Формула объема конуса в которой есть диаметр. Все формулы объемов геометрических тел

Объём конуса выражается такой же формулой, что и объём пирамиды: V = 1 / 3 Sh ,

где V - объём конуса, S - площадь основания конуса, h - его высота.

Окончательно V = 1 / 3 πR 2 h , где R - радиус основания конуса.

Получение формулы объёма конуса можно пояснить таким рассуждением:

Пусть дан конус (рис). Впишем в него правильную пирамиду, т. е. построим внутри конуса такую пирамиду, вершина которой совпадает с вершиной конуса, а основанием служит правильный многоугольник, вписанный в основание конуса.

Объём этой пирамиды выразится формулой: V’ = 1 / 3 S’h , где V - объём пирамиды,

S’ - площадь её основания, h - высота пирамиды.

Если при этом за основание пирамиды взять многоугольник с очень большим числом сторон, то площадь основания пирамиды будет весьма мало отличаться от площади круга, а объём пирамиды - весьма мало отличаться от объёма конуса. Если, пренебречь этими различиями в размерах, то объём конуса выразится следующей формулой:

V = 1 / 3 Sh , где V - объём конуса, S - площадь основания конуса, h - высота конуса.

Заменив S через πR 2 , где R - радиус круга, получим формулу: V = 1 / 3 πR 2 h , выражающую объём конуса.

Примечание. В формуле V = 1 / 3 Sh поставлен знак точного, а не приближённого равенства, хотя на основании проведённого рассуждения мы могли бы его считать приближённым, но в старших классах средней школы доказывается, что равенство

V = 1 / 3 Sh точное, а не приближённое.

Объем произвольного конуса

Теорема. Объем произвольного конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту, т.е.

V = 1 / 3 QH, (1)

где Q - площадь основания, а Н - высота конуса.

Рассмотрим конус с вершиной S и основанием Ф (рис.).

Пусть площадь основания Ф равна Q, а высота конуса равна Н. Тогда существуют последовательности многоугольников Ф n и Ф’ n с площадями Q n и Q’ n таких, что

Ф n ⊂ Ф n ⊂ Ф’ n и $\lim_{n \rightarrow \infty}$ Q’ n = $\lim_{n \rightarrow \infty}$ Q n = Q.

Очевидно, что пирамида с вершиной S и основанием Ф’ n будет вписанной в данный конус, а пирамида с вершиной S и основанием Ф n - описанной около конуса.

Объемы этих пирамид соответственно равны

V n = 1 / 3 Q n H , V’ n = 1 / 3 Q’ n H

$\lim_{n \rightarrow \infty}$ V n = $\lim_{n \rightarrow \infty}$ V’ n = 1 / 3 QH

то формула (1) доказана.

Следствие. Объем конуса, основанием которого является эллипс с полуосями а и b, вычисляется по формуле

V = 1 / 3 π ab H (2)

В частности, объем конуса, основанием которого является круг радиуса R, вычисляется по формуле

V = 1 / 3 π R 2 H (3)

где Н - высота конуса.

Как известно, площадь эллипса с полуосями а и b равна π ab , и поэтому формула (2) получается из (1) при Q = π ab . Если а = b = R, то получается формула (3).

Объем прямого кругового конуса

Теорема 1. Объем прямого кругового конуса с высотой Н и радиусом основания R вычисляется по формуле

V = 1 / 3 π R 2 H

Данный конус можно рассматривать как тело, полученное вращением треугольника с вершинами в точках О(0; 0),В(Н; 0), А(Н; R) вокруг оси Ох (рис.).

Треугольник ОАВ является криволинейной трапецией, соответствующей функции

у = R / H х , х ∈ . Поэтому, используя известную формулу, получаем

$$ V=\pi\int_{0}^{H}(\frac{R}{H}x)^2dx=\\=\frac{\pi R^2}{H^2}\cdot\frac{x^3}{3}\left|\begin{array}{c}H\\\\ 0\end{array}\right.=\\=\frac{1}{3}\pi R^2H $$

Следствие. Объем прямого кругового конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту, т. е.

где Q - площадь основания , а H - высота конуса.

Теорема 2. Объем усеченного конуса с радиусами оснований r и R и высотой H вычисляется по формуле

V = 1 / 3 πH(r 2 + R 2 + r R).

Усеченный конус можно получить вращением вокруг оси Ох трапеции О ABC (рис.).

