. Для этого можно сымитировать игру, описанную в задаче Монти Холла, с помощью игральных карт . Один человек (раздающий карты) при этом играет роль ведущего Монти Холла, а второй - роль игрока. Для игры берутся три карты, из которых одна изображает дверь с автомобилем (например, туз пик), а две других, одинаковых (например, две красные двойки) - двери с козами.

Ведущий выкладывает три карты рубашкой вверх, предлагая игроку взять одну из карт. После того, как игрок выберет карту, ведущий смотрит в две оставшиеся карты и открывает красную двойку. После этого открываются карты, оставшиеся у игрока и у ведущего, и если выбранная игроком карта - туз пик, то записывается очко в пользу варианта, когда игрок не меняет свой выбор, а если у игрока оказывается красная двойка, а у ведущего остаётся туз пик, то записывается очко в пользу варианта, когда игрок меняет свой выбор. Если провести множество таких раундов игры, то соотношение между очками в пользу двух вариантов достаточно хорошо отразит соотношение вероятностей этих вариантов. При этом оказывается, что число очков в пользу смены первоначального выбора примерно в два раза больше.

Такой эксперимент позволяет не только убедиться в том, что вероятность выигрыша при изменении выбора в два раза больше, но и хорошо иллюстрирует, почему так происходит. В тот момент, когда игрок выбрал себе карту, уже определено , находится ли в его руке туз пик или нет. Дальнейшее открытие ведущим одной из своих карт не меняет ситуации - игрок уже держит карту в руке, и она остаётся там независимо от действий ведущего. Вероятность же для игрока выбрать туз пик из трёх карт равна, очевидно, 1/3, и, таким образом, вероятность его не выбрать (и тогда игрок выиграет, если изменит первоначальный выбор) равна 2/3.

Доказательство с помощью таблицы

При проведении большого числа экспериментов машина должна обнаруживаться за каждой из дверей одинаковое количество раз, то есть очень близко к 1/3 от общего количества.

По законам распределения вероятности вы выберете неправильную дверь в 2 случаях из 3. Это означает, что в 2 из 3 случаев вы получите машину просто изменив решение. Таблица показывает, что вы, скорее всего, ошибётесь при первом выборе и в этом случае вы попадаете в две другие строки таблицы. А здесь уже вам покажут, какую дверь нужно выбрать.

Проблема трёх заключенных

Другая формулировка парадокса была представлена Мартином Гарднером в колонке Математические игры , которую он вёл в журнале Scientific American , в .

Трое заключенных A , B и C приговорены к смертной казни, однако известно что один будет помилован. Приговор запрещает сообщать преступнику, будет ли он помилован или нет. A уговаривает охранника сказать, кого из двух других заключенных казнят. Так как вопрос не касается A , охранник решается сообщить, что казнят B . Как изменились вероятности казни A и C ? Или, проводя аналогию с проблемой Монти Холла, следует ли A поменяться местами с С , если у него есть такая возможность?

Ответ

В таблице приведены вероятности того, кто из заключенных будет помилован, до и после сообщения охранника.

Парадокс Монти Холла - одна из известных задач теории вероятностей, решение которой, на первый взгляд, противоречит здравому смыслу. Задача формулируется как описание гипотетической игры, основанной на американском телешоу «Let’s Make a Deal», и названа в честь ведущего этой передачи. Наиболее распространенная формулировка этой задачи, опубликованная в 1990 году в журнале Parade Magazine, звучит следующим образом:
Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трех дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями - козы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где - козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас, не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2. Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор? Хотя данная формулировка задачи является наиболее известной, она несколько проблематична, поскольку оставляет некоторые важные условия задачи неопределенными. Ниже приводится более полная формулировка.
При решении этой задачи обычно рассуждают примерно так: после того, как ведущий открыл дверь, за которой находится коза, автомобиль может быть только за одной из двух оставшихся дверей. Поскольку игрок не может получить никакой дополнительной информации о том, за какой дверью находится автомобиль, то вероятность нахождения автомобиля за каждой из дверей одинакова, и изменение первоначального выбора двери не дает игроку никаких преимуществ. Однако такой ход рассуждений неверен. Если ведущий всегда знает, за какой дверью что находится, всегда открывает ту из оставшихся дверей, за которой находится коза, и всегда предлагает игроку изменить свой выбор, то вероятность того, что автомобиль находится за выбранной игроком дверью, равна 1/3, и, соответственно, вероятность того, что автомобиль находится за оставшейся дверью, равна 2/3. Таким образом, изменение первоначального выбора увеличивает шансы игрока выиграть автомобиль в 2 раза. Этот вывод противоречит интуитивному восприятию ситуации большинством людей, поэтому описанная задача и называется парадоксом Монти Холла.

Словесное решение
Правильным ответом к этой задаче является следующее: да, шансы выиграть автомобиль увеличиваются в 2 раза, если игрок будет следовать совету ведущего и изменит свой первоначальный выбор.
Наиболее простое объяснение этого ответа состоит в следующем соображении. Для того, чтобы выиграть автомобиль без изменения выбора, игрок должен сразу угадать дверь, за которой стоит автомобиль. Вероятность этого равна 1/3. Если же игрок первоначально попадает на дверь, за которой стоит коза (а вероятность этого события 2/3, поскольку есть две козы и лишь один автомобиль), то он может однозначно выиграть автомобиль, изменив своё решение, так как остаются автомобиль и одна коза, а дверь с козой ведущий уже открыл.
Таким образом, без смены выбора игрок остаётся при своей первоначальной вероятности выигрыша 1/3, а при смене первоначального выбора, игрок оборачивает себе на пользу в два раза большую оставшуюся вероятность того, что в начале он не угадал.
Также интуитивно понятное объяснение можно сделать, поменяв местами два события. Первое событие - принятие решения игроком о смене двери, второе событие - открытие лишней двери. Это допустимо, так как открытие лишней двери не дает игроку никакой новой информации (док-во см. в этой статье).
Тогда задачу можно свести к следующей формулировке. В первый момент времени игрок делит двери на две группы: в первой группе одна дверь (та что он выбрал), во второй группе две оставшиеся двери. В следующий момент времени игрок делает выбор между группами. Очевидно, что для первой группы вероятность выигрыша 1/3, для второй группы 2/3. Игрок выбирает вторую группу. Во второй группе он может открыть обе двери. Одну открывает ведущий, а вторую сам игрок.
Попробуем дать «самое понятное» объяснение. Переформулируем задачу: Честный ведущий объявляет игроку, что за одной из трех дверей - автомобиль, и предлагает ему сначала указать на одну из дверей, а после этого выбрать одно из двух действий: открыть указанную дверь (в старой формулировке это называется «не изменять своего выбора») или открыть две другие (в старой формулировке это как раз и будет «изменить выбор». Подумайте, здесь и заключен ключ к пониманию!). Ясно, что игрок выберет второе из двух действий, так как вероятность получения автомобиля в этом случае в два раза выше. А та мелочь, что ведущий ещё до выбора действия «показал козу», никак не помогает и не мешает выбору, ведь за одной из двух дверей всегда найдется коза и ведущий обязательно её покажет при любом ходе игры, так что игрок может на эту козу и не смотреть. Дело игрока, если он выбрал второе действие - сказать «спасибо» ведущему за то, что он избавил его от труда самому открывать одну из двух дверей, и открыть другую. Ну, или ещё проще. Представим себе эту ситуацию с точки зрения ведущего, который проделывает подобную процедуру с десятками игроков. Поскольку он прекрасно знает, что находится за дверями, то, в среднем, в двух случаях из трёх, он заранее видит, что игрок выбрал «не ту» дверь. Поэтому уж для него точно нет никакого парадокса в том, что, правильная стратегия состоит в изменении выбора после открытия первой двери: ведь тогда в тех же двух случаях из трёх игрок будет уезжать со студии на новой машине.
Наконец, самое «наивное» доказательство. Пусть тот, кто стоит на своем выборе, называется «Упрямым», а тот, кто следует указаниям ведущего, зовется «Внимательным». Тогда Упрямый выигрывает, если он изначально угадал автомобиль (1/3), а Внимательный - если он вначале промахнулся и попал на козу (2/3). Ведь только в этом случае он потом укажет на дверь с автомобилем.
Ключи к пониманию
Несмотря на простоту объяснения этого явления, множество людей интуитивно полагают, что вероятность выигрыша не меняется при изменении игроком своего выбора. Обычно невозможность изменения вероятности выигрыша мотивируется тем, что при вычислении вероятности происшедшие в прошлом события не имеют значения, как это происходит, например, при подбрасывании монетки - вероятность выпадения орла или решки не зависит от того, сколько раз до этого выпал орёл или решка. Поэтому многие считают, что в момент выбора игроком одной двери из двух уже не имеет значения, что в прошлом имел место выбор одной двери из трёх, и вероятность выиграть автомобиль одинаковая как при изменении выбора, так и при оставлении первоначального выбора.
Однако, хотя такие соображения верны в случае подбрасывания монетки, они верны не для всех игр. В данном случае должно быть проигнорировано открытие двери ведущим. Игрок по существу выбирает между той одной дверью, которую он выбрал сначала, и остальными двумя - открытие одной из них служит лишь для отвлечения внимания игрока. Известно, что имеется один автомобиль и две козы. Первоначальный выбор игроком одной из дверей делит возможные исходы игры на две группы: либо автомобиль находится за дверью, выбранной игроком (вероятность этого 1/3), либо за одной из двух других (вероятность этого 2/3). При этом уже известно, что в любом случае за одной из двух оставшихся дверей находится коза, и, открывая эту дверь, ведущий не даёт игроку никакой дополнительной информации о том, что находится за выбранной игроком дверью. Таким образом, открытие ведущим двери с козой не меняет вероятности (2/3) того, что автомобиль находится за одной из оставшихся дверей. А поскольку уже открытую дверь игрок не выберет, то вся эта вероятность оказывается сосредоточена в том событии, что автомобиль находится за оставшейся закрытой дверью.
Более интуитивно понятное рассуждение: Пусть игрок действует по стратегии «изменить выбор». Тогда проиграет он только в том случае, если изначально выберет автомобиль. А вероятность этого - одна треть. Следовательно, вероятность выигрыша: 1-1/3=2/3. Если же игрок действует по стратегии «не менять выбор», то он выиграет тогда и только тогда, когда изначально выбрал автомобиль. А вероятность этого - одна треть.
Представим себе эту ситуацию с точки зрения ведущего, который проделывает подобную процедуру с десятками игроков. Поскольку он прекрасно знает, что находится за дверями, то, в среднем, в двух случаях из трёх, он заранее видит, что игрок выбрал «не ту» дверь. Поэтому уж для него точно нет никакого парадокса в том, что, правильная стратегия состоит в изменении выбора после открытия первой двери: ведь тогда в тех же двух случаях из трёх игрок будет уезжать со студии на новой машине.
Другая частая причина трудного понимания решения этой задачи состоит в том, что нередко люди представляют себе немного другую игру - когда заранее неизвестно, будет ли ведущий открывать дверь с козой и предлагать игроку изменить свой выбор. В этом случае игрок не знает тактики ведущего (то есть, по существу, не знает всех правил игры) и не может сделать оптимальный выбор. Например, если ведущий будет предлагать смену варианта лишь в случае, когда игрок изначально выбрал дверь с автомобилем, то, очевидно, игрок должен всегда оставлять первоначальное решение без изменения. Именно поэтому важно иметь в виду точную формулировку задачи Монти Холла. (при таком варианте ведущий с разными стратегиями может добиться любой вероятности между дверями, в общем(среднем) случае будет 1/2 на 1/2).
Увеличение количества дверей
Для того, чтобы легче понять суть происходящего, можно рассмотреть случай, когда игрок видит перед собой не три двери, а, например, сто. При этом за одной из дверей находится автомобиль, а за остальными 99 - козы. Игрок выбирает одну из дверей, при этом в 99 % случаев он выберет дверь с козой, а шансы сразу выбрать дверь с автомобилем очень малы - они составляют 1 %. После этого ведущий открывает 98 дверей с козами и предлагает игроку выбрать оставшуюся дверь. При этом в 99 % случаев автомобиль будет находиться за этой оставшейся дверью, поскольку шансы на то, что игрок сразу выбрал правильную дверь, очень малы. Понятно, что в этой ситуации рационально мыслящий игрок должен всегда принимать предложение ведущего.
При рассмотрении увеличенного количества дверей нередко возникает вопрос: если в оригинальной задаче ведущий открывает одну дверь из трёх (то есть 1/3 от общего количества дверей), то почему нужно предполагать, что в случае 100 дверей ведущий откроет 98 дверей с козами, а не 33? Это соображение является обычно одной из существенных причин того, почему парадокс Монти Холла входит в противоречие с интуитивным восприятием ситуации. Предполагать открытие 98 дверей будет правильным потому, что существенным условием задачи является наличие только одного альтернативного варианта выбора для игрока, который и предлагается ведущим. Поэтому для того, чтобы задачи были аналогичными, в случае 4 дверей ведущий должен открывать 2 двери, в случае 5 дверей - 3, и так далее, чтобы всегда оставалась одна неоткрытая дверь кроме той, которую изначально выбрал игрок. Если ведущий будет открывать меньшее количество дверей, то задача уже не будет аналогична оригинальной задаче Монти Холла.
Следует отметить, что в случае множества дверей, даже если ведущий будет оставлять закрытой не одну дверь, а несколько, и предлагать игроку выбрать одну из них, то при смене первоначального выбора шансы игрока выиграть автомобиль всё равно будут увеличиваться, хотя и не столь значительно. Например, рассмотрим ситуацию, когда игрок выбирает одну дверь из ста, и затем ведущий открывает только одну дверь из оставшихся, предлагая игроку изменить свой выбор. При этом шансы на то, что автомобиль находится за первоначально выбранной игроком дверью, остаются прежними - 1/100, а для остальных дверей шансы изменяются: суммарная вероятность того, что автомобиль находится за одной из оставшихся дверей (99/100) распределяется теперь не на 99 дверей, а на 98. Поэтому вероятность нахождения автомобиля за каждой из этих дверей будет равна не 1/100, а 99/9800. Прирост вероятности составит примерно 0.01 %.
Дерево принятия решений


Дерево возможных решений игрока и ведущего, показывающее вероятность каждого исхода
Более формально сценарий игры может быть описан c помощью дерева принятия решений.
В первых двух случаях, когда игрок сначала выбрал дверь, за которой находится коза, изменение выбора приводит к выигрышу. В двух последних случаях, когда игрок сначала выбрал дверь с автомобилем, изменение выбора приводит к проигрышу.
Суммарная вероятность того, что изменение выбора приведёт к выигрышу, эквивалентна сумме вероятностей первых двух исходов, то есть

Соответственно, вероятность того, что отказ от изменения выбора приведёт к выигрышу, равна

Проведение похожего эксперимента
Существует простой способ убедиться в том, что изменение первоначального выбора приводит к выигрышу в двух случаях из трёх в среднем. Для этого можно сымитировать игру, описанную в задаче Монти Холла, с помощью игральных карт. Один человек (раздающий карты) при этом играет роль ведущего Монти Холла, а второй - роль игрока. Для игры берутся три карты, из которых одна изображает дверь с автомобилем (например, туз пик), а две других, одинаковых (например, две красные двойки) - двери с козами.
Ведущий выкладывает три карты рубашкой вверх, предлагая игроку взять одну из карт. После того, как игрок выберет карту, ведущий смотрит в две оставшиеся карты и открывает красную двойку. После этого открываются карты, оставшиеся у игрока и у ведущего, и если выбранная игроком карта - туз пик, то записывается очко в пользу варианта, когда игрок не меняет свой выбор, а если у игрока оказывается красная двойка, а у ведущего остаётся туз пик, то записывается очко в пользу варианта, когда игрок меняет свой выбор. Если провести множество таких раундов игры, то соотношение между очками в пользу двух вариантов достаточно хорошо отразит соотношение вероятностей этих вариантов. При этом оказывается, что число очков в пользу смены первоначального выбора примерно в два раза больше.
Такой эксперимент позволяет не только убедиться в том, что вероятность выигрыша при изменении выбора в два раза больше, но и хорошо иллюстрирует, почему так происходит. В тот момент, когда игрок выбрал себе карту, уже определено, находится ли в его руке туз пик или нет. Дальнейшее открытие ведущим одной из своих карт не меняет ситуации - игрок уже держит карту в руке, и она остаётся там независимо от действий ведущего. Вероятность же для игрока выбрать туз пик из трёх карт равна, очевидно, 1/3, и, таким образом, вероятность его не выбрать (и тогда игрок выиграет, если изменит первоначальный выбор) равна 2/3.
Упоминание
В фильме Двадцать одно преподаватель, Мики Роса, предлагает главному герою, Бену, решить задачку: за тремя дверьми два самоката и один автомобиль, необходимо угадать дверь, чтобы выиграть автомобиль. После первого выбора Мики предлагает изменить выбор. Бен соглашается и математически аргументирует свое решение. Так он непроизвольно проходит тест в команду Мики.
В романе Сергея Лукьяненко «Недотепа» главные герои при помощи такого приема выигрывают карету и возможность продолжить своё путешествие.
В телесериале «4исла» (13 эпизод 1 сезона «Man Hunt») один из главных героев, Чарли Эппс, на популярной лекции по математике объясняет парадокс Монти Холла, наглядно иллюстрируя его с помощью маркерных досок, на обратных сторонах которых нарисованы козы и автомобиль. Чарли действительно находит автомобиль, изменив выбор. Однако следует отметить, что он проводит всего один эксперимент, в то время как преимущество стратегии смены выбора является статистическим, и для корректной иллюстрации следует проводить серию экспериментов.

Парадокс Монти Холла стал все чаще появляться на сайтах букмекерской тематики. Что же это такое и можно ли это использовать игроку в своих интересах?

Что такое парадокс Монти Холла

Парадокс Монти Холла - это задача из теории вероятности. Свою популярность приобрела благодаря американской телепередаче, где игроку предстоит открыть одну из трех дверей. Естественно приз только за одной дверью (машина), за двумя другими коза (шоу как-никак). Сначала игрок выбирает дверь. Она пока не открывается. Осталось две двери. Из этих двух дверей ведущий должен открыть ту, за которой коза. В итоге остается две неоткрытых двери, одна из которых та, что выбрал игрок. За одной коза, за другой автомобиль. Ведущий предлагает поменять игроку свой первоначальный выбор и открыть другую дверь. Что произойдет с шансами игрока выиграть приз, если он поменяет решение, и есть ли смысл это делать?

Если игрок меняет свой выбор, то он выигрывает с вероятностью 66.6%. Если остается при своем первоначальном мнении, шанс увидеть автомобиль ограничится 33.7%. В этом и заключается парадокс. Вроде бы всегда остается две двери, в которых один приз, а значит и вероятность выигрыша (меняй/не меняй) 50%. Но на деле все совсем по-другому. Если бы ведущий сразу открыл дверь с козой, а потом предложил игроку выбрать одну из двух дверей, то шанс действительно был бы 50%. Но сначала игрок делает свой выбор и вероятность выигрыша первоначально выбранной двери составляет 1/3.

При многократном повторении этого выбора его вероятность всегда будет оставаться на уровне 1/3 независимо ни от каких дальнейших действий ведущего либо самого игрока. Соответственно на две оставшиеся двери, всегда будет оставаться вероятность 2/3. А т.к. ведущий из этих двух дверей всегда оставляет одну, то она принимает на себя величину этой вероятности 2/3.

Вот и получается, первоначальный выбор игрока будет вести к выигрышу в трети всех случаев, а смена решения - к двум третям . Потому эта задача и называется парадоксом, что не поддается логике и здравому смыслу. Мозг человека привык работать шаблонно, потому и имеют место оптические обманы, иллюзии, парадоксы. Это не более, чем неосведомленность человека в конкретном вопросе. Даже написанное выше логическое объяснение задачи принимается не каждым, и приходится использовать более доступный метод просветления.

Представим данную задачу немного в другом, более расширенном формате. Дверей не 3, а 10, а условия все те же - игрок выбирает одну дверь, а ведущий открывает все двери и оставляет опять же одну. Ведущий может открыть только двери с козой. Т.е. игрок снова стоит перед выбором - дверь с козой/дверь с автомобилем. Здесь уже условия более понятны для понимания среднестатистическому человеку.

Понятно, что изначально выбрать дверь с призом очень трудно, а точнее вероятность составляет 1/10. И логично, что скорее всего автомобиль будет за оставшейся из 9 дверей. А т.к. ведущий открывает только невыигрышные, то дверь, которая останется не открытой после ведущего и будет предложена игроку, и будет являться дверью с призом. Если и такая формулировка вызвала трудности у человека, то можно условия упрощать еще больше, пока, как говорится, не дойдет. Это не признак большого или малого ума человека, скорее это отличный тест предмет "гуманитарий вы или технарь". Варианты с двумя, десятью, тысячами и т.д. дверями идентичны по своей сути, но различаются по трудности восприятия. Чем меньше дверей, тем легче сбить с толку человека.

Появление парадокса Монти Холла на сайтах, посвященных различным стратегиям, скорее радует, чем огорчает, особенно букмекеров. Правда пока и значение парадоксу Монти Холла придается исключительно прикладное. Это скорее как наглядный пример, что не все, что видишь, так и есть на самом деле. Что в тех же коэффициентах букмекера может быть заложено не только реальное распределение сил на основе статистики и текущих новостей из стана команд. Игроки также могут двигать линию и не основываясь на объективные причины. Тут может иметь место и обычный стадный рефлекс(), и договорняки. Да просто одна большая ставка на неперегруженное событие может сдвинуть линию.

Хотя встречаются и уникумы, утверждающие, что данный парадокс легко можно применить и в ставках на спорт. К сожалению, это утверждения безо всяких доказательств. Представим парадокс Монти Холла в условиях ставок на спорт. Для начала нужно найти событие с равными тремя шансами на успех . Бывают и такие, хоть и редко. Встречается линия на футбол, где на победу одной команды, ничью и другой команды кэфы 2.7 - ровная линия до невозможности. Нам нужно выбрать свой вариант. Затем требуется, чтобы на определенном этапе одно событие отпало, и осталось два, наиболее вероятных. До конца матча нельзя откинуть ни одно событие, пусть даже оно и маловероятно.

На долгом отрезке пути оно обязательно сыграет и даст свой перекос в статистику. Но, даже если представить, что не сыграет, то на этапе, когда останется два варианта, эти варианты уже будут иметь значения, насоразмерные с изначальными. А все потому, что букмекер двигает коэффициенты в течение матча . Грубо говоря, когда придется выбирать из двух дверей, это уже будет не коза и машина, а коза и велосипед. Коза - это ноль, проигрыш - никуда не денется. А автомобиль превратится из кэфа 2.7 в велосипед с гораздо меньшим коэффициентом.

В итоге смена первоначального решения хоть и может дать увеличение процента выигрыша, но сам выигрыш будет иметь уже совсем другую ценность. Т.е. в парадоксе Монти Холла начальные условия не меняются, а в ставках на спорт меняются. Отсюда и его неприменимость в борьбе с букмекерами. А с другой стороны, кто знает? Может и здесь найдется какой-нибудь парадокс, просто его еще никто не видит.

Вывод

Мы продолжаем настоятельно рекомендовать пользоваться . Высокорисковые финансовые стратегии оставьте для казино или тренировочных игровых счетов. Для стабильного заработка на ставках нужна правильная , а не всевозможные вариации КАК сделать ставку, не понимая НА ЧТО .

О лотереях

Игра эта давно приобрела массовый характер и стала неотъемлемой частью современной жизни. И хотя лотерея всё больше расширяет свои возможности, многие люди по-прежнему видят в ней лишь способ обогащения. Пусть и не бесплатный и не надёжный. С другой стороны, как заметил один из героев Джека Лондона, в азартной игре нельзя не считаться с фактами - людям иногда везёт.

Математика случая. История теории вероятностей

Александр Буфетов

Стенограмма и видеозапись лекции доктора физико-математических наук, ведущего научного сотрудника Математического института имени Стеклова, ведущего научного сотрудника ИППИ РАН, профессора факультета математики Высшей школы экономики, директора исследований Национального центра научных исследований во Франции (CNRS) Александра Буфетова, прочитанной в рамках цикла «Публичные лекции "Полит.ру"» 6 февраля 2014 г.

Иллюзия закономерности: почему случайность кажется неестественной

Наши представления о случайном, закономерном и невозможном часто расходятся с данными статистики и теории вероятностей. В книге «Несовершенная случайность. Как случай управляет нашей жизнью» американский физик и популяризатор науки Леонард Млодинов рассказывает о том, почему случайные алгоритмы выглядят так странно, в чем подвох «рандомной» тасовки песен на IPod и от чего зависит удача биржевого аналитика. «Теории и практики» публикуют отрывок из книги.

Детерминизм

Детерминизм — общенаучное понятие и философское учение о причинности, закономерности, генетической связи, взаимодействии и обусловленности всех явлений и процессов, происходящих в мире.

Бог - это статистика

Дебора Нолан, профессор статистики в Университете Калифорнии в Беркли, предлагает своим студентам выполнить очень странное на первый взгляд задание. Первая группа должна сто раз подбрасывать монетку и записывать результат: орёл или решка. Вторая должна представить, что подбрасывает монетку – и тоже составить список из сотни «мнимых» результатов.

Что такое детерминизм

Если известны начальные условия системы, можно, используя законы природы, предсказать ее конечное состояние.

Задача о разборчивой невесте

Гусейн-Заде С. М.

Парадокс Зенона

Можно ли из одной точки в пространстве добраться до другой? Древнегреческий философ Зенон Элейский считал, что перемещение невозможно осуществить вообще, но как он это аргументировал? Колм Келлер расскажет о том, как разрешить знаменитый парадокс Зенона.

Парадоксы бесконечных множеств

Представьте отель с бесконечным числом номеров. Приезжает автобус с бесконечным числом будущих постояльцев. Но разместить их всех - не так-то просто. Это бесконечная морока, а гости бесконечно уставшие. И если справиться с задачей не удастся, то можно потерять бесконечно много денег! Что же делать?

Зависимость роста ребенка от роста родителей

Молодым родителям, конечно, хочется знать, какого роста будет их ребенок, став взрослым. Математическая статистика может предложить простую линейную зависимость для приближен ной оценки роста детей, исходя только из роста отца и матери, а также указать точность такой оценки.

Парадокс Монти Холла - наверно самый известный парадокс в теории вероятностей. Существует масса его вариаций, например, парадокс трёх узников. И существует масса толкований и объяснений этого парадокса. Но здесь, я хотел бы дать не только формальное объяснение, но показать «физическую» основу того, что происходит в парадоксе Монти Холла и ему подобных.

Классическая формулировка такова:

«Вы участник игры. Перед вами три двери. За одной из них приз. Ведущий предлагает вам попытаться угадать, где приз. Вы указываете на одну из дверей (наугад).

Формулировка парадокса Монти Холла

Ведущий знает, где на самом деле находится приз. Он, пока, не открывает ту дверь, на которую вы показали. Но открывает вам ещё одну из оставшихся дверей, за которой нет приза. Вопрос в том, сто́ит ли вам изменить свой выбор, или остаться при прежнем решении?»

Оказывается, что если вы просто измените выбор, то ваши шансы выиграть возрастут!

Парадоксальность ситуации очевидна. Кажется, что всё происходящее случайно. Нет никакой разницы, поменяете вы своё решение или нет. Но это не так.

«Физическое» объяснение природы этого парадокса

Давайте, сперва, не будем вдаваться в математические тонкости, а просто не предвзято посмотрим на ситуацию.

В этой игре вы лишь сперва делаете случайный выбор. Потом ведущий сообщает вам дополнительную информацию , которая и позволяет вам увеличить свои шансы на победу.

Каким образом ведущий сообщает вам дополнительную информацию? Очень просто. Обратите внимание, что он открывает не любую дверь.

Давайте, для простоты (хоть в этом и есть элемент лукавства), рассмотрим более вероятную ситуацию: вы показали на дверь, за которой нет приза. Тогда, за одной из оставшихся дверей приз есть . То есть, у ведущего нет выбора. Он открывает вполне определённую дверь. (На одну указали вы, за другой есть приз, остаётся только одна дверь, которую может открыть ведущий.)

Именно в этот момент осмысленного выбора, он и сообщает вам информацию, которой вы можете воспользоваться.

В данном случае, использование информации заключается в том, что вы меняете решение.

Кстати, ваш второй выбор уже тоже не случаен (вернее, не на столько случаен, как первый выбор). Ведь вы выбираете из закрытых дверей, а одна уже открыта и она не произвольная .

Собственно, уже после этих рассуждений у вас может появиться ощущение, что лучше поменять решение. Это действительно так. Давайте покажем это более формально.

Более формальное объяснение парадокса Монти Холла

На самом деле ваш первый, случайный, выбор разбивает все двери на две группы. За той дверью, которую выбрали вы приз находится с вероятностью 1/3, за двумя другими - с вероятностью 2/3. Теперь ведущий вносит изменения: он открывает одну дверь во второй группе. И теперь вся вероятность 2/3 относится только к закрытой двери из группы из двух дверей.

Понятно, что теперь вам выгодней поменять своё решение.

Хотя, конечно, у вас остаётся шанс проиграть.

Тем не менее смена выбора увеличивает ваши шансы на выигрыш.

Парадокс Монти Холла

Парадокс Монти Холла - вероятностная задача, решение которой (по мнению некоторых) противоречит здравому смыслу. Формулировка задачи:

Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трех дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями - козы.
Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где - козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза.

Парадокс Монти Холла. Самая неточная математика

После этого он спрашивает вас, не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2.
Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?

При решении задачи часто ошибочно полагают что два выбора являются независимыми и, следовательно, вероятность при изменении выбора не изменится. На самом деле это не так, в чём можно убедиться вспомнив формулу Байеса или посмотрев на результаты симуляции ниже:

Здесь: «стратегия 1» - не менять выбор, «стратегия 2» - изменить выбор. Теоретически, для случая с 3-мя дверями, распределение вероятностей - 33,(3)% и 66,(6)%. При численной симуляции должны бы получаться похожие результаты.

Ссылки

Парадокс Монти Холла – задача из раздела теории вероятности, в решении которой просматривается противоречие здравому смыслу.

История возникновения[править | править вики-текст]

В конце 1963 года в эфир вышло новое ток-шоу под названием «Let’s Make a Deal» («Давайте договоримся»). По сценарию викторины зрители из аудитории получали призы за правильные ответы, имея шанс приумножить их, делая новые ставки, но рискуя имеющимся выигрышем. Основателями шоу являлись Стефан Хатосу и Монти Холл, последний из которых стал его неизменным ведущим на многие годы.

Одним из заданий для участников стал розыгрыш Главного приза, который был расположен за одной из трех дверей. За двумя оставшимися находились поощрительные призы, в свою очередь ведущий знал порядок их расположения. Участнику необходимо было определить выигрышную дверь, поставив на кон весь свой выигрыш за шоу.

Когда угадывающий определялся с номером, ведущий открывал одну из оставшихся дверей, за которой находился поощрительный приз, и предлагал игроку поменять первоначально выбранную дверь.

Формулировки[править | править вики-текст]

Как конкретную задачу, парадокс впервые сформулировал Стив Селвин (Steve Selvin) в 1975 году, отправивший в журнал The American Statistician («Американский статистик»), и ведущему Монти Холлу, вопрос: изменятся ли шансы участника выиграть Главный приз, если после открытия двери с поощрительным он поменяет свой выбор? После этого случая появилось понятие «Парадокс Монти Холла».

В 1990 была в Parade Magazine (Журнал «Парад») опубликована самая распространенная версия парадокса с примером:

«Представьте себя на телеигре, где нужно отдать предпочтенье одной из трех дверей: за двумя из них козы, а за третьей — автомобиль. Когда Вы совершите выбор, предположив, например, что выигрышная дверь номер один, ведущий открывает одну из оставшихся двух дверей, например, номер три, за которой коза. Затем Вам дается шанс изменить выбор на другую дверь? Можно ли увеличить шансы выиграть автомобиль, если поменять свой выбор с двери номер один на дверь номер два?»

Эта формулировка является упрощенным вариантом, т.к. остается фактор влияния ведущего, который точно знает, где автомобиль и заинтересован в проигрыше участника.

Чтоб задача стала сугубо математической, необходимо исключить человеческий фактор, введя открытие двери с поощрительным призом и возможность изменить первоначальный выбор как неотъемлемые условия.

Решение[править | править вики-текст]

При сравнении шансов на первый взгляд изменение номера двери не даст никаких преимуществ, т.к. все три варианта имеют шанс на выигрыш 1/3 (ок. 33,33% на каждую из трех дверей). При этом открытие одной из дверей никак не отразится на шансах двух оставшихся, чьи шансы станут 1/2 к 1/2 (50% на каждую из двух оставшихся дверей). В основу такого суждения ложится суждение, что выбор двери игроком и выбор двери ведущим – два независимых события, не влияющих одно на другое. В действительности необходимо рассматривать всю последовательность событий как единое целое. В соответствии с теорией вероятности, у первой выбранной двери шансы с начала и до конца игры неизменно 1/3 (ок.33,33%), а у двух оставшихся в сумме 1/3+1/3 = 2/3 (ок. 66,66%). Когда открывается одна из двух оставшихся дверей, ее шансы становятся 0% (за ней спрятан поощрительный приз), и как результат шансы закрытой невыбранной двери составят 66,66%, т.е. в два раза больше, чем у выбранной первоначально.

Для облегчения понимания результатов выбора можно рассмотреть альтернативную ситуацию, в которой количество вариантов будет больше, например — тысяча. Вероятность выбрать выигрышный вариант составит 1/1000 (0,1%). При условии, что в последствии из оставшихся девятьсот девяносто девяти вариантов будут открыты девятьсот девяносто восемь неверных, становится очевидно, что вероятность одной оставшейся двери из девятьсот девяносто девяти невыбранных выше, чем у единственной, выбранной вначале.

Упоминания[править | править вики-текст]

Встретить упоминание Парадокса Монти Холла можно в «Двадцать одно» (фильма Роберта Лукетича), «Недотёпа» (романе Сергея Лукьяненко), телесериале «4исла» (телесериал), «Загадочное ночное убийство собаки» (повести Марка Хэддона), «XKCD» (комикс), «Разрушители легенд» (телешоу).

См. также[править | править вики-текст]

На изображении процесс выбора между двумя зарытыми дверьми из трех предложенных первоначально

Примеры решений задач по комбинаторике

Комбинаторика — это наука, с который каждый встречается в повседневной жизни: сколько способов выбрать 3 дежурных для уборки класса или сколько способов составить слово из данных букв.

В целом, комбинаторика позволяет вычислить, сколько различных комбинаций, согласно некоторым условиям, можно составить из заданных объектов (одинаковых или разных).

Как наука комбинаторика возникла еще в 16 веке, а теперь ее изучает каждый студент (и зачастую даже школьник). Начинают изучение с понятий перестановок, размещений, сочетаний (с повторениями или без), на эти темы вы найдете задачи и ниже. Наиболее известные правила комбинаторики — правила суммы и произведения, которые чаще всего применяются в типовых комбинаторных задачах.

Ниже вы найдете несколько примеров задач с решениями на комбинаторные понятия и правила, которые позволят разобраться с типовыми заданиями. Если есть трудности с задачами — заказывайте контрольную по комбинаторике.

Задачи по комбинаторике с решениями онлайн

Задача 1. У мамы 2 яблока и 3 груши. Каждый день в течение 5 дней подряд она выдает по одному фрукту. Сколькими способами это может быть сделано?

Решение задачи по комбинаторике 1 (pdf, 35 Кб)

Задача 2. Предприятие может предоставить работу по одной специальности 4 женщинами, по другой — 6 мужчинам, по третьей — 3 работникам независимо от пола. Сколькими способами можно заполнить вакантные места, если имеются 14 претендентов: 6 женщин и 8 мужчин?

Решение задачи по комбинаторике 2 (pdf, 39 Кб)

Задача 3. В пассажирском поезде 9 вагонов. Сколькими способами можно рассадить в поезде 4 человека, при условии, что все они должны ехать в различных вагонах?

Решение задачи по комбинаторике 3 (pdf, 33 Кб)

Задача 4. В группе 9 человек. Сколько можно образовать разных подгрупп при условии, что в подгруппу входит не менее 2 человек?

Решение задачи по комбинаторике 4 (pdf, 34 Кб)

Задача 5. Группу из 20 студентов нужно разделить на 3 бригады, причем в первую бригаду должны входить 3 человека, во вторую - 5 и в третью - 12. Сколькими способами это можно сделать.

Решение задачи по комбинаторике 5 (pdf, 37 Кб)

Задача 6. Для участия в команде тренер отбирает 5 мальчиков из 10. Сколькими способами он может сформировать команду, если 2 определенных мальчика должны войти в команду?

Задача по комбинаторике с решением 6 (pdf, 33 Кб)

Задача 7. В шахматном турнире принимали участие 15 шахматистов, причем каждый из них сыграл только одну партию с каждым из остальных. Сколько всего партий было сыграно в этом турнире?

Задача по комбинаторике с решением 7 (pdf, 37 Кб)

Задача 8. Сколько различных дробей можно составить из чисел 3, 5, 7, 11, 13, 17 так, чтобы в каждую дробь входили 2 различных числа? Сколько среди них будет правильных дробей?

Задача по комбинаторике с решением 8 (pdf, 32 Кб)

Задача 9. Сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове Гора и Институт?

Задача по комбинаторике с решением 9 (pdf, 32 Кб)

Задача 10. Каких чисел от 1 до 1 000 000 больше: тех, в записи которых встречается единица, или тех, в которых она не встречается?

Задача по комбинаторике с решением 10 (pdf, 39 Кб)

Готовые примеры

Нужны решенные задачи по комбинаторике? Найди в решебнике:

Другие решения задач по теории вероятностей

Люди привыкли считать правильным то, что представляется очевидным. Оттого они часто попадают впросак, неверно оценив ситуацию, доверившись своей интуиции и не уделив время для того, чтобы критически осмыслить свой выбор и его последствия.

Монти наглядная иллюстрация неспособности человека взвесить свои шансы на успех в условиях выбора благоприятного исхода при наличии более чем одного неблагоприятного.

Формулировка парадокса Монти Холла

Итак, что же это за зверь такой? О чем, собственно, речь? Самым известным примером парадокса Монти Холла выступает телешоу, популярное в Америке середины прошлого века под названием «Давай заключим пари!». Кстати, именно благодаря ведущему этой викторины впоследствии и получил свое имя парадокс Монти Холла.

Игра состояла в следующем: участнику показывали три двери, с виду совершенно одинаковые. Однако за одной из них игрока ждал дорогой новый автомобиль, а вот за двумя другими в нетерпении томилось по козе. Как это обычно бывает в случае телевикторин, что находилось за выбранной конкурсантом дверью, то и становилось его выигрышем.

В чем же состоит хитрость?

Но не все так просто. После того как выбор был сделан, ведущий, зная, где сокрыт главный приз, открывал одну из оставшихся двух дверей (конечно, ту самую, за которой притаилось парнокопытное), а затем спрашивал игрока, не желает ли тот изменить свое решение.

Парадокс Монти Холла, сформулированный учеными в 1990 году, заключается в том, что, вопреки интуиции, подсказывающей, что нет никакой разницы в принятии на основании вопроса ведущего решения, нужно согласиться изменить свой выбор. Если хочется заполучить отличную машину, естественно.

Как это работает?

Причин, по которым людям не захочется отказываться от своего выбора, несколько. Интуиция и простая (но неверная) логика говорят, что от этого решения ничего не зависит. Более того, далеко не каждому захочется идти на поводу у другого - это же самая настоящая манипуляция, разве не так? Нет, не так. Но если бы все было сразу интуитивно понятно, то и не стали бы называть. Нет ничего странного в том, чтобы сомневаться. Когда данную головоломку впервые опубликовали в одном из крупных журналов, тысячи читателей, в том числе и признанные математики, прислали в редакцию письма, в которых утверждали, что напечатанный в номере ответ не соответствует действительности. Если существование теории вероятностей не было новостью для человека, попавшего на шоу, то возможно, он бы смог разгадать эту задачу. И тем самым увеличить шансы на победу. На самом деле объяснение парадокса Монти Холла сводится к несложной математике.

Объяснение первое, посложнее

Вероятность того, что приз находится за той дверью, которая была избрана изначально - один из трех. Шанс же обнаружить его за одной из двух оставшихся равен двум из трех. Логично, не так ли? Теперь, после того как одна из этих дверей оказывается открытой, и за ней обнаруживается коза, во втором множестве (том, которое соответствует 2/3 шанса на успех) остается только один вариант. Значение этого варианта остается прежним, и оно равно двум из трех. Таким образом, становится очевидно, что, изменив свое решение, игрок увеличит вероятность выигрыша вдвое.

Объяснение номер два, попроще

После такого трактования решения многие все равно настаивают на том, что смысла в этом выборе нет, ведь варианта всего два и один из них точно выигрышный, а другой однозначно ведет к поражению.

Но у теории вероятностей на данную проблему свой взгляд. И это становится еще яснее, если представить себе, что дверей изначально не три, а, скажем, сто. В таком случае возможность угадать, где находится приз, с первого раза составляет всего лишь один к девяносто девяти. Теперь участник делает свой выбор, а Монти исключает девяносто восемь дверей с козами, оставляя лишь две, одну из которых выбрал игрок. Таким образом, вариант, выбранный изначально, сохраняет шансы на выигрыш равные 1/100, а вторая предложенная возможность - 99/100. Выбор должен быть очевиден.

Существуют ли опровержения?

Ответ прост: нет. Ни одного достаточно обоснованного опровержения парадокса Монти Холла не существует. Все "разоблачения", которые можно обнаружить в Сети, сводятся к непониманию принципов математики и логики.

Для каждого, кто хорошо знаком с математическими принципами, неслучайность вероятностей абсолютно очевидна. Не соглашаться с ними может только тот, кто не понимает, как устроена логика. Если все вышесказанное до сих пор звучит неубедительно - обоснование парадокса было проверено и подтверждено на известной передаче «Разрушители легенд», а кому еще поверить, как не им?

Возможность убедиться наглядно

Хорошо, пусть все это звучит убедительно. Но ведь это только теория, можно ли как-то посмотреть на работу этого принципа в действии, а не только на словах? Во-первых, живых людей никто не отменял. Найдите напарника, который возьмет на себя роль ведущего и поможет разыграть вышеописанный алгоритм в реальности. Для удобства можно взять коробки, ящики или вовсе рисовать на бумаге. Повторив процесс несколько десятков раз, сравните число выигрышей в случае смены первоначального выбора с тем, сколько побед принесло упрямство, и все станет ясно. А можно поступить еще проще и воспользоваться Интернетом. В Сети существует немало симуляторов парадокса Монти Холла, в них можно проверить все самому и без лишнего реквизита.

Какой толк от этих знаний?

Может показаться, что это просто очередная головоломка, призванная напрячь мозги, и служит она лишь развлекательным целям. Однако свое практическое применение парадокс Монти Холла находит в первую очередь в азартных играх и различных тотализаторах. Тем, кто имеет большой опыт, прекрасно известны распространенные стратегии увеличения шансов на обнаружение валуйной ставки (от английского слова value, что буквально означает "ценность" - такой прогноз, который сбудется с большей вероятностью, чем это было оценено букмекерами). И одна из таких стратегий напрямую задействует парадокс Монти Холла.

Пример в работе с тотализатором

Спортивный пример будет мало отличаться от классического. Допустим, есть три команды из первого дивизиона. В три ближайших дня каждая из этих команд должна сыграть по одному решающему матчу. Та из них, что по итогам матча наберет больше очков, чем две другие, останется в первом дивизионе, остальные же будут вынуждены его покинуть. Предложение букмекера простое: нужно поставить на сохранение позиций одного из этих футбольных клубов, при этом коэффициенты ставок равны.

Для удобства принимаются такие условия, при которых соперники участвующих в выборе клубов примерно равны по силе. Таким образом, однозначно определить фаворита до начала игр не получится.

Тут нужно вспомнить историю про коз и автомобиль. Каждая из команд имеет шанс остаться на своем месте в одном случае из трех. Выбирается любая из них, на нее делается ставка. Пусть это будет "Балтика". По результатам первого дня один из клубов проигрывает, а двоим сыграть еще только предстоит. Это та самая "Балтика" и, скажем, "Шинник".

Большинство сохранит свою первоначальную ставку - в первом дивизионе останется "Балтика". Но следует помнить, что ее шансы остались прежними, а вот шансы "Шинника" удвоились. Поэтому логично сделать еще одну ставку, более крупную, на победу "Шинника".

Наступает следующий день, и матч с участием "Балтики" проходит вничью. Следующим играет "Шинник", и его игра заканчивается победой со счетом 3:0. Выходит, что именно он останется в первом дивизионе. Поэтому, хоть первая ставка на "Балтику" и теряется, но эту потерю перекрывает прибыль на новой ставке на "Шинник".

Можно предположить, и большинство так и поступит, что выигрыш "Шинника" - всего лишь случайность. На самом же деле принимать вероятность за случайность - крупнейшая ошибка для человека, участвующего в спортивных тотализаторах. Ведь профессионал всегда скажет, что любая вероятность выражается прежде всего в четких математических закономерностях. Если знать основы этого подхода и все связанные с ним нюансы, то риски потери денег сведутся к минимуму.

Польза в прогнозировании экономических процессов

Итак, в ставках на спорт парадокс Монти Холла знать просто необходимо. Но одними тотализаторами область его применения не ограничивается. Теория вероятностей всегда тесно связана со статистикой, оттого в политике и экономике понимание принципов парадокса не менее важно.

В условиях экономической неопределенности, с которой часто имеют дело аналитики, нужно помнить следующий проистекающий из решения задачи вывод: не обязательно точно знать единственно верное решение. Шансы на удачный прогноз всегда повышаются, если знать, чего точно не произойдет. Собственно, это и есть самый полезный вывод из парадокса Монти Холла.

Когда мир стоит на пороге экономических потрясений, политики всегда стараются угадать нужный вариант действий, чтобы максимально снизить последствия кризиса. Возвращаясь к предыдущим примерам, в сфере экономики задачу можно описать так: перед руководителями стран есть три двери. Одна ведет к гиперинфляции, вторая к дефляции, а третья - к заветному умеренному росту экономики. Но как нащупать верный ответ?

Политики утверждают, что те или иные их действия приведут к увеличению рабочих мест и росту экономики. Но ведущие экономисты, опытные люди, среди которых даже лауреаты Нобелевской премии, наглядно демонстрируют им, что один из этих вариантов точно не приведет к желаемому результату. Станут ли после этого политики менять свой выбор? Крайне маловероятно, так как в этом отношении они мало чем отличаются от тех же участников телешоу. Поэтому вероятность ошибки только увеличится при увеличении числа советчиков.

Исчерпывается ли этим информация по теме?

На самом деле до сих пор здесь рассматривался только "классический" вариант парадокса, то есть та ситуация, при которой ведущий точно знает, за какой из дверей находится приз, и открывает только дверь с козой. Но существуют и другие механизмы поведения ведущего, в зависимости от которых принцип работы алгоритма и результат его выполнения будут отличаться.

Влияние поведения ведущего на парадокс

Итак, что же может сделать ведущий, чтобы изменить ход событий? Допустим разные варианты.

Так называемый "Дьявольский Монти" - ситуация, в которой ведущий всегда предложит игроку поменять свой выбор при условии, что он был изначально верным. В этом случае изменение решения всегда приведет к поражению.

Напротив, "Ангельским Монти" называется похожий принцип поведения, но в том случае, если выбор игрока был изначально неверным. Логично, что в такой ситуации изменение решения приведет к победе.

Если же ведущий открывает двери наугад, не имея представления о том, что скрыто за каждой из них, то шансы выиграть всегда будут равны пятидесяти процентам. При этом за открытой ведущим дверью может оказаться и автомобиль.

Ведущий может 100 % открыть дверь с козой, если игрок выбрал автомобиль, и с 50 % вероятностью в случае, если игрок выбрал козу. При таком алгоритме действий, если игрок изменит выбор, то всегда будет в выигрыше в одном случае из двух.

Когда игра повторяется вновь и вновь, а вероятность того, что выигрышной окажется определенная дверь, всегда произвольна (так же как и то, какую дверь откроет ведущий, при этом ему известно, где скрывается автомобиль, и он всегда открывает дверь с козой и предлагает изменить выбор) - шанс победить всегда будет равен одному из трех. Это называется равновесием Нэша.

Равно как и в таком же случае, но при условии, что ведущий не обязан открывать одну из дверей вовсе — вероятность победы будет все так же равна 1/3.

В то время как классическая схема проверяется довольно легко, эксперименты с другими возможными алгоритмами поведения ведущего произвести на практике намного сложнее. Но при должной дотошности экспериментатора возможно и такое.

И все же, к чему все это?

Понимание механизмов действий любых логических парадоксов очень полезно для человека, его мозга и осознания того, как на самом деле может быть устроен мир, насколько его устройство может отличаться от привычного представления индивида о нем.

Чем больше человек знает о том, как работает то, что окружает его в повседневной жизни и о чем он вовсе не привык задумываться, тем лучше работает его сознание, и тем эффективнее он может быть в своих поступках и устремлениях.