Aritmetické operace se zlomky. Operace se zlomky: pravidla, příklady, řešení

V matematice byly různé typy čísel studovány od jejich počátku. Existuje velké množství množin a podmnožin čísel. Mezi nimi jsou celá čísla, racionální, iracionální, přirozené, sudé, liché, komplexní a zlomkové. Dnes si rozebereme informace o poslední množině – zlomkových číslech.

Definice zlomků

Zlomky jsou čísla skládající se z celé části a zlomků jednotky. Stejně jako u celých čísel je mezi dvěma celými čísly nekonečný počet zlomků. V matematice se operace se zlomky provádějí stejně jako s celými a přirozenými čísly. Je to docela jednoduché a dá se to naučit za pár lekcí.

Článek představuje dva typy

Běžné zlomky

Obyčejné zlomky jsou celá část a a dvě čísla zapsaná přes zlomkovou čáru b/c. Běžné zlomky mohou být mimořádně vhodné, pokud zlomkovou část nelze reprezentovat v racionálním desítkovém tvaru. Navíc je pohodlnější provádět aritmetické operace pomocí zlomkové čáry. Horní část se nazývá čitatel, spodní část je jmenovatel.

Operace s obyčejnými zlomky: příklady

Hlavní vlastnost zlomku. Na vynásobením čitatele a jmenovatele stejným číslem, které není nula, je výsledkem číslo rovné danému. Tato vlastnost zlomku dokonale pomáhá přinést jmenovatele pro sčítání (o tom bude řeč níže) nebo zlomek zkrátit, takže je pohodlnější pro počítání. a/b = a*c/b*c. Například 36/24 = 6/4 nebo 9/13 = 18/26

Redukce na společného jmenovatele. Chcete-li získat jmenovatele zlomku, musíte jmenovatele uvést ve formě faktorů a poté vynásobit chybějícími čísly. Například 7/15 a 12/30; 7/5*3 a 12/5*3*2. Vidíme, že se jmenovatelé liší dvěma, takže čitatel a jmenovatel prvního zlomku vynásobíme 2. Dostaneme: 14/30 a 12/30.

Složené frakce- obyčejné zlomky se zvýrazněnou celou částí. (A b/c) Chcete-li složený zlomek reprezentovat jako společný zlomek, musíte číslo před zlomkem vynásobit jmenovatelem a poté je sečíst s čitatelem: (A*c + b)/c.

Aritmetické operace se zlomky

Dobře známé aritmetické operace by bylo dobré uvažovat pouze při práci s desetinnými čísly.

Sčítání a odčítání. Sčítání a odčítání zlomků je stejně snadné jako sčítání a odečítání celých čísel, až na jednu obtíž – přítomnost zlomkové čáry. Při sčítání zlomků se stejným jmenovatelem stačí sečíst pouze čitatele obou zlomků, jmenovatelé zůstanou nezměněni. Například: 5/7 + 1/7 = (5+1)/7 = 6/7

Pokud jsou jmenovatelé dvou zlomků různá čísla, musíte je nejprve přivést ke společnému číslu (jak to udělat, bylo diskutováno výše). 1/8 + 3/2 = 1/2*2*2 + 3/2 = 1/8 + 3*4/2*4 = 1/8 + 12/8 = 13/8. Odečítání probíhá přesně na stejném principu: 8/9 - 2/3 = 8/9 - 6/9 = 2/9.

Násobení a dělení. Akce Násobení zlomky probíhá podle následujícího principu: čitatelé a jmenovatelé se násobí samostatně. Obecně vzorec pro násobení vypadá takto: a/b *c/d = a*c/b*d. Kromě toho můžete při násobení zlomek zmenšit odstraněním podobných faktorů z čitatele a jmenovatele. Jinými slovy, čitatel a jmenovatel se dělí stejným číslem: 4/16 = 4/4*4 = 1/4.

Chcete-li vydělit jeden obyčejný zlomek druhým, musíte změnit čitatele a jmenovatele dělitele a vynásobit dva zlomky podle výše uvedeného principu: 5/11: 25/11 = 5/11 * 11/25 = 5*11/ 11*25 = 1/5

Desetinná čísla

Desetinná čísla jsou oblíbenější a často používanou verzí zlomků. Je snazší je napsat na řádek nebo prezentovat na počítači. Struktura desetinné čárky je následující: nejprve se zapíše celé číslo a poté se za desetinnou čárkou zapíše zlomková část. Desetinná čísla jsou ve svém jádru složené zlomky, ale jejich zlomkovou část představuje číslo dělené násobkem 10. Odtud pochází jejich název. Operace s desetinnými zlomky jsou podobné operacím s celými čísly, protože se také zapisují v desítkové číselné soustavě. Na rozdíl od běžných zlomků mohou být desetinná místa iracionální. To znamená, že mohou být nekonečné. Jsou psány takto: 7, (3). Následující záznam zní: sedm bodů tři, tři desetiny v období.

Základní operace s desetinnými čísly

Sčítání a odčítání desetinných míst. Práce se zlomky není o nic těžší než práce s celými přirozenými čísly. Pravidla jsou naprosto podobná těm, která se používají při sčítání nebo odčítání přirozených čísel. Stejným způsobem je lze počítat jako sloupec, ale v případě potřeby nahraďte chybějící místa nulami. Například: 5,5697 – 1,12. Chcete-li provést odečítání sloupců, musíte vyrovnat počet čísel za desetinnou čárkou: (5,5697 - 1,1200). Číselná hodnota se tedy nezmění a lze ji počítat ve sloupci.

Operace s desetinnými zlomky nelze provádět, pokud má jeden z nich iracionální tvar. Chcete-li to provést, musíte obě čísla převést na běžné zlomky a poté použít techniky popsané dříve.

Násobení a dělení. Násobení desetinných míst je podobné jako násobení přirozených zlomků. Lze je také jednoduše vynásobit ve sloupci, aniž byste věnovali pozornost čárce, a poté oddělit čárkou v konečné hodnotě stejný počet číslic, jako byl součet za desetinnou čárkou ve dvou desetinných zlomcích. Například 1,5 * 2,23 = 3,345. Vše je velmi jednoduché a nemělo by způsobit potíže, pokud jste již zvládli násobení přirozených čísel.

Dělení je také stejné jako dělení přirozených čísel, ale s mírnou odchylkou. Chcete-li dělit sloupcem desetinným číslem, musíte zahodit desetinnou čárku v děliteli a vynásobit dělenec počtem číslic za desetinnou čárkou v děliteli. Poté proveďte dělení jako u přirozených čísel. Při neúplném dělení můžete k dividendě vpravo přidat nuly a také přidat nulu k odpovědi za desetinnou čárkou.

Příklady operací s desetinnými místy. Desetinná čísla jsou velmi pohodlným nástrojem pro aritmetické výpočty. Kombinují pohodlí přirozených čísel, celých čísel a přesnosti zlomků. Navíc je docela snadné převést některé zlomky na jiné. Operace se zlomky se neliší od operací s přirozenými čísly.

Přidání: 1,5 + 2,7 = 4,2
Odečítání: 3,1 - 1,6 = 1,5
Násobení: 1,7 * 2,3 = 3,91
Dělení: 3,6: 0,6 = 6

Také desetinná místa jsou vhodná pro vyjádření procent. Takže 100 % = 1; 60 % = 0,6; a naopak: 0,659 = 65,9 %.

To je vše, co potřebujete vědět o zlomcích. Článek zkoumal dva typy zlomků – obyčejný a desetinný. Obojí je celkem jednoduché na výpočet a pokud jste si zcela osvojili přirozená čísla a operace s nimi, můžete se klidně začít učit zlomky.

1º. Celá čísla- to jsou čísla používaná při počítání. Množinu všech přirozených čísel značíme N, tzn. N = (1, 2, 3, …).

Zlomek je číslo skládající se z několika zlomků jednotky. Běžný zlomek je číslo tvaru , kde je přirozené číslo n ukazuje, na kolik stejných částí je jednotka rozdělena, a přirozené číslo m ukazuje, kolik takových stejných dílů je vzato. Čísla m A n se podle toho nazývají čitatel A jmenovatel zlomky

Pokud je čitatel menší než jmenovatel, nazývá se zlomek opravit; pokud je čitatel roven nebo větší než jmenovatel, pak se nazývá zlomek špatně. Volá se číslo skládající se z celého čísla a zlomkové části smíšené číslo.

Například - pravidelné zlomky, - nevlastní zlomky, 1 - smíšené číslo.

2º. Při provádění operací s obyčejnými zlomky byste si měli pamatovat následující pravidla:

1)Hlavní vlastnost zlomku. Pokud se čitatel a jmenovatel zlomku vynásobí nebo vydělí stejným přirozeným číslem, dostaneme zlomek rovný danému.

Například a) ; b) .

Dělení čitatele a jmenovatele zlomku jejich společným dělitelem jiným než jedna se nazývá snížení zlomku.

2) Pro vyjádření smíšeného čísla jako nevlastního zlomku je potřeba vynásobit jeho celočíselnou část jmenovatelem zlomkové části a k výslednému součinu přičíst čitatele zlomkové části, výslednou částku zapsat jako čitatel zlomku, a jmenovatele ponechte stejný.

Podobně lze libovolné přirozené číslo zapsat jako nevlastní zlomek s libovolným jmenovatelem.

Například a) protože ; b) atd.

3) Chcete-li zapsat nevlastní zlomek jako smíšené číslo (tj. oddělit celočíselnou část od nevlastního zlomku), musíte vydělit čitatele jmenovatelem, vzít podíl dělení jako celočíselnou část, zbytek jako čitatel a jmenovatel ponechte stejný.

Například a) od roku 200: 7 = 28 (zbývající 4);
b) od 20: 5 = 4 (zbývá 0).

4) Chcete-li zlomky zredukovat na nejnižšího společného jmenovatele, musíte najít nejmenší společný násobek (LCM) jmenovatelů těchto zlomků (bude to jejich nejmenší společný jmenovatel), vydělit nejnižšího společného jmenovatele jmenovateli těchto zlomků ( tj. najít další faktory pro zlomky), vynásobte čitatel a jmenovatel každého zlomku jeho dalším faktorem.

Zredukujeme například zlomky na jejich nejmenšího společného jmenovatele:

630: 18 = 35, 630: 10 = 63, 630: 21 = 30.

Prostředek, ; ; .

5) Pravidla pro aritmetické operace s obyčejnými zlomky:

a) Sčítání a odčítání zlomků se stejnými jmenovateli se provádí podle pravidla:

b) Sčítání a odčítání zlomků s různými jmenovateli se provádí podle pravidla a), po prvním zmenšení zlomků na nejnižšího společného jmenovatele.

c) Při sčítání a odčítání smíšených čísel je můžete převést na nesprávné zlomky a pak postupovat podle pravidel a) ab),

Akce se zlomky.

Pozornost!
Existují další
materiály ve zvláštní sekci 555.
Pro ty, kteří jsou velmi "ne moc..."
A pro ty, kteří „moc…“)

Takže, co jsou zlomky, typy zlomků, transformace - pamatovali jsme si. Pojďme k hlavnímu problému.

Co můžete dělat se zlomky? Ano, vše je stejné jako u běžných čísel. Sčítat, odečítat, násobit, dělit.

Všechny tyto akce s desetinný práce se zlomky se neliší od práce s celými čísly. Vlastně to je to, co je na nich dobré, desetinné. Jediná věc je, že musíte správně zadat čárku.

Smíšená čísla, jak jsem již řekl, jsou pro většinu akcí málo použitelné. Je třeba je ještě převést na obyčejné zlomky.

Ale akce s obyčejné zlomky budou mazanější. A mnohem důležitější! Dovolte mi připomenout: všechny akce se zlomkovými výrazy s písmeny, siny, neznámými atd. a tak dále se neliší od akcí s běžnými zlomky! Operace s obyčejnými zlomky jsou základem pro celou algebru. Z tohoto důvodu zde budeme celou tuto aritmetiku velmi podrobně analyzovat.

Sčítání a odčítání zlomků.

Každý může sčítat (odečítat) zlomky se stejnými jmenovateli (opravdu doufám!). No a těm úplně zapomnětlivým připomenu: při sčítání (odčítání) se jmenovatel nemění. Čitatele se sečtou (odečtou) a získá se čitatel výsledku. Typ:

Stručně řečeno, obecně:

Co když se jmenovatelé liší? Potom pomocí základní vlastnosti zlomku (tady se to opět hodí!) uděláme jmenovatele stejné! Například:

Zde jsme museli udělat zlomek 4/10 ze zlomku 2/5. Pouze za účelem, aby byly jmenovatele stejné. Dovolím si pro jistotu poznamenat, že 2/5 a 4/10 jsou stejný zlomek! Pouze 2/5 jsou pro nás nepříjemné a 4/10 jsou opravdu v pořádku.

Mimochodem, to je podstata řešení jakýchkoli matematických úloh. Když jsme od nepříjemný děláme výrazy totéž, ale pohodlnější pro řešení.

Další příklad:

Situace je podobná. Zde uděláme 48 z 16. Prostým vynásobením 3. To je vše jasné. Ale narazili jsme na něco takového:

Jak být?! Ze sedmičky je těžké udělat devítku! Ale my jsme chytří, známe pravidla! Pojďme se transformovat každý zlomek tak, aby jmenovatelé byli stejní. Tomu se říká „redukovat na společného jmenovatele“:

Páni! Jak jsem věděl o 63? Velmi jednoduché! 63 je číslo, které je zároveň dělitelné 7 a 9. Takové číslo lze vždy získat vynásobením jmenovatelů. Vynásobíme-li číslo např. 7, pak bude výsledek jistě dělitelný 7!

Pokud potřebujete sečíst (odečíst) několik zlomků, není třeba to dělat ve dvojicích, krok za krokem. Stačí najít jmenovatele společného pro všechny zlomky a zredukovat každý zlomek na stejného jmenovatele. Například:

A co bude společným jmenovatelem? Můžete samozřejmě vynásobit 2, 4, 8 a 16. Dostaneme 1024. Noční můra. Je snazší odhadnout, že číslo 16 je dokonale dělitelné 2, 4 a 8. Z těchto čísel tedy snadno dostanete 16. Toto číslo bude společným jmenovatelem. Proměňme 1/2 na 8/16, 3/4 na 12/16 a tak dále.

Mimochodem, vezmete-li za společného jmenovatele 1024, vše vyjde, nakonec se vše sníží. Ale ne každý se k tomu dostane, kvůli výpočtům...

Doplňte příklad sami. Ne nějaký logaritmus... Mělo by to být 29/16.

Takže sčítání (odčítání) zlomků je doufám jasné? Samozřejmě je jednodušší pracovat ve zkrácené verzi, s dalšími násobiči. Ale toto potěšení mají ti, kteří poctivě pracovali v nižších ročnících... A na nic nezapomněli.

A teď uděláme stejné akce, ale ne se zlomky, ale s zlomkové výrazy. Tady bude odhalen nový hrábě, ano...

Musíme tedy přidat dva zlomkové výrazy:

Musíme udělat stejné jmenovatele. A jen s pomocí násobení! To je to, co určuje hlavní vlastnost zlomku. Nemohu tedy přidat jedničku k X v prvním zlomku ve jmenovateli. (to by bylo hezké!). Ale když vynásobíte jmenovatele, vidíte, všechno roste dohromady! Zapíšeme si tedy řádek zlomku, nahoře necháme prázdné místo, pak jej sečteme a zapíšeme součin jmenovatelů níže, abychom nezapomněli:

A samozřejmě nic nenásobíme na pravé straně, neotvíráme závorky! A nyní, když se podíváme na společného jmenovatele na pravé straně, uvědomíme si: abyste získali jmenovatele x(x+1) v prvním zlomku, musíte vynásobit čitatele a jmenovatele tohoto zlomku (x+1) . A ve druhém zlomku - na x. Toto získáte:

Poznámka! Tady jsou závorky! To jsou hrábě, na které šlape mnoho lidí. Samozřejmě ne závorky, ale jejich absence. Závorky se objevují, protože násobíme Všechnočitatel a Všechno jmenovatel! A ne jejich jednotlivé kusy...

V čitateli pravé strany zapíšeme součet čitatelů, vše je jako v číselných zlomcích, poté otevřeme závorky v čitateli pravé strany, tzn. Vše množíme a dáváme podobné. Není potřeba otevírat závorky ve jmenovatelích ani nic násobit! Obecně platí, že ve jmenovatelích (jakýchkoli) je produkt vždy příjemnější! Dostaneme:

Tak jsme dostali odpověď. Proces se zdá dlouhý a obtížný, ale záleží na praxi. Jakmile vyřešíte příklady, zvyknete si na to, vše se zjednoduší. Ti, kteří zvládli zlomky včas, dělají všechny tyto operace jednou levou rukou, automaticky!

A ještě jedna poznámka. Mnozí chytře zacházejí se zlomky, ale zaseknou se u příkladů Celýčísla. Jako: 2 + 1/2 + 3/4= ? Kam upevnit dvojdíl? Nemusíte to nikam připevňovat, musíte udělat zlomek ze dvou. Není to snadné, ale velmi jednoduché! 2=2/1. Takhle. Jakékoli celé číslo lze zapsat jako zlomek. Čitatel je samotné číslo, jmenovatel je jedna. 7 je 7/1, 3 je 3/1 a tak dále. Stejné je to s písmeny. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1 atd. A pak s těmito zlomky pracujeme podle všech pravidel.

No osvěžila se znalost sčítání a odčítání zlomků. Převádění zlomků z jednoho typu na druhý byl opakován. Můžete se také nechat zkontrolovat. Urovnáme to trochu?)

Vypočítat:

Odpovědi (v nepořádku):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Násobení/dělení zlomků - v další lekci. Nechybí ani úlohy pro všechny operace se zlomky.

Pokud se vám tato stránka líbí...

Mimochodem, mám pro vás několik dalších zajímavých stránek.)

Můžete si procvičit řešení příkladů a zjistit svou úroveň. Testování s okamžitým ověřením. Pojďme se učit - se zájmem!)

Můžete se seznámit s funkcemi a derivacemi.

Shodněme se, že „akce se zlomky“ v naší lekci budou znamenat akce s obyčejnými zlomky. Běžný zlomek je zlomek, který má atributy, jako je čitatel, zlomková čára a jmenovatel. Tím se odlišuje obyčejný zlomek od desetinného, který se z obyčejného zlomku získá zmenšením jmenovatele na násobek 10. Desetinný zlomek se zapisuje čárkou oddělující celou část od části zlomkové. Budeme mluvit o operacích s obyčejnými zlomky, protože právě ty působí největší potíže studentům, kteří zapomněli základy tohoto tématu probraného v první polovině školního kurzu matematiky. Přitom při transformaci výrazů ve vyšší matematice se používají především operace s obyčejnými zlomky. Už jen zlomkové zkratky stojí za to! Desetinné zlomky nezpůsobují žádné zvláštní potíže. Tak do toho!

Říká se, že dva zlomky jsou stejné, jestliže .

Například od

Zlomky a (od) a (od) se rovnají.

Je zřejmé, že oba zlomky a jsou si rovny. To znamená, že pokud čitatel a jmenovatel daného zlomku vynásobíte nebo vydělíte stejným přirozeným číslem, dostanete zlomek rovný danému: .

Tato vlastnost se nazývá základní vlastnost zlomku.

Základní vlastností zlomku lze měnit znaménka čitatele a jmenovatele zlomku. Pokud se čitatel a jmenovatel zlomku vynásobí -1, dostaneme . To znamená, že hodnota zlomku se nezmění, pokud se současně změní znaménka čitatele a jmenovatele. Pokud změníte znaménko pouze v čitateli nebo pouze ve jmenovateli, zlomek změní své znaménko:

Snížení zlomků

Pomocí základní vlastnosti zlomku můžete nahradit daný zlomek jiným zlomkem, který je roven danému, ale s menším čitatelem a jmenovatelem. Tato substituce se nazývá zlomková redukce.

Nechť je například uveden zlomek. Čísla 36 a 48 mají největšího společného dělitele 12. Pak

Obecně platí, že zmenšení zlomku je vždy možné, pokud čitatel a jmenovatel nejsou vzájemně prvočísla. Pokud jsou čitatel a jmenovatel vzájemně prvočísla, pak se zlomek nazývá neredukovatelný.

Zmenšit zlomek tedy znamená vydělit čitatel a jmenovatel zlomku společným faktorem. Vše výše uvedené platí také pro zlomkové výrazy obsahující proměnné.

Příklad 1. Snížit zlomek

Řešení. Chcete-li faktorizovat čitatel, nejprve uveďte jednočlen - 5 xy jako součet - 2 xy - 3xy, dostaneme

K rozkladu jmenovatele použijeme vzorec rozdílu čtverců:

Jako výsledek

Redukce zlomků na společného jmenovatele

Nechť dva zlomky a . Mají různé jmenovatele: 5 a 7. Pomocí základní vlastnosti zlomků můžete tyto zlomky nahradit jinými, které se jim rovnají, a to takovými, že výsledné zlomky budou mít stejné jmenovatele. Vynásobením čitatele a jmenovatele zlomku 7 dostaneme

Vynásobením čitatele a jmenovatele zlomku 5 dostaneme

Zlomky jsou tedy redukovány na společného jmenovatele:

Ale to není jediné řešení problému: například tyto zlomky lze také zredukovat na společného jmenovatele 70:

a obecně na jakýkoli jmenovatel dělitelný jak 5, tak 7.

Uvažujme další příklad: přiveďme zlomky a ke společnému jmenovateli. Pokud budeme argumentovat jako v předchozím příkladu, dostaneme

Ale v tomto případě je možné zlomky zredukovat na společného jmenovatele, který je menší než součin jmenovatelů těchto zlomků. Najdeme nejmenší společný násobek čísel 24 a 30: LCM(24, 30) = 120.

Protože 120:4 = 5, k zápisu zlomku se jmenovatelem 120 je třeba vynásobit čitatel i jmenovatel 5, toto číslo se nazývá doplňkový faktor. Prostředek .

Dále dostaneme 120:30=4. Vynásobením čitatele a jmenovatele zlomku dalším faktorem 4 dostaneme .

Tyto zlomky jsou tedy redukovány na společného jmenovatele.

Nejmenší společný násobek jmenovatelů těchto zlomků je nejmenší možný společný jmenovatel.

U zlomkových výrazů, které zahrnují proměnné, je společným jmenovatelem polynom, který se dělí jmenovatelem každého zlomku.

Příklad 2 Najděte společného jmenovatele zlomků a.

Řešení. Společným jmenovatelem těchto zlomků je polynom, protože je dělitelný oběma a. Tento polynom však není jediný, který může být společným jmenovatelem těchto zlomků. Může to být i polynom a polynom a polynom atd. Obvykle berou takového společného jmenovatele, že jakýkoli jiný společný jmenovatel je beze zbytku vydělen zvoleným. Tento jmenovatel se nazývá nejnižší společný jmenovatel.

V našem příkladu je nejnižší společný jmenovatel . Mám:

;

Podařilo se nám zredukovat zlomky na jejich nejmenšího společného jmenovatele. Stalo se to tak, že se čitatel a jmenovatel prvního zlomku vynásobil a čitatel a jmenovatel druhého zlomku číslem . Polynomy se nazývají dodatečné faktory, respektive pro první a druhý zlomek.

Sčítání a odčítání zlomků

Sčítání zlomků je definováno takto:

Například,

Li b = d, Že

To znamená, že pro sečtení zlomků se stejným jmenovatelem stačí sečíst čitatele a jmenovatele ponechat stejný. Například,

Pokud sečtete zlomky s různými jmenovateli, obvykle zlomky zredukujete na nejnižšího společného jmenovatele a poté sečtete čitatele. Například,

Nyní se podívejme na příklad přidávání zlomkových výrazů s proměnnými.

Příklad 3 Převeďte výraz na jeden zlomek

Řešení. Pojďme najít nejmenšího společného jmenovatele. Abychom to udělali, nejprve faktorizujeme jmenovatele.

Tato část pokrývá operace s obyčejnými zlomky. Pokud je nutné provést matematickou operaci se smíšenými čísly, pak stačí smíšený zlomek převést na mimořádný zlomek, provést potřebné operace a v případě potřeby prezentovat konečný výsledek znovu ve formě smíšeného čísla . Tato operace bude popsána níže.

Snížení zlomku

Matematická operace. Snížení zlomku

Ke zmenšení zlomku \frac(m)(n) potřebujete najít největšího společného dělitele jeho čitatele a jmenovatele: gcd(m,n) a poté vydělit čitatele a jmenovatele zlomku tímto číslem. Pokud GCD(m,n)=1, pak nelze zlomek zmenšit. Příklad: \frac(20)(80)=\frac(20:20)(80:20)=\frac(1)(4)

Okamžité nalezení největšího společného dělitele se obvykle zdá být obtížným úkolem a v praxi se zlomek redukuje v několika fázích, krok za krokem izoluje zřejmé společné faktory z čitatele a jmenovatele. \frac(140)(315)=\frac(28\cdot5)(63\cdot5)=\frac(4\cdot7\cdot5)(9\cdot7\cdot5)=\frac(4)(9)

Redukce zlomků na společného jmenovatele

Matematická operace. Redukce zlomků na společného jmenovatele

Chcete-li přivést dva zlomky \frac(a)(b) a \frac(c)(d) ke společnému jmenovateli, potřebujete:

najděte nejmenší společný násobek jmenovatelů: M=LMK(b,d);
vynásobte čitatel a jmenovatel prvního zlomku M/b (poté se jmenovatel zlomku rovná číslu M);
vynásobte čitatel a jmenovatel druhého zlomku M/d (poté se jmenovatel zlomku rovná číslu M).

Původní zlomky tedy transformujeme na zlomky se stejnými jmenovateli (které se budou rovnat číslu M).

Například zlomky \frac(5)(6) a \frac(4)(9) mají LCM(6,9) = 18. Potom: \frac(5)(6)=\frac(5\cdot3) (6 \cdot3)=\frac(15)(18);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot2)(9\cdot2)=\frac(8)(18) . Výsledné zlomky tedy mají společného jmenovatele.

V praxi není nalezení nejmenšího společného násobku (LCM) jmenovatelů vždy jednoduchým úkolem. Proto je jako společný jmenovatel zvoleno číslo rovné součinu jmenovatelů původních zlomků. Například zlomky \frac(5)(6) a \frac(4)(9) jsou redukovány na společného jmenovatele N=6\cdot9:

\frac(5)(6)=\frac(5\cdot9)(6\cdot9)=\frac(45)(54);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot6)( 9\cdot6)=\frac(24)(54)

Porovnání zlomků

Matematická operace. Porovnání zlomků

K porovnání dvou obyčejných zlomků potřebujete:

porovnejte čitatele výsledných zlomků; zlomek s větším čitatelem bude větší.

Například \frac(9)(14)

Při porovnávání zlomků existuje několik speciálních případů:

Ze dvou zlomků se stejnými jmenovateli Zlomek, jehož čitatel je větší, je větší. Například \frac(3)(15)
Ze dvou zlomků se stejnými čitateli Větší je zlomek, jehož jmenovatel je menší. Například \frac(4)(11)>\frac(4)(13)
Ten zlomek, který současně větší čitatel a menší jmenovatel, více. Například \frac(11)(3)>\frac(10)(8)

Pozornost! Pravidlo 1 platí pro všechny zlomky, pokud je jejich společným jmenovatelem kladné číslo. Pravidla 2 a 3 platí pro kladné zlomky (ty, kde je čitatel i jmenovatel větší než nula).

Sčítání a odčítání zlomků

Matematická operace. Sčítání a odčítání zlomků

Chcete-li přidat dva zlomky, potřebujete:

přivést je ke společnému jmenovateli;
sečtěte jejich čitatele a jmenovatele ponechte beze změny.

Příklad: \frac(7)(9)+\frac(4)(7)=\frac(7\cdot7)(9\cdot7)+\frac(4\cdot9)(7\cdot9)=\frac(49 )(63)+\frac(36)(63)=\frac(49+36)(63)=\frac(85)(63)

Chcete-li od jednoho zlomku odečíst další, potřebujete:

snížit zlomky na společného jmenovatele;
Odečtěte čitatele druhého zlomku od čitatele prvního zlomku a ponechte jmenovatele beze změny.

Příklad: \frac(4)(15)-\frac(3)(5)=\frac(4)(15)-\frac(3\cdot3)(5\cdot3)=\frac(4)(15) -\frac(9)(15)=\frac(4-9)(15)=\frac(-5)(15)=-\frac(5)(3\cdot5)=-\frac(1)( 3)

Pokud mají původní zlomky zpočátku společného jmenovatele, pak se krok 1 (redukce na společného jmenovatele) vynechá.

Převod smíšeného čísla na nevlastní zlomek a naopak

Matematická operace. Převod smíšeného čísla na nevlastní zlomek a naopak

Chcete-li převést smíšený zlomek na nesprávný zlomek, jednoduše sečtěte celou část smíšeného zlomku s částí zlomku. Výsledkem takového součtu bude nevlastní zlomek, jehož čitatel se rovná součtu součinu celé části jmenovatelem zlomku s čitatelem smíšeného zlomku a jmenovatel zůstane stejný. Například 2\frac(6)(11)=2+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11)(11)+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11+ 6)(11)=\frac(28)(11)

Chcete-li převést nesprávný zlomek na smíšené číslo:

vydělte čitatele zlomku jeho jmenovatelem;
zbytek dělení zapište do čitatele a jmenovatele ponechte stejný;
výsledek dělení zapište jako celočíselnou část.

Například zlomek \frac(23)(4) . Při dělení 23:4=5,75, tedy celá část je 5, zbytek dělení je 23-5*4=3. Potom se smíšené číslo zapíše: 5\frac(3)(4) . \frac(23)(4)=\frac(5\cdot4+3)(4)=5\frac(3)(4)

Převod desetinného čísla na zlomek

Matematická operace. Převod desetinného čísla na zlomek

Chcete-li převést desetinný zlomek na běžný zlomek, musíte:

vezměte jako jmenovatel n-tou mocninu deseti (zde n je počet desetinných míst);
jako čitatel vezměte číslo za desetinnou čárkou (pokud se celá část původního čísla nerovná nule, vezměte i všechny úvodní nuly);
nenulová celá část se zapisuje v čitateli hned na začátku; část nula celého čísla je vynechána.

Příklad 1: 0,0089=\frac(89)(10000) (jsou 4 desetinná místa, takže jmenovatel má 10 4 =10000, protože celočíselná část je 0, v čitateli je číslo za desetinnou čárkou bez úvodních nul)

Příklad 2: 31.0109=\frac(310109)(10000) (v čitateli napíšeme číslo za desetinnou čárkou se všemi nulami: „0109“ a před něj přidáme celou část původního čísla „31“).

Pokud je celá část desetinného zlomku nenulová, lze ji převést na smíšený zlomek. Za tímto účelem převedeme číslo na obyčejný zlomek, jako by se celá část rovnala nule (body 1 a 2), a celou část jednoduše přepíšeme před zlomek - bude to celá část smíšeného čísla . Příklad:

3,014=3\frac(14)(100)

Chcete-li převést zlomek na desetinné číslo, jednoduše vydělte čitatele jmenovatelem. Někdy skončíte s nekonečnou desetinnou čárkou. V tomto případě je nutné zaokrouhlit na požadované desetinné místo. Příklady:

\frac(401)(5)=80,2;\quad \frac(2)(3)\cca 0,6667

Násobení a dělení zlomků

Matematická operace. Násobení a dělení zlomků

Chcete-li vynásobit dva běžné zlomky, musíte vynásobit čitatele a jmenovatele zlomků.

\frac(5)(9)\cdot\frac(7)(2)=\frac(5\cdot7)(9\cdot2)=\frac(35)(18)

Chcete-li vydělit jeden společný zlomek druhým, musíte vynásobit první zlomek převrácenou hodnotou druhého ( reciproční zlomek- zlomek, ve kterém jsou prohozeny čitatel a jmenovatel.

\frac(5)(9):\frac(7)(2)=\frac(5)(9)\cdot\frac(2)(7)=\frac(5\cdot2)(9\cdot7)= \frac(10)(63)

Pokud je jedním ze zlomků přirozené číslo, pak výše uvedená pravidla násobení a dělení zůstávají v platnosti. Jen je třeba vzít v úvahu, že celé číslo je stejný zlomek, jehož jmenovatel se rovná jedné. Například: 3:\frac(3)(7)=\frac(3)(1):\frac(3)(7)=\frac(3)(1)\cdot\frac(7)(3) = \frac(3\cdot7)(1\cdot3)=\frac(7)(1)=7