Postupujte podle příkladů. Pořadí provádění matematických operací

Číselné a abecední výrazy mohou obsahovat znaky různých aritmetických operací. Při transformaci výrazů a výpočtu hodnot výrazů se akce provádějí v určitém pořadí, protože existuje přísné pořadí, ve kterém se provádějí matematické operace

Nejprve násobení a dělení, pak sčítání a odčítání

Pořadí provádění akcí ve výrazech bez závorek:

- akce se provádějí v pořadí zleva doprava,

- nejprve se provádí násobení a dělení a poté sčítání a odčítání.

1. Zvažte příklad: postupujte podle kroků 17–3+6

Původní výraz neobsahuje násobení ani dělení a neobsahuje závorky. Proto bychom měli dodržovat všechny kroky v pořadí zleva doprava, to znamená, že nejprve odečteme 3 od 17, dostaneme 14, poté k výslednému rozdílu 14 přidáme 6, dostaneme 20.

Stručně řečeno, řešení lze zapsat takto: 17 − 3 + 6 = 14 + 6 = 20

2. Vypočítejte hodnotu výrazu 17 − 5 6: 3 − 2 + 4: 2

Nejprve určíme, v jakém pořadí by se měly akce ve výrazu provádět. Obsahuje jak násobení, tak dělení a sčítání a odčítání. Nejprve zleva doprava, kterou potřebujete provádět násobení a dělení.

4: 2 nyní 4 děleno 2, dostaneme 2.

Nalezenou hodnotu 10 dosadíme do původního výrazu místo 5 · 6: 3 a místo 4: 2 - hodnota 2 dostaneme tento výraz 17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2 = 17 − 10 − 2+ 2.

Výsledný výraz již neobsahuje násobení a dělení, takže zůstává v pořadí zleva doprava dokončete zbývající akce: 17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7.

Akce první a druhé etapy

Aby se usnadnilo rozhodování o pořadí provádění jejich akce byly rozděleny do dvou etap:

první fází je sčítání a odčítání,

druhou fází je násobení a dělení.

Pokud výraz neobsahuje závorky, pak se v pořadí zleva doprava nejprve provedou akce druhé fáze (násobení a dělení), poté se provedou akce první fáze (sčítání a odčítání).

Pravidlo, které určuje pořadí provádění akcí ve výrazech se závorkami, je formulováno následovně: nejprve se provádějí akce v závorkách, přičemž se také provádí násobení a dělení v pořadí zleva doprava, poté sčítání a odčítání.

Podívejme se na příklad: 99: (45 – 39 + 5) – 25: 5

Postup výpočtu je následující. Nejprve proveďte kroky v závorkách:

45 – 39 = 6 ; 6 + 5 = 11 ,

pak akce druhé fáze

V tomto článku se podíváme na tři příklady:

1. Příklady se závorkami (akce sčítání a odčítání)

2. Příklady se závorkami (sčítání, odčítání, násobení, dělení)

3. Příklady se spoustou akce

1 Příklady se závorkami (operace sčítání a odčítání)

Podívejme se na tři příklady. V každém z nich je pořadí akcí označeno červenými čísly:

Vidíme, že pořadí akcí v každém příkladu se bude lišit, i když čísla a znaménka jsou stejná. To se děje proto, že ve druhém a třetím příkladu jsou závorky.

*Toto pravidlo je pro příklady bez násobení a dělení. Na pravidla pro příklady se závorkami zahrnující operace násobení a dělení se podíváme ve druhé části tohoto článku.

Aby nedošlo k záměně v příkladu se závorkami, můžete jej převést na běžný příklad bez závorek. Chcete-li to provést, zapište získaný výsledek do závorek nad závorky, poté přepište celý příklad, zapište tento výsledek místo závorek a poté proveďte všechny akce v pořadí zleva doprava:

V jednoduchých příkladech můžete všechny tyto operace provádět ve své mysli. Hlavní věc je nejprve provést akci v závorkách a zapamatovat si výsledek a poté počítat v pořadí zleva doprava.

A teď - simulátory!

1) Příklady se závorkami do 20. Online simulátor.

2) Příklady se závorkami do 100. Online simulátor.

3) Příklady se závorkami. Simulátor č. 2

4) Doplňte chybějící číslo - příklady se závorkami. Tréninkové přístroje

2 příklady se závorkami (sčítání, odčítání, násobení, dělení)

Nyní se podívejme na příklady, ve kterých kromě sčítání a odčítání dochází k násobení a dělení.

Nejprve se podívejme na příklady bez závorek:

Existuje jeden trik, jak se vyhnout zmatení při řešení příkladů pořadí akcí. Pokud nejsou žádné závorky, pak provedeme operace násobení a dělení, pak přepíšeme příklad a místo těchto akcí zapíšeme získané výsledky. Poté provedeme sčítání a odčítání v tomto pořadí:

Pokud příklad obsahuje závorky, musíte se nejprve zbavit závorek: přepište příklad a místo závorek napište výsledek získaný v nich. Poté musíte v duchu zvýraznit části příkladu oddělené znaménky „+“ a „-“ a počítat každou část zvlášť. Poté proveďte sčítání a odčítání v tomto pořadí:

3 příklady se spoustou akce

Pokud je v příkladu mnoho akcí, bude výhodnější neuspořádat pořadí akcí v celém příkladu, ale vybrat bloky a vyřešit každý blok samostatně. K tomu najdeme volná znaménka „+“ a „–“ (volné znamená ne v závorkách, jak je znázorněno na obrázku šipkami).

Tyto znaky rozdělí náš příklad do bloků:

Při provádění akcí v každém bloku nezapomeňte na postup uvedený výše v článku. Po vyřešení každého bloku provedeme operace sčítání a odčítání v pořadí.

Nyní sjednoťme řešení příkladů v pořadí akcí na simulátorech!

Pravidla pro pořadí provádění úkonů ve složitých výrazech se učí na 2. stupni, ale některá z nich děti prakticky využívají už na 1. stupni.

Nejprve se zaměříme na pravidlo o pořadí operací ve výrazech bez závorek, kdy se čísla provádějí buď pouze sčítání a odčítání, nebo pouze násobení a dělení. Potřeba zavést výrazy obsahující dvě nebo více aritmetických operací stejné úrovně vyvstane, když se studenti seznámí s výpočetními technikami sčítání a odčítání do 10, konkrétně:

Podobně: 6 - 1 - 1, 6 - 2 - 1, 6 - 2 - 2.

Protože se při hledání významů těchto výrazů školáci obracejí k objektivním akcím, které se provádějí v určitém pořadí, snadno se naučí, že aritmetické operace (sčítání a odčítání), které probíhají ve výrazech, se provádějí postupně zleva doprava.

S číselnými výrazy obsahujícími operace sčítání a odčítání a závorky se studenti nejprve setkají v tématu „Sčítání a odčítání do 10“. Když se děti v 1. třídě setkají s takovými výrazy, např.: 7 - 2 + 4, 9 - 3 - 1, 4 +3 - 2; ve 2. třídě např.: 70 - 36 +10, 80 - 10 - 15, 32+18 - 17; 4*10:5, 60:10*3, 36:9*3, učitel ukazuje, jak takové výrazy číst a psát a jak najít jejich význam (například 4*10:5 číst: 4 násobit 10 a vydělte výsledný výsledek 5). Při prostudování tématu „Pořadí jednání“ na 2. stupni jsou žáci schopni najít význam výrazů tohoto typu. Cílem práce je v této fázi opřít se o praktické dovednosti studentů, upozornit je na pořadí provádění úkonů v takových výrazech a formulovat odpovídající pravidlo. Studenti samostatně řeší příklady vybrané učitelem a vysvětlují, v jakém pořadí je provedli; akce v každém příkladu. Potom sami formulují závěr nebo čtou z učebnice: pokud jsou ve výrazu bez závorek uvedeny pouze akce sčítání a odčítání (nebo pouze akce násobení a dělení), provádějí se v pořadí, v jakém jsou napsány (tedy zleva doprava).

Navzdory skutečnosti, že ve výrazech tvaru a+b+c, a+(b+c) a (a+b)+c přítomnost závorek neovlivňuje pořadí akcí díky asociativnímu zákonu sčítání, při tomto fázi je vhodnější orientovat studenty na to, že nejprve se provede akce v závorce. Důvodem je skutečnost, že pro výrazy ve tvaru a - (b + c) a a - (b - c) je takové zobecnění nepřijatelné a pro studenty v počáteční fázi bude poměrně obtížné orientovat se v přiřazení závorek. pro různé číselné výrazy. Dále se rozvíjí používání závorek v číselných výrazech obsahujících operace sčítání a odčítání, což je spojeno se studiem takových pravidel, jako je přičítání součtu k číslu, číslo k součtu, odečítání součtu od čísla a číslo od a součet. Ale při prvním uvádění závorek je důležité nasměrovat studenty, aby nejprve provedli akci v závorkách.

Učitelka upozorňuje děti na to, jak důležité je toto pravidlo při výpočtech dodržovat, jinak můžete dostat nesprávnou rovnost. Žáci například vysvětlí, jak se získávají významy výrazů: 70 - 36 +10 = 24, 60:10 - 3 = 2, proč jsou nesprávné, jaký význam tyto výrazy vlastně mají. Podobně studují pořadí akcí ve výrazech se závorkami ve tvaru: 65 - (26 - 14), 50: (30 - 20), 90: (2 * 5). Studenti jsou také obeznámeni s těmito výrazy a umí číst, psát a vypočítat jejich význam. Po vysvětlení pořadí akcí v několika takových výrazech děti formulují závěr: ve výrazech se závorkami se první akce provádí na číslech zapsaných v závorkách. Při pohledu na tyto výrazy není těžké ukázat, že akce v nich nejsou prováděny v pořadí, v jakém jsou napsány; pro zobrazení jiného pořadí jejich provádění a používají se závorky.

Následující zavádí pravidlo pro pořadí provádění akcí ve výrazech bez závorek, pokud obsahují akce prvního a druhého stupně. Vzhledem k tomu, že jednací řád je přijímán dohodou, učitel jej sděluje dětem nebo se jej žáci učí z učebnice. Aby studenti porozuměli zavedeným pravidlům, spolu s tréninkovými cvičeními zařazují řešení příkladů s vysvětlením pořadí jejich akcí. Účinná jsou i cvičení na vysvětlení chyb v pořadí úkonů. Například z uvedených dvojic příkladů se navrhuje zapisovat pouze ty, kde byly výpočty provedeny podle pravidel pořadí akcí:

Po vysvětlení chyb můžete zadat úkol: pomocí závorek změňte pořadí akcí tak, aby výraz měl zadanou hodnotu. Například, aby měl první z daných výrazů hodnotu rovnou 10, musíte jej napsat takto: (20+30):5=10.

Cvičení na výpočet hodnoty výrazu jsou zvláště užitečná, když žák musí aplikovat všechna naučená pravidla. Například výraz 36:6+3*2 je napsán na tabuli nebo v sešitech. Studenti vypočítají jeho hodnotu. Potom podle pokynů učitele děti pomocí závorek změní pořadí akcí ve výrazu:

• 36:6+3-2
• 36:(6+3-2)
• 36:(6+3)-2
• (36:6+3)-2

Zajímavým, ale obtížnějším cvičením je obrácené cvičení: umístění závorek tak, aby výraz měl danou hodnotu:

• 72-24:6+2=66
• 72-24:6+2=6
• 72-24:6+2=10
• 72-24:6+2=69

Zajímavá jsou také následující cvičení:

• 1. Uspořádejte závorky tak, aby byly splněny rovnosti:
• 25-17:4=2 3*6-4=6
• 24:8-2=4
• 2. Místo hvězdiček umístěte znaménka „+“ nebo „-“, abyste získali správné rovnosti:
• 38*3*7=34
• 38*3*7=28
• 38*3*7=42
• 38*3*7=48
• 3. Místo hvězdiček umístěte aritmetická znaménka, aby byla rovnost pravdivá:
• 12*6*2=4
• 12*6*2=70
• 12*6*2=24
• 12*6*2=9
• 12*6*2=0

Prováděním takových cvičení se studenti přesvědčí, že význam výrazu se může změnit, pokud se změní pořadí akcí.

Pro zvládnutí pravidel pořadí akcí je nutné ve 3. a 4. ročníku zařazovat stále složitější výrazy, při výpočtu hodnot, z nichž by student uplatňoval ne jedno, ale dvě nebo tři pravidla pořadí akcí. čas, například:

• 90*8- (240+170)+190,
• 469148-148*9+(30 100 - 26909).

V tomto případě by čísla měla být zvolena tak, aby umožňovala provádění akcí v libovolném pořadí, což vytváří podmínky pro vědomé uplatňování naučených pravidel.

Které operace se provádějí jako první: násobení a dělení nebo sčítání a...?

Porovnáme-li funkce sčítání a odčítání s násobením a dělením, pak se vždy nejprve počítá násobení a dělení.

V příkladu jsou dvě funkce, jako je sčítání a odčítání, stejně jako násobení a dělení, navzájem ekvivalentní. Pořadí provádění se určuje v pořadí zleva doprava.

Je třeba mít na paměti, že akce v závorkách mají v příkladu zvláštní prioritu. Tedy, i když je násobení mimo závorky a sčítání uvnitř závorek, měli byste nejprve sčítat a pak násobit.

Abyste tomuto tématu porozuměli, můžete zvážit všechny případy jeden po druhém.

Okamžitě vezměme v úvahu, že naše výrazy nemají závorky.

Pokud je tedy v příkladu první akcí násobení a druhou dělení, pak nejprve provedeme násobení.

Pokud je v příkladu první akcí dělení a druhou násobení, provedeme nejprve dělení.

V takových příkladech se akce provádějí v pořadí zleva doprava bez ohledu na to, která čísla jsou použita.

Pokud je v příkladech kromě násobení a dělení sčítání a odčítání, pak se nejprve provádí násobení a dělení a poté sčítání a odčítání.

V případě sčítání a odčítání také nezáleží na tom, který z těchto úkonů je proveden jako první, pořadí je dodržováno zleva doprava.

Zvažme různé možnosti:

V tomto příkladu je první akcí, kterou je třeba provést, násobení a poté sčítání.

V tomto případě nejprve hodnoty vynásobíte, poté vydělíte a teprve poté sečtete.

V tomto případě musíte nejprve provést všechny operace v závorkách a poté provést pouze násobení a dělení.

A tak je třeba pamatovat na to, že v každém vzorci se nejprve provádějí operace jako násobení a dělení, a pak teprve odčítání a sčítání.

Také s čísly, která jsou v závorkách, je musíte počítat v závorkách a teprve poté provádět různé manipulace, pamatujte si výše popsanou sekvenci.

První operace budou: násobení a dělení.

Teprve poté se provádí sčítání a odčítání.

Pokud však existuje závorka, akce, které jsou v nich, budou provedeny jako první. I když jde o sčítání a odčítání.

Například:

V tomto příkladu nejprve vynásobíme, pak 4 x 5, pak přičteme 4 k 20. Dostaneme 24.

Ale pokud je to takto: (4+5)*4, tak nejprve provedeme sčítání, dostaneme 9. Poté 9 vynásobíme 4. Dostaneme 36.

Pokud příklad obsahuje všechny 4 operace, pak je nejprve násobení a dělení a poté sčítání a odčítání.

Nebo v příkladu 3 různých akcí, pak první bude buď násobení (nebo dělení), a pak buď sčítání (nebo odčítání).

Když NEJSOU ZÁRUKY.

Příklad: 4-2*5:10+8=11,

1 akce 2*5 (10);

2. dějství 10:10 (1);

3 akce 4-1 (3);

4 akce 3+8 (11).

Všechny 4 operace lze rozdělit do dvou hlavních skupin, jedna - sčítání a odčítání, druhá - násobení a dělení. První bude akce, která je v příkladu první, tedy ta úplně vlevo.

Příklad: 60-7+9=62, nejprve potřebujete 60-7, pak se stane (53) +9;

Příklad: 5*8:2=20, nejprve potřebujete 5*8, pak se stane (40) :2.

Když v příkladu JSOU ZÁVĚRKY, nejprve se provedou akce v závorce (podle výše uvedených pravidel) a zbytek se provede jako obvykle.

Příklad: 2+(9-8)*10:2=7.

1 akce 9-8 (1);

2. akce 1*10 (10);

3. dějství 10:2 (5);

4 akce 2+5 (7).

Záleží na tom, jak je výraz napsán, podívejme se na nejjednodušší číselný výraz:

18 - 6:3 + 10x2 =

Nejprve provádíme operace s dělením a násobením, poté postupně zleva doprava s odčítáním a sčítáním: 18-2+20 = 36

Pokud se jedná o výraz se závorkami, proveďte operace v závorkách, poté násobení nebo dělení a nakonec sčítání/odčítání, například:

(18-6) : 3 + 10 x 2 = 12:3 + 20 = 4+20=24

Vše je správně: nejprve proveďte násobení a dělení, poté sčítání a odčítání.

Pokud v příkladu nejsou žádné závorky, pak se nejprve provede násobení a dělení v pořadí a poté se provede sčítání a odčítání, stejně v pořadí.

Pokud příklad obsahuje pouze násobení a dělení, pak se akce provedou v pořadí.

Pokud příklad obsahuje pouze sčítání a odčítání, pak se akce také provedou v pořadí.

Nejprve se operace v závorkách provádějí podle stejných pravidel, tedy nejprve násobení a dělení a teprve potom sčítání a odčítání.

22-(11+3X2)+14=19

Pořadí provádění aritmetických operací je přísně předepsáno, aby nedocházelo k nesrovnalostem při provádění stejného typu výpočtů různými lidmi. Nejprve se provádí násobení a dělení, pak sčítání a odčítání, pokud akce stejného řádu následují jedna po druhé, pak se provádějí v pořadí zleva doprava.

Pokud při psaní matematického výrazu používáte závorky, měli byste nejprve provést akce uvedené v závorkách. Závorky pomáhají změnit pořadí, když je nutné nejprve provést sčítání nebo odčítání a poté násobení a dělení.

Jakékoli závorky lze rozbalit a pořadí provedení bude opět správné:

6*(45+15) = 6*45 +6*15

Lépe hned v příkladech:

• 1+2*3/4-5=?

V tomto případě nejprve provedeme násobení, protože je nalevo od dělení. Poté rozdělení. Pak sčítání, kvůli umístění více vlevo, a na konci odčítání.

• 1*3/(2+4)?

Nejprve provedeme výpočet v závorce, poté násobení a dělení.

• 1+2*(3-1*5)=?

Nejprve provedeme operace v závorkách: násobení, pak odčítání. Následuje násobení mimo závorku a sčítání na konci.

Násobení a dělení jsou na prvním místě. Pokud jsou v příkladu závorky, je akce v závorkách uvažována na začátku. Ať už je znamení jakékoli!

Zde je třeba pamatovat na několik základních pravidel:

1. Pokud v příkladu nejsou žádné závorky a existují operace - pouze sčítání a odčítání, nebo pouze násobení a dělení - v tomto případě se všechny akce provádějí v pořadí zleva doprava.

Například 5+8-5=8 (vše děláme v daném pořadí – přičteme 8 k 5 a poté odečteme 5)

1. Pokud příklad obsahuje smíšené operace - sčítání, odčítání, násobení a dělení, pak nejprve provedeme operace násobení a dělení a poté teprve sčítání nebo odčítání.

Například 5+8*3=29 (nejprve vynásobte 8 3 a poté přidejte 5)

1. Pokud příklad obsahuje závorky, nejprve se provedou akce v závorkách.

Například 3*(5+8)=39 (nejprve 5+8 a poté vynásobte 3)

Chcete-li správně vyhodnotit výrazy, ve kterých je třeba provést více než jednu operaci, musíte znát pořadí, ve kterém se aritmetické operace provádějí. Aritmetické operace ve výrazech bez závorek jsou dohodnuty v tomto pořadí:

1. Pokud výraz obsahuje umocňování, pak se tato akce provede nejdříve v pořadí, v jakém následuje, tj. zleva doprava.
2. Poté (pokud jsou ve výrazu přítomny) se provedou operace násobení a dělení v pořadí, v jakém se objevují.
3. Poslední operace (pokud jsou ve výrazu přítomny) jsou operace sčítání a odčítání v pořadí, v jakém se objevují.

Jako příklad zvažte následující výraz:

Nejprve musíte provést umocnění (odmocni číslo 4 a krychli číslo 2):

3 16 - 8: 2 + 20

Poté se provede násobení a dělení (3 násobeno 16 a 8 děleno 2):

A na samém konci se provede odčítání a sčítání (odečtěte 4 od 48 a přidejte 20 k výsledku):

48 - 4 + 20 = 44 + 20 = 64

Akce první a druhé etapy

Aritmetické operace se dělí na operace první a druhé fáze. Volá se sčítání a odčítání akce první fáze, násobení a dělení - akce druhé fáze.

Pokud výraz obsahuje akce pouze jednoho kroku a nejsou v něm žádné závorky, pak se akce provádějí v pořadí, v jakém se zobrazují zleva doprava.

Příklad 1

15 + 17 - 20 + 8 - 12

Řešení. Tento výraz obsahuje akce pouze jedné fáze - první (sčítání a odčítání). Je nutné určit pořadí akcí a provést je.

Odpovědět: 42.

Pokud výraz obsahuje akce obou fází, pak se nejprve provedou akce druhé fáze v pořadí, v jakém se objeví (zleva doprava), a poté akce první fáze.

Příklad. Vypočítejte hodnotu výrazu:

24: 3 + 5 2 - 17

Řešení. Tento výraz obsahuje čtyři akce: dvě z první fáze a dvě z druhé. Stanovme si pořadí, v jakém se provádějí: podle pravidla bude první akcí dělení, druhou násobení, třetí sčítání a čtvrtou odečítání.

Nyní se pustíme do výpočtu.