Come determinare le frazioni dalle percentuali. Interesse

Il numero anonimo A è inferiore del 56% rispetto al numero B, ovvero 2,2 volte inferiore al numero C. Quale percentuale del numero C è relativa al numero A? NMitra A = B - 0,56 ⋅ B = B ⋅ (1 - 0,56) = 0,44 ⋅ B B = A: 0,44 C = 2,2 ⋅ B = 2,2 ⋅ A: 0,44 = 5 ⋅ A C è 5 volte più A C è 400% in più A Anonimo Aiuto. Nel 2001 i ricavi sono aumentati del 2% rispetto al 2000, anche se si prevedeva di raddoppiarli. In quale percentuale il piano non è stato rispettato? NMitra A - 2000 B - 2001 B = A + 0,02A = A ⋅ (1 + 0,02) = 1,02 ⋅ A B = 2 ⋅ A (piano) 2 - 100% 1,02 - x% x = 1,02 ⋅ 100: 2 = 51% (piano soddisfatto) 100 - 51 = 49% (piano non soddisfatto) Anonimo Aiuta a rispondere alla domanda. L'anguria contiene il 99% di umidità, ma dopo l'essiccazione (messa al sole per diversi giorni), il suo contenuto di umidità è del 98%. Di quale % cambierà il PESO di un'anguria dopo l'essiccazione? Se lo calcoli matematicamente, risulta che la mia anguria si è completamente seccata. Ad esempio: con un peso di 20 kg, l'acqua costituisce il 99% della massa, ovvero il peso secco è 1% = 0,2 kg. Qui l'anguria perde liquido ed è già al 98%, quindi il peso secco è del 2%. Ma il peso a secco non può cambiare a causa della perdita d'acqua, quindi rimane pari a 0,2 kg. 2%=0,2 => 100%=10 kg. Anonimo Per favore dimmi come calcolare la percentuale stessa nell'intervallo di 2 valori? Diciamo, quale percentuale ha il numero 37 nell'intervallo di valori 22-63? Ho bisogno di una formula per un'applicazione; prima risolvevo questi problemi in un paio di minuti, ma ora il mio cervello si è ristretto). Dare una mano.

Mantenere la tua privacy è importante per noi. Per questo motivo, abbiamo sviluppato un'Informativa sulla privacy che descrive come utilizziamo e archiviamo le tue informazioni. Si prega di rivedere le nostre pratiche sulla privacy e di farci sapere se avete domande.

Raccolta e utilizzo delle informazioni personali

Le informazioni personali si riferiscono ai dati che possono essere utilizzati per identificare o contattare una persona specifica.

Ti potrebbe essere chiesto di fornire le tue informazioni personali in qualsiasi momento quando ci contatti.

Di seguito sono riportati alcuni esempi dei tipi di informazioni personali che potremmo raccogliere e di come potremmo utilizzare tali informazioni.

Quali informazioni personali raccogliamo:

• Quando invii una richiesta sul sito, potremmo raccogliere varie informazioni, tra cui nome, numero di telefono, indirizzo email, ecc.

Come utilizziamo le tue informazioni personali:

• Le informazioni personali che raccogliamo ci consentono di contattarti con offerte uniche, promozioni e altri eventi ed eventi imminenti.
• Di tanto in tanto, potremmo utilizzare le tue informazioni personali per inviare avvisi e comunicazioni importanti.
• Potremmo anche utilizzare le informazioni personali per scopi interni, come condurre audit, analisi dei dati e varie ricerche al fine di migliorare i servizi che forniamo e fornirti consigli sui nostri servizi.
• Se partecipi a un'estrazione a premi, a un concorso o a una promozione simile, potremmo utilizzare le informazioni fornite per amministrare tali programmi.

Divulgazione di informazioni a terzi

Non divulghiamo le informazioni ricevute da te a terzi.

Eccezioni:

• Se necessario - in conformità alla legge, alla procedura giudiziaria, in procedimenti legali e/o sulla base di richieste pubbliche o richieste da parte delle autorità governative nel territorio della Federazione Russa - di divulgare i tuoi dati personali. Potremmo anche divulgare informazioni su di te se stabiliamo che tale divulgazione è necessaria o appropriata per motivi di sicurezza, applicazione della legge o altri scopi di importanza pubblica.
• In caso di riorganizzazione, fusione o vendita, potremmo trasferire le informazioni personali che raccogliamo alla terza parte successore applicabile.

Protezione delle informazioni personali

Prendiamo precauzioni, comprese quelle amministrative, tecniche e fisiche, per proteggere le tue informazioni personali da perdita, furto e uso improprio, nonché da accesso non autorizzato, divulgazione, alterazione e distruzione.

Rispettare la tua privacy a livello aziendale

Per garantire che le tue informazioni personali siano sicure, comunichiamo gli standard di privacy e sicurezza ai nostri dipendenti e applichiamo rigorosamente le pratiche sulla privacy.

Oggi nel mondo moderno è impossibile fare a meno dell'interesse. Anche a scuola, a partire dalla 5° elementare, i bambini imparano questo concetto e risolvono problemi con questa quantità. Gli interessi si riscontrano in ogni ambito delle strutture moderne. Prendiamo ad esempio le banche: l'importo del pagamento in eccesso del prestito dipende dall'importo specificato nel contratto; anche l’entità del profitto ne risente, pertanto è di vitale importanza sapere qual è la percentuale.

Concetto di interesse

Secondo una leggenda, la percentuale è apparsa a causa di uno stupido errore di battitura. Il tipografo avrebbe dovuto impostare il numero 100, ma si è confuso e l'ha impostato così: 010. Ciò ha fatto sì che il primo zero aumentasse leggermente e il secondo diminuisse. Quello si è trasformato in una barra rovesciata. Tali manipolazioni hanno portato alla comparsa del segno percentuale. Naturalmente ci sono altre leggende sull'origine di questa quantità.

Gli indù conoscevano l'interesse già nel V secolo. In Europa, con la quale il nostro concetto è strettamente interconnesso, sono apparsi un millennio dopo. Per la prima volta nel Vecchio Mondo, l'idea di cosa sia l'interesse è stata introdotta da uno scienziato belga, Simon Stevin. Nel 1584, una tabella delle quantità fu pubblicata per la prima volta dallo stesso scienziato.

La parola "percentuale" ha origine dal latino come pro centum. Se traduci la frase, ottieni “da cento”. Quindi, per percentuale intendiamo un centesimo di qualsiasi valore o numero. Questo valore è indicato dal segno %.

Grazie alle percentuali è diventato possibile confrontare parti di un tutto senza troppe difficoltà. La comparsa delle azioni ha notevolmente semplificato i calcoli, motivo per cui sono diventate così comuni.

Conversione delle frazioni in percentuali

Per convertire una frazione decimale in percentuale, potrebbe essere necessaria la cosiddetta formula percentuale: la frazione viene moltiplicata per 100 e % viene aggiunto al risultato.

Se devi convertire una frazione comune in percentuale, devi prima renderla un decimale, quindi utilizzare la formula sopra.

Conversione di percentuali in frazioni

Pertanto, la formula percentuale è abbastanza arbitraria. Ma devi sapere come convertire questo valore in un'espressione frazionaria. Per convertire le frazioni (percentuali) in decimali, è necessario rimuovere il segno % e dividere l'indicatore per 100.

Formula per calcolare la percentuale del numero

1) 40 x 30 = 1200.

2) 1200: 100 = 12 (studenti).

Risposta: 12 studenti hanno scritto il test per “5”.

Puoi utilizzare una tabella già pronta che mostra alcune frazioni e le percentuali ad esse corrispondenti.

Risulta che la formula per la percentuale di un numero è simile a questa: C = (A∙B) / 100, dove A è il numero originale (in questo particolare esempio, pari a 40); B - numero di percentuali (in questo problema B = 30%); C è il risultato desiderato.

Formula per calcolare un numero da una percentuale

Il seguente problema dimostrerà cos'è una percentuale e come trovare un numero utilizzando una percentuale.

La fabbrica di abbigliamento ha prodotto 1.200 abiti, di cui il 32% erano abiti di un nuovo stile. Quanti abiti del nuovo stile ha prodotto la fabbrica di abbigliamento?

1. 1200: 100 = 12 (abiti) - 1% di tutti i prodotti rilasciati.

2. 12 x 32 = 384 (abiti).

Risposta: la fabbrica ha prodotto 384 abiti del nuovo stile.

Se devi trovare un numero in base alla sua percentuale, puoi utilizzare la seguente formula: C = (A∙100) / B, dove A è il numero totale di elementi (in questo caso A = 1200); B - numero di percentuale (in un compito specifico B = 32%); C è il valore desiderato.

Aumenta o diminuisce un numero di una percentuale specificata

Gli studenti devono imparare cosa sono le percentuali, come contarle e risolvere una serie di problemi. Per fare ciò, devi capire come un numero aumenta o diminuisce del N%.

Spesso vengono assegnati compiti e nella vita è necessario scoprire a quanto sarà uguale un numero aumentato di una determinata percentuale. Ad esempio, dato il numero X. Devi scoprire a quanto sarà uguale il valore di X se viene aumentato, diciamo, del 40%. Per prima cosa devi convertire il 40% in una frazione (40/100). Quindi, il risultato dell'aumento del numero X sarà: X + 40% ∙ X = (1+40 / 100) ∙ X = 1,4 ∙ X. Se sostituisci un numero qualsiasi invece di X, prendi, ad esempio, 100, quindi l'intera espressione sarà uguale: 1.4 ∙ X = 1.4 ∙ 100 = 140.

Approssimativamente lo stesso principio viene utilizzato quando si riduce un numero di una determinata percentuale. È necessario eseguire i calcoli: X - X ∙ 40% = X ∙ (1-40 / 100) = 0,6 ∙ X. Se il valore è 100, allora 0,6 ∙ X = 0,6. 100 = 60.

Ci sono attività in cui devi scoprire in quale percentuale è aumentato un numero.

Ad esempio, dato il compito: L'autista percorreva un tratto della pista ad una velocità di 80 km/h. In un'altra tratta la velocità del treno è aumentata fino a 100 km/h. Di quale percentuale è aumentata la velocità del treno?

Diciamo 80 km/h - 100%. Poi facciamo i calcoli: (100% ∙ 100 km/h) / 80 km/h = 1000: 8 = 125%. Risulta che 100 km/h sono il 125%. Per scoprire quanto è aumentata la velocità, è necessario calcolare: 125% - 100% = 25%.

Risposta: la velocità del treno nella seconda tratta è aumentata del 25%.

Proporzione

Ci sono spesso casi in cui è necessario risolvere problemi riguardanti le percentuali utilizzando le proporzioni. In effetti, questo metodo per trovare il risultato semplifica notevolmente il compito di studenti, insegnanti e altri.

Allora, qual è la proporzione? Con questo termine si fa riferimento all'uguaglianza di due rapporti, che può essere espressa come segue: A/B = C/D.

Nei libri di testo di matematica esiste una regola del genere: il prodotto dei termini estremi è uguale al prodotto dei termini medi. Ciò è espresso dalla seguente formula: A x D = B x C.

Grazie a questa formulazione è possibile calcolare qualsiasi numero conoscendo gli altri tre termini della proporzione. Ad esempio, A è un numero sconosciuto. Per trovarlo è necessario

Quando risolvi i problemi utilizzando il metodo delle proporzioni, devi capire da quale numero prendere le percentuali. Ci sono casi in cui le azioni devono essere prese da valori diversi. Confrontare:

1. Dopo la fine dei saldi nel negozio, il costo della maglietta è aumentato del 25% e ammontava a 200 rubli. Qual era il prezzo durante la vendita?

In questo caso, il valore richiesto è di 200 rubli, che corrisponde al 125% del prezzo originale (di vendita) della maglietta. Quindi, per scoprirne il costo durante la vendita, è necessario (200 x 100): 125. Il risultato è 160 rubli.

2. Sul pianeta Vicencia ci sono 200.000 abitanti: persone e rappresentanti della razza umanoide Naavi. I Na'avi costituiscono l'80% dell'intera popolazione di Vicencia. Delle persone, il 40% è impegnato nella manutenzione della miniera, il resto nell'estrazione del tettanio. Quante persone estraggono il tetanio?

Prima di tutto bisogna trovare il numero di persone e il numero di Naavi in ​​forma numerica. Quindi, l'80% di 200.000 equivarrebbe a 160.000. Questo è il numero di rappresentanti della razza umanoide che vivono a Vicencia. Il numero delle persone ammonta quindi a 40.000. Di queste, il 40%, cioè 16.000, lavorano nella miniera. Ciò significa che 24.000 persone sono impegnate nell’estrazione del tettanio.

Modifica ripetuta di un numero di una certa percentuale

Quando è già chiaro quale sia la percentuale, è necessario studiare il concetto di cambiamento assoluto e relativo. Una conversione assoluta significa aumentare un numero di un numero specifico. Quindi, X è aumentato di 100. Non importa cosa sostituiamo a X, questo numero aumenterà comunque di 100: 15 + 100; 99,9+100; a + 100, ecc.

Una variazione relativa è intesa come un aumento di un valore di un certo numero di punti percentuali. Diciamo che X è aumentato del 20%. Ciò significa che X sarà uguale a: X+X∙20%. Il cambiamento relativo è implicito ogni volta che parliamo di un aumento della metà o di un terzo, di una diminuzione di un quarto, di un aumento del 15%, ecc.

C'è un altro punto importante: se il valore di X viene aumentato del 20%, e poi di un altro 20%, l'aumento totale risultante sarà del 44%, ma non del 40%. Ciò può essere visto dai seguenti calcoli:

1. X + 20% ∙ X = 1,2 ∙ X

2. 1,2 ∙ X + 20% ∙ 1,2 ∙ X = 1,2 ∙ X + 0,24 ∙ X = 1,44 ∙ X

Ciò dimostra che X è aumentato del 44%.

Esempi di problemi che coinvolgono le percentuali

1. Quale percentuale del numero 36 è il numero 9?

Secondo la formula per trovare la percentuale di un numero, devi moltiplicare 9 per 100 e dividere per 36.

Risposta: Il numero 9 è il 25% di 36.

2. Calcola il numero C, che è il 10% di 40.

Secondo la formula per trovare un numero in base alla sua percentuale, devi moltiplicare 40 per 10 e dividere il risultato per 100.

Risposta: Il numero 4 è il 10% di 40.

3. Il primo partner ha investito nell'attività 4.500 rubli, il secondo - 3.500 rubli, il terzo - 2.000 rubli. Hanno realizzato un profitto di 2400 rubli. Hanno diviso equamente i profitti. Quanto in rubli ha perso il primo partner rispetto a quanto avrebbe ricevuto se avesse diviso il reddito in base alla percentuale dei fondi investiti?

Quindi insieme hanno investito 10.000 rubli. Il reddito per ciascuno era pari a 800 rubli. Per scoprire quanto avrebbe dovuto ricevere il primo partner e quanto, di conseguenza, ha perso, è necessario scoprire la percentuale dei fondi investiti. Quindi devi scoprire quanto profitto realizza questo contributo in rubli. E l'ultima cosa è sottrarre 800 rubli dal risultato ottenuto.

Risposta: il primo partner ha perso 280 rubli nella divisione degli utili.

Un po' di economia

Oggi una domanda abbastanza popolare è richiedere un prestito per un certo periodo. Ma come scegliere un prestito redditizio per non pagare più del dovuto? Per prima cosa devi considerare il tasso di interesse. È auspicabile che questa cifra sia la più bassa possibile. Dovrebbe quindi essere applicato contro il prestito.

Di norma, l'importo del pagamento in eccesso dipende dall'importo del debito, dal tasso di interesse e dal metodo di rimborso. Esistono delle rendite e nel primo caso il prestito viene rimborsato in rate costanti ogni mese. Immediatamente l’importo che copre il prestito principale aumenta e il costo degli interessi diminuisce gradualmente. Nel secondo caso, il mutuatario paga importi costanti per ripagare il prestito, a cui vengono aggiunti gli interessi sul saldo del debito principale. L'importo totale del pagamento diminuirà mensilmente.

Ora devi considerare entrambi i metodi Quindi, con l'opzione di rendita, l'importo del pagamento in eccesso sarà maggiore e con l'opzione differenziale, l'importo dei primi pagamenti. Naturalmente le condizioni del prestito sono le stesse per entrambi i casi.

Conclusione

Quindi, percentuali. Come contarli? Abbastanza semplice. Tuttavia, a volte possono causare difficoltà. Questo argomento inizia a essere studiato a scuola, ma raggiunge tutti nel campo dei prestiti, dei depositi, delle tasse, ecc. Pertanto, è consigliabile approfondire l'essenza di questa questione. Se ancora non riesci a fare i calcoli, ci sono molti calcolatori online che ti aiuteranno a far fronte al compito.

La percentuale è uno degli strumenti interessanti e spesso utilizzati nella pratica. Le percentuali sono utilizzate parzialmente o completamente in qualsiasi scienza, in qualsiasi lavoro e persino nella comunicazione quotidiana. Una persona esperta di percentuali crea l'impressione di essere intelligente e istruita. In questa lezione impareremo cos'è una percentuale e quali azioni puoi eseguire con essa.

Cos'è la percentuale?

Le frazioni sono più comuni nella vita di tutti i giorni. Hanno anche i loro nomi: rispettivamente metà, terzo e quarto.

Ma c’è anche un’altra frazione che si verifica frequentemente. Questa è una frazione (un centesimo). Questa frazione si chiama per cento. Cosa significa la frazione centesimale? Questa frazione significa che qualcosa viene diviso in cento parti e da lì viene prelevata una parte. Quindi una percentuale è un centesimo di qualcosa.

Una percentuale è un centesimo di qualcosa

Ad esempio, un metro equivale a 1 cm. Un metro è diviso in cento parti e viene presa una parte (ricorda che 1 metro è 100 cm). E una parte di queste cento parti è 1 cm. Ciò significa che l'1% di un metro è 1 cm.

Un metro è già 2 centimetri. Questa volta un metro è stato diviso in cento parti e non in una, ma da lì sono state prese due parti. E due parti su cento sono due centimetri. Quindi il 2% di un metro è 2 centimetri.

Un altro esempio: un rublo equivale a un centesimo. Il rublo è stato diviso in cento parti e da lì è stata prelevata una parte. E una parte di queste cento parti è un centesimo. Ciò significa che l'1% di un rublo è un kopeck.

Le percentuali erano così comuni che le persone sostituivano la frazione con un'icona speciale simile a questa:

Questa voce dice "uno per cento". Sostituisce una frazione. Sostituisce anche la frazione decimale 0,01 perché se convertiamo una frazione regolare in frazione decimale, otteniamo 0,01. Pertanto tra queste tre espressioni possiamo mettere un segno di uguale:

1% = = 0,01

Il due per cento in forma frazionaria verrà scritto come , in forma decimale come 0,02 e, utilizzando un'icona speciale, il due per cento verrà scritto come 2%.

2% = = 0,02

Come trovare la percentuale?

Il principio per trovare una percentuale è lo stesso del normale trovare una frazione da un numero. Per trovare la percentuale di qualcosa, devi dividerla in 100 parti e moltiplicare il numero risultante per la percentuale desiderata.

Ad esempio, trova il 2% di 10 cm.

Cosa significa la voce 2%? La voce 2% sostituisce la voce . Se traduciamo questo compito in un linguaggio più comprensibile, sarà simile a questo:

Trova da 10 cm

E sappiamo già come risolvere tali compiti. Questo è il modo usuale per trovare una frazione da un numero. Per trovare la frazione di un numero, devi dividere questo numero per il denominatore della frazione e moltiplicare il risultato risultante per il numeratore della frazione.

Quindi dividi il numero 10 per il denominatore della frazione

Abbiamo ottenuto 0,1. Ora moltiplichiamo 0,1 per il numeratore della frazione

0,1 × 2 = 0,2

Abbiamo ricevuto una risposta di 0,2. Ciò significa che il 2% di 10 cm è 0,2 cm E se , otteniamo 2 millimetri:

0,2 cm = 2 mm

Ciò significa che il 2% di 10 cm è 2 mm.

Esempio 2. Trova il 50% di 300 rubli.

Per trovare il 50% di 300 rubli, devi dividere questi 300 rubli per 100 e moltiplicare il risultato risultante per 50.

Quindi dividi 300 rubli per 100

300: 100 = 3

Ora moltiplica il risultato per 50

3 × 50 = 150 sfregamenti.

Ciò significa che il 50% di 300 rubli corrisponde a 150 rubli.

Se all'inizio è difficile abituarsi alla notazione con il segno %, puoi sostituire questa notazione con una normale notazione frazionaria.

Ad esempio, lo stesso 50% può essere sostituito con la voce . Quindi il compito sarà simile a questo: trova da 300 rubli, ma risolvere tali problemi è ancora più facile per noi

300: 100 = 3

3×50 = 150

In linea di principio, non c'è nulla di complicato qui. Se sorgono difficoltà, ti consigliamo di fermarti e riesaminare e.

Esempio 3. La fabbrica di abbigliamento ha prodotto 1.200 abiti. Di questi, il 32% sono abiti di un nuovo stile. Quanti nuovi abiti di stile ha prodotto la fabbrica?

Qui devi trovare il 32% di 1200. Il numero trovato sarà la risposta al problema. Usiamo la regola per trovare la percentuale. Dividiamo 1200 per 100 e moltiplichiamo il risultato risultante per la percentuale desiderata, ad es. alle 32

1200: 100 = 12

12×32 = 384

Risposta: La fabbrica ha prodotto 384 abiti di un nuovo stile.

Secondo modo per trovare la percentuale

Il secondo metodo per trovare la percentuale è molto più semplice e conveniente. Sta nel fatto che il numero da cui si cerca la percentuale verrà immediatamente moltiplicato per la percentuale desiderata, espressa come frazione decimale.

Ad esempio, risolviamo il problema precedente utilizzando questo metodo. Trova il 50% di 300 rubli.

La voce 50% sostituisce la voce , e se le convertiamo in una frazione decimale, otteniamo 0,5

Adesso, per trovare il 50% di 300, basterà moltiplicare il numero 300 per la frazione decimale 0,5

300 × 0,5 = 150

A proposito, il meccanismo per trovare la percentuale sui calcolatori funziona secondo lo stesso principio. Per trovare una percentuale utilizzando una calcolatrice, è necessario inserire nella calcolatrice il numero da cui si cerca la percentuale, quindi premere il tasto di moltiplicazione e inserire la percentuale desiderata. Quindi premere il tasto percentuale %

Trovare un numero in base alla sua percentuale

Conoscendo la percentuale di un numero, puoi scoprire l'intero numero. Ad esempio, un'impresa ci ha pagato 60.000 rubli per il lavoro, il che equivale al 2% del profitto totale ricevuto dall'impresa. Conoscendo la nostra quota e la sua percentuale, possiamo scoprire il profitto totale.

Per prima cosa devi scoprire da quanti rubli costituisce l'1%. Come farlo? Prova ad indovinare studiando attentamente la seguente figura:

Se il due per cento del profitto totale è di 60 mila rubli, è facile intuire che l'uno per cento è di 30 mila rubli. E per ottenere questi 30mila rubli, devi dividere 60mila per 2

60 000: 2 = 30 000

Abbiamo trovato l'1% del profitto totale, vale a dire . Se una parte è 30mila, per determinare cento parti è necessario moltiplicare 30mila per 100

30.000 × 100 = 3.000.000

Abbiamo trovato il profitto totale. Sono tre milioni.

Proviamo a formulare una regola per trovare un numero in base alla sua percentuale.

Per trovare un numero in base alla sua percentuale, devi dividere il numero noto per la percentuale data e moltiplicare il risultato risultante per 100.

Esempio 2. Il numero 35 è il 7% di un numero sconosciuto. Trova questo numero sconosciuto.

Leggiamo la prima parte della norma:

Per trovare un numero in base alla sua percentuale, devi dividere il numero conosciuto per la percentuale data.

Il nostro numero noto è 35 e la percentuale data è 7. Dividi 35 per 7

35: 7 = 5

Leggi la seconda parte della regola:

e moltiplicare il risultato per 100

Il nostro risultato è il numero 5. Moltiplica 5 per 100

5×100 = 500

500 è un numero sconosciuto che doveva essere trovato. Puoi fare un controllo. Per fare questo troviamo il 7% di 500. Se abbiamo fatto tutto correttamente dovremmo ottenere 35

500: 100 = 5

5×7 = 35

Ne abbiamo ottenuti 35. Quindi il problema è stato risolto correttamente.

Il principio per trovare un numero tramite la sua percentuale è lo stesso che per trovare un numero intero tramite la sua frazione. Se all'inizio le percentuali creano confusione e confusione, la voce percentuale può essere sostituita con una voce frazionaria.

Ad esempio, il problema precedente può essere formulato come segue: il numero 35 proviene da un numero sconosciuto. Trova questo numero sconosciuto. Sappiamo già come risolvere questi problemi. Questo significa trovare un numero usando una frazione. Per trovare un numero utilizzando una frazione, dividiamo questo numero per il numeratore della frazione e moltiplichiamo il risultato risultante per il denominatore della frazione. Nel nostro esempio, il numero 35 deve essere diviso per 7 e il risultato risultante moltiplicato per 100

35: 7 = 5

5×100 = 500

In futuro risolveremo problemi riguardanti le percentuali, alcuni dei quali saranno difficili. Per non complicare inizialmente l'apprendimento, è sufficiente riuscire a trovare la percentuale di un numero e il numero in percentuale.

Compiti per una soluzione indipendente

Ti è piaciuta la lezione?
Unisciti al nostro nuovo gruppo VKontakte e inizia a ricevere notifiche sulle nuove lezioni

1% = 0,01.

Trovare le percentuali di un numero.
Per trovare la percentuale di un numero, puoi esprimere la percentuale come frazione decimale e moltiplicare il numero per la frazione decimale risultante.

Trovare un numero in base alla sua percentuale.
Per trovare un numero in base alla sua percentuale, puoi rappresentare la percentuale come frazione decimale e dividere il numero dato per la frazione decimale risultante.

Per trovare la percentuale di un numero rispetto a un altro, puoi dividere un numero per un altro e moltiplicare il prodotto risultante per 100.

Come risolvere i problemi che coinvolgono le percentuali. Esempi.

Trovare la percentuale di un numero è correlato a trovare la frazione di un numero. La percentuale è un modo speciale di scrivere una frazione comune, quindi dovresti iniziare a rivelare il significato del concetto di percentuale comprendendo il concetto di frazione comune.

Prendiamo ad esempio alcune frazioni ordinarie. Qual è il significato di ciascuna di queste voci?
- Questi sono esempi di frazioni ordinarie proprie. Il denominatore di ciascuno di essi mostra in quante parti uguali deve essere diviso un determinato oggetto reale o astratto, il numeratore mostra quante di queste parti devono essere prese. Prendiamo come esempio una frazione propria. Per esempio. Il significato di questa espressione può essere rivelato come segue. Un certo oggetto reale è stato diviso in 3 parti uguali e da queste sono state prelevate 2 parti.

Come oggetto reale, puoi prendere, ad esempio, un rettangolo.

Questa espressione è il quoziente di a e b, dove b non è uguale a 0.

Questo è il rapporto tra i numeri a e b, dove b non è uguale a 0.

Questa è una frazione ordinaria. a è il numeratore, b è il denominatore (b non è uguale a 0).

Esempio 1. La capacità della botte da 200 litri era piena d'acqua. Qual è il senso di questa proposta?
- questa frazione significa che un determinato oggetto è stato diviso in 5 parti uguali e da esse sono state prelevate 2 parti. Oggetto di questo problema è il volume di una botte pari a 200 l, quindi,
200:5 = 40,
402 = 80.
In una botte furono versati 80 litri di acqua.
L'esempio sopra è un tipico esempio di come trovare una frazione di un numero.

Per trovare una frazione di un numero, devi moltiplicare il numero per quella frazione.

Ora possiamo passare alle percentuali.

Il concetto di percentuale è definito come segue: 1% di un numero è una centesima parte di un numero, cioè 1% = 0,01.

Poi il significato della frase a% del numero b può essere spiegato in questo modo. Un certo oggetto (un valore il cui valore è uguale a B unità) divise in 100 parti uguali e prese da esse UN parti.

Esempio 2. Masha aveva 400 rubli. Ha speso il 24% di questo importo. Qual è il significato di questa affermazione?
Poiché 24% = 0,24 e 0,24 significa che un certo oggetto è stato diviso in 100 parti uguali e da esse sono state prese 24 parti. In questo caso l'oggetto è una somma di denaro pari a 400 rubli, quindi,
400: 100 =4,
424 = 96.
Masha ha speso 96 rubli.
L'esempio sopra è un tipico esempio di ricerca delle percentuali di un numero.

Esempio 3. Ho bisogno di trovare R% dal numero B .
Sia x il numero che dobbiamo trovare.
P% = 0,01P,
x = b 0,01P

Per trovare la percentuale di un numero, devi rappresentare la percentuale come frazione decimale e moltiplicare questo numero per questa frazione decimale.

Un altro approccio a questo problema. Puoi usare il concetto e le proprietà della proporzione. Se ricordiamo che la proporzione è l'uguaglianza di due rapporti e il rapporto tra due numeri è una frazione ordinaria, allora questo metodo è anche associato al concetto di frazione ordinaria.

b-100%,
x - р%,
Abbiamo la proporzione:
b: 100 = x: p, (b sta a 100 come x sta a p) da cui,

Esempio 4. Lasciamo che ci siano i numeri UN E B , E UN >B Poi il numero UN più numero B SU %.

Affrontiamo questo problema in modo leggermente diverso. Considereremo un semplice caso speciale, ad esempio questo: “Di quale percentuale il numero 10 è maggiore del numero 2?”

1. Sottrai il numero più piccolo dal numero più grande. 10 - 2 = 8. Allora 10 è maggiore di 2 per 8.

2. Trova il rapporto tra il numero trovato e il numero più piccolo. 8: 2 = 4 è il rapporto tra due numeri!

3 Esprimere il rapporto in percentuale 4100 = 400%.

Il numero 10 è maggiore del 400% rispetto al numero 2.

Se dividiamo 8 per 10, troveremo un rapporto che mostra quale parte di 10 2 è inferiore a 10 (qui il confronto è con il numero 10.

Il numero 2 è l'80% in meno del numero 10.

Esempio 5. Il conducente del trattore ha arato 6 ettari, ovvero l'intero campo. Qual è l'area dell'intero campo?
Questo è un tipico problema di trovare un numero dalla sua frazione. Lascia che l'area dell'intero campo sia uguale X, allora abbiamo l'equazione x= 6. Da qui x = 6:; x = 26. L'area del campo è di 26 ettari.

Per trovare un numero dalla sua frazione, devi dividere il numero corrispondente alla frazione data per la frazione.

Esempio 6. Dato un numero B, che ammonta a P% dal numero UN. Trova il numero UN.

P% = 0,01P
B = 0,01papà
a = b: (0,01p)

Dato un numero B , che è P% dal numero UN .

Trova il numero UN .

un-100%

b-p%

a: 100 = b: p

Formula dell'interesse composto.

Se l'importo depositato è UN unità monetarie e le spese bancarie R% all'anno, poi fino in fondo N anni, l'importo depositato sarà in unità monetarie, o
a(1+0,01p)n unità monetarie.

Esempio 7. La costruzione della casa è costata 9.800 rubli, di cui il 35% è stato pagato per la manodopera e il resto per i materiali. Quanti rubli sono costati i materiali?

Pagato per il lavoro:

0,359800 = 3430.

Pertanto, i materiali costano: 9800 - 3430 = 6370.

Risposta: 6370 rubli.

Esempio 8. Nel serbatoio sono state versate 37,4 tonnellate di benzina, dopodiché il 6,5% della capacità del serbatoio è rimasta vuota. Quanta benzina è necessario aggiungere al serbatoio per riempirlo?

Se la parte vuota del serbatoio è pari al 6,5% della capacità, la parte piena sarà: 100% - 6,5% = 93,5%. Quindi, se x è la massa di benzina che resta da aggiungere al serbatoio, allora abbiamo la proporzione

Dove .

Risposta: 2,6 tonnellate.

Esempio 9. Trova il numero sapendo che il 25% di esso è pari al 45% di 640.

Sia x il numero desiderato. Abbiamo

0,25x = 0,45640.

Risposta: 1152.

Esempio 10. Il numero a è il 92% del numero b. Se il numero b viene aumentato di 700, il nuovo numero sarà maggiore del 9% rispetto al numero a. Trova i numeri a e b.

Dalle condizioni del problema abbiamo un sistema di equazioni:

Risolvendo il sistema risultante, troviamo a = 230000, b = 250000.

Risposta: 230000; 250000.

Esempio 11. Il primo numero è il 50% del secondo. Qual è la percentuale del primo e del secondo?

Indichiamo il secondo numero con x, quindi il primo numero è uguale a 0,5x. Per scoprire quale percentuale è il numero x rispetto al numero 0,5x; Facciamo una proporzione:

da cui troviamo

Risposta: 200%.

Esempio 12. Il liceo conta 260 studenti, di cui il 10% non hanno successo. Dopo l'espulsione di un certo numero di studenti bocciati, la loro percentuale è scesa al 6,4%. Quanti studenti sono stati espulsi?

Prima dell'espulsione, il numero di studenti bocciati prima dell'espulsione era

Lascia che x persone vengano espulse. Allora nel liceo erano rimasti solo 260 studenti, di cui 26 senza successo. Abbiamo una proporzione

260 – x - 100%,

(260 – x)0,064=(26 - x)100,

Risolvendo l'equazione risultante, troviamo x = 10.

Esempio 13. Di quale percentuale il numero 250 è maggiore del numero 200?

Facciamo due cose.

1) Scopri quale percentuale è il numero 250 t dal numero 200:

2) Poiché il numero 200 in questo esempio è 100%, il numero 250 è maggiore del numero 200 del 125% -100% = 25%.

Risposta: 25%.

Esempio 14. Di quale percentuale il numero 200 è più piccolo del numero 250?

1) Scopri quale percentuale dista il numero 200 dal numero 250 (a differenza dell'esempio precedente, qui devi prendere il numero 250 come 100%!):

2) Il numero 200 è inferiore del 100% rispetto al numero 250 - 80% = 20%.

Risposta: 20%.

Esempio 15. La lunghezza del mattone è stata aumentata del 30%, la larghezza del 20% e l'altezza è stata ridotta del 40%. Ciò ha aumentato o diminuito il volume del mattone e in quale percentuale?

Sia x la lunghezza iniziale del mattone, y la larghezza e z l'altezza. Quindi il volume iniziale del mattone: V 1 = xyz. Nuove dimensioni dei mattoncini: 1,3x; 1,2y; 0.6z e nuovo volume: V 2 = 1.3x1.2y0.6z = 0.936xyz. Dal momento che V2< V 1 , объем кирпича уменьшился. Уменьшение V 2 - V 1 = 0,064xyz и составляет 6,4% от V 1.

Risposta: diminuito del 6,4%.

Esempio 16. Il prezzo del prodotto è sceso del 40%, poi di un altro 25%. Di quale percentuale è diminuito il prezzo del prodotto rispetto al prezzo originale?

Indichiamo con x il prezzo originale del prodotto. Dopo la prima diminuzione il prezzo sarà pari a

x-0,4x = 0,6x.

La seconda riduzione di prezzo è pari al 25% del nuovo prezzo pari a 0,6x, quindi dopo la seconda riduzione avremo un prezzo

0,6x - 0,250,6x = 0,45x;.

Dopo due riduzioni, la variazione totale del prezzo è:

x-0,45x = 0,55x.

Poiché il valore è 0,55x; è il 55% del valore x, allora il prezzo del prodotto è diminuito del 55%.

Risposta: 55%.

Esempio 17. Il costo iniziale per unità di produzione era di 75 rubli. Nel primo anno di produzione è aumentato di un certo punto percentuale, e nel secondo anno è diminuito (in relazione all'aumento dei costi) dello stesso punto percentuale, per cui è diventato pari a 72 rubli. Determinare l'aumento e la diminuzione percentuale del costo unitario.

Sia x% l'aumento (e la diminuzione) percentuale del costo unitario. Per definizione, x% di 75 è 750,01x. Quindi dopo il primo aumento il prezzo sarà 75 + 0,75x.

Durante il secondo anno il prezzo diminuirà del

0,01x(75+0,75x) = 0,75x + 0,0075x 2.

Ora possiamo scrivere l'equazione per il prezzo finale

(75 + 0,75x) - (0,75x + 0,0075x 2) = 72;

x2 = 400; quindi x 1 = - 20, x 2 = 20.

È adatta solo una radice di questa equazione: x 2 = 20.

Risposta: 20%.

Esempio 18. Sul conto bancario sono stati depositati 10mila rubli. Dopo che il denaro era rimasto lì per un anno, dal conto sono stati prelevati 1mila rubli. Un anno dopo sul conto c'erano 11mila rubli. Determinare quale percentuale annua addebita la banca.

Lascia che la banca addebiti il ​​p% annuo.

1) L'importo di 10.000 rubli depositati su un conto bancario al p% annuo aumenterà in un anno fino all'importo

10000 + 0,01p10000 = 10000 + 100 rubli.

Quando verranno prelevati 1000 rubli dal conto, rimarranno lì 9000 + 100 rubli.

2) In un altro anno, l'ultimo valore, a causa della maturazione degli interessi, aumenterà al valore di 9000 + 100 rubli + 0,01p (9000 + 100 rubli) = p 2 + 190 rubli + 9000 rubli.

Secondo la condizione, questo valore è pari a 11.000 rubli, quindi abbiamo un'equazione quadratica.

ð 2 + 190 р + 9000 = 11000;

ð 2 + 190ð - 2000 = 0
, risolviamo questa equazione quadratica utilizzando il teorema di Viette, p 1 = 10, p 2 = -200.

Una radice negativa non è adatta.

Risposta: 10%.

Esempio 19. La città conta attualmente 48.400 abitanti. È noto che la popolazione di questa città aumenta ogni anno del 10%. Quanti abitanti c'erano nella città due anni fa?

Supponiamo che due anni fa il numero di abitanti della città fosse x persone, quindi il numero di abitanti attualmente è espresso in termini di x utilizzando la formula dell'interesse composto:

x(1+0,1)2 = 1,21x.

Dalla dichiarazione del problema:

Risposta: 40.000 persone.