Прямая АВ проходит через точки (0; r ) и (H; R), поэтому она имеет уравнение

$$ y=\frac{R-r}{H}x + r $$

получаем

$$ V=\pi\int_{0}^{H}(\frac{R-r}{H}x + r)^2dx $$

Для вычисления интеграла сделаем замену

$$ u=\frac{R-r}{H}x + r, du=\frac{R-r}{H}dx $$

Очевидно, когда х изменяется в пределах от 0 до H, переменная и изменяется от r до R, и поэтому

$$ V=\pi\int_{r}^{R}u^2\frac{H}{R-r}du=\\=\frac{\pi H}{R-r}\cdot\frac{u^3}{3}\left|\begin{array}{c}R\\\\ r\end{array}\right.=\\=\frac{\pi H}{3(R-r)}(R^3-r^3)=\\=\frac{1}{3}\pi H(R^2 + r^2 + Rr) $$

Геометрия наука непростая, но полезная. Все мы в школе проходили вычисление объемов трехмерных тел, но не все хорошо помнят формулы этих вычислений. Эта статья поможет вам освежить в памяти знания о том, как найти объем конуса. Данная трехмерная фигура образована круговым вращением прямоугольного треугольника. Вычислить его объем можно разными способами, в зависимости от того, какими исходными данными вы владеете.

Инструкция:

В большинстве случаев для вычисления используется радиус окружности основания и высота. Формула объема конуса в таком случае имеет вид: V= πRh , где π=3.14 , R – радиус основания, h – высота фигуры. Проще говоря, этой формулой мы вычисляем площадь основания, и умножаем ее на высоту. Однако, вычисление объема конуса может иметь другой вид в том случае, если вам известны другие параметры вашей фигуры.
Если вызнаете длину боковой стороны конуса и радиус основания, для нахождения объема фигуры вам потребуется выяснить, какова ее высота. В этом нам поможет теорема Пифагора , потому как радиус основания в данном случае является катетом прямоугольного треугольника, а боковая сторона, соответственно, гипотенузой . Для того, чтобы найти длину второго катета, который представляет собой высоту конуса, воспользуемся хорошо всем знакомой формулой a^2+b^2=c^2.
Но, как найти объем конуса, если ни длина боковой стороны, ни радиус основания неизвестны? В таком случае вам необходимо знать градус угла при вершине конуса и его высоту. Владея этими данными, вы можете вычислить радиус основания. Не забываем о том, что конус – фигура, образованная вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Если угол при вершине разделить надвое, вы получите градус одного из двух острых углов этого треугольника. Используя определения тригонометрических функций, мы можем выяснить длину стороны противоположной этому углу, то есть, в нашем случае, радиуса основания. Он, в этом случае будет равен l*sin(α) , где l – длина от вершины конуса до основания, высота, соответственно, будет равна l*cos(α) , используя эти значения, выводим следующую формулу радиуса основания R= h/cos(α)*sin(α) или, равнозначно, R = h*tg(α) .

Шар, объем которого равен 8π, вписан в куб. Найдите объем куба.

Решение

Пусть a - это сторона куба. Тогда объем куба равен V = a 3 .

Так как шар вписан в куб, то радиус шара равен половине ребра куба, т.е R = a/2 (см. рис.).

Объем шара равен V ш = (4/3)πR 3 и равен 8π, поэтому

(4/3)πR 3 = 8π,

А объем куба равен V = a 3 = (2R) 3 = 8R 3 = 8*6 = 48.

Задание B9 (Типовые варианты 2015)

Объем конуса равен 32. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

Решение

Рассмотрим задачи:

72353. Объем конуса равен 10. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

Сразу отметим, что исходный и отсечённый конус подобны и если рассматривать отсечённый конус относительно исходного, то можно сказать так: меньший конус подобен большему с коэффициентом равным одной второй или 0,5. Можем записать:

Можно было записать:

Можно было рассудить так!

Рассмотрим исходный конус относительно отсечённого. Можно сказать – больший конус подобен отсечённому с коэффициентом равным двум, запишем:

Теперь посмотрите решение без использования свойств подобия.

Объём конуса равен одной трети произведения площади его основания и высоты:

Рассмотрим боковую проекцию (вид сбоку) с указанным сечением:

Пусть радиус большего конуса равен R, высота равна Н. Сечение (основание меньшего конуса) проходит через середину высоты, значит его высота будет равна Н/2. А радиус основания равен R/2, это следует из подобия треугольников.

Запишем объём исходного конуса:

Объём отсечённого конуса будет равен:

Столь подробные решения представлены для того, чтобы вы видели как можно выстроить рассуждения. Действуйте любым способом – главное, чтобы вы понимали суть решения. Пусть путь, который вы выбрали будет не рационален, важен результат (верный результат).

Ответ: 1,25

318145. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает половину высоты. Объём жидкости равен 70 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

Данная задача схожа с предыдущей. Хоть речь здесь и идёт о жидкости, принцип решения один и тот же.

Имеем два конуса – это сам сосуд и «малый» конус (наполненный жидкостью), они являются подобными. Известно, что объёмы подобных тел соотносятся следующим образом:

Исходный конус (сосуд) подобен конусу наполненному жидкостью с коэффициентом равным 2, так как сказано, что уровень жидкости достигает половину высоты. Можно записать подробнее:

Вычисляем:

Таким образом, долить нужно:

Другие задачи с жидкостями.

74257. Найдите объем V конуса, образующая которого равна 44 и наклонена к плоскости основания под углом 30 0 . В ответе укажите V/Пи.

Объем конуса:

Высоту конуса найдем по свойству прямоугольного треугольника.

Катет лежащий против угла 30° равен половине гипотенузы. Гипотенуза, в данном случае, является образующей конуса. Следовательно высота конуса равна 22.

Квадрат радиуса основания найдем по теореме Пифагора:

*Нам нужен квадрат радиуса, а не сам радиус.

Геометрия как наука сформировалась в Древнем Египте и достигла высокого уровня развития. Известный философ Платон основал Академию, где пристальное внимание уделялось систематизации имеющихся знаний. Конус как одна из геометрических фигур впервые упоминается в известном трактате Евклида "Начала". Евклид был знаком с трудами Платона. Сейчас мало кто знает, что слово "конус" в переводе с греческого языка обозначает "сосновая шишка". Греческий математик Евклид, живший в Александрии, по праву считается основоположником геометрической алгебры. Древние греки не только стали преемниками знаний египтян, но и значительно расширили теорию.

История определения конуса

Геометрия как наука появилась из практических требований строительства и наблюдений за природой. Постепенно опытные знания обобщались, а свойства одних тел доказывались через другие. Древние греки ввели понятие аксиом и доказательств. Аксиомой называется утверждение, полученное практическим путем и не требующее доказательств.

В своей книге Евклид привел определение конуса как фигуры, которая получается вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. Также ему принадлежит основная теорема, определяющая объем конуса. А доказал эту теорему древнегреческий математик Евдокс Книдский.

Другой математик древней Греции, Аполлоний Пергский, который был учеником Евклида, развил и изложил теорию конических поверхностей в своих книгах. Ему принадлежит определение конической поверхности и секущей к ней. Школьники наших дней изучают Евклидову геометрию, сохранившую основные теоремы и определения с древних времен.

Основные определения

Прямой круговой конус образован вращением прямоугольного треугольника вокруг одного катета. Как видно, понятие конуса не изменилось со времен Евклида.

Гипотенуза AS прямоугольного треугольника AOS при вращении вокруг катета OS образует боковую поверхность конуса, поэтому называется образующей. Катет OS треугольника превращается одновременно в высоту конуса и его ось. Точка S становится вершиной конуса. Катет AO, описав круг (основание), превратился в радиус конуса.

Если сверху провести плоскость через вершину и ось конуса, то можно увидеть, что полученное осевое сечение представляет собой равнобедренный треугольник, в котором ось является высотой треугольника.

где C — длина окружности основания, l — длина образующей конуса, R — радиус основания.

Формула расчета объема конуса

Для расчета объема конуса используется следующая формула:

где S является площадью основания конуса. Так как основание — круг, его площадь рассчитывается так:

Отсюда следует:

где V — объем конуса;

n — число, равное 3,14;

R — радиус основания, соответствующий отрезку AO на рисунке 1;

H — высота, равная отрезку OS.

Усеченный конус, объем

Имеется прямой круговой конус. Если плоскостью, перпендикулярной высоте, отсечь верхнюю часть, то получится усеченный конус. Два его основания имеют форму круга с радиусами R 1 и R 2 .

Если прямой конус образуется вращением прямоугольного треугольника, то усеченный конус — вращением прямоугольной трапеции вокруг прямой стороны.

Объем усеченного конуса рассчитывается по следующей формуле:

V=n*(R 1 2 +R 2 2 +R 1 *R 2)*H/3.

Конус и его сечение плоскостью

Перу древнегреческого математика Аполлония Пергского принадлежит теоретический труд «Конические сечения». Благодаря его работам в геометрии появились определения кривых: параболы, эллипса, гиперболы. Рассмотрим, причем здесь конус.

Возьмем прямой круговой конус. Если плоскость пересекает его перпендикулярно оси, то в разрезе образуется круг. Когда секущая пересекает конус под углом к оси, то в разрезе получается эллипс.

Секущая плоскость, перпендикулярная основанию и параллельная оси конуса, образует на поверхности гиперболу. Плоскость, разрезающая конус под углом к основанию и параллельная касательной к конусу, создает на поверхности кривую, которую назвали параболой.

Решение задачи

Даже простая задача о том, как изготовить ведро определенного объема, требует знаний. Например, необходимо рассчитать размеры ведра, чтобы оно имело объем 10 литров.

V=10 л=10 дм 3 ;

Развертка конуса имеет вид, схематически приведенный на рисунке 3.

L - образующая конуса.

Чтобы узнать площадь поверхности ведра, которая вычисляется по следующей формуле:

S=n*(R 1 +R 2)*L,

необходимо вычислить образующую. Ее находим из величины объема V=n*(R 1 2 +R 2 2 +R 1 *R 2)*H/3.

Отсюда H=3V/n*(R 1 2 +R 2 2 +R 1 *R 2).

Усеченный конус образуется вращением прямоугольной трапеции, в которой боковая сторона является образующей конуса.

L 2 =(R 2- R 1) 2 +H 2 .

Теперь у нас имеются все данные, чтобы построить чертеж ведра.

Почему пожарные ведра имеют форму конуса?

Кто задумывался, почему пожарные ведра имеют, казалось бы, странную коническую форму? А это не просто так. Оказывается, коническое ведро при тушении пожара имеет много преимуществ перед обычным, имеющим форму усеченного конуса.

Во-первых, как оказывается, пожарное ведро быстрее наполняется водой и при переноске она не расплескивается. Конус, объем которого больше обычного ведра, за один раз позволяет перенести больше воды.

Во-вторых, воду из него можно выплеснуть на большее расстояние, чем из обычного ведра.

В-третьих, если коническое ведро сорвется с рук и упадет в огонь, то вся вода выливается на очаг возгорания.

Все перечисленные факторы позволяют сэкономить время — главный фактор при тушении пожара.

Практическое применение

У школьников часто возникает вопрос о том, зачем учить, как рассчитывать объем разных геометрических тел, в том числе конуса.

А инженеры-конструкторы постоянно сталкиваются с необходимостью рассчитать объем конических частей деталей механизмов. Это наконечники сверл, части токарных и фрезерных станков. Форма конуса позволят сверлам легко входить в материал, не требуя первоначальной наметки специальным инструментом.

Объем конуса имеет куча песка или земли, высыпанная на землю. При необходимости, проведя несложные измерения, можно рассчитать ее объем. У некоторых вызовет затруднение вопрос о том, как узнать радиус и высоту кучи песка. Вооружившись рулеткой, измеряем окружность холмика C. По формуле R=C/2n узнаем радиус. Перекинув веревку (рулетку) через вершину, находим длину образующей. А вычислить высоту по теореме Пифагора и объем не составит труда. Конечно, такой расчет приблизителен, но позволяет определить, не обманули вас, привезя тонну песка вместо куба.

Некоторые здания имеют форму усеченного конуса. Например, Останкинская телебашня приближается к форме конуса. Ее можно представить состоящей из двух конусов, поставленных друг на друга. Купола старинных замков и соборов представляют собой конус, объем которого древние зодчие рассчитывали с удивительной точностью.

Если внимательно присмотреться к окружающим предметам, то многие из них являются конусами:

воронки-лейки для наливания жидкостей;
рупор-громкоговоритель;
парковочные конусы;
абажур для торшера;
привычная новогодняя елочка;
духовые музыкальные инструменты.

Как видно из приведенных примеров, умение рассчитать объем конуса, площадь его поверхности необходимо в профессиональной и повседневной жизни. Надеемся, что статья придет вам на помощь.

Тела вращения, изучаемые в школе, - это цилиндр, конус и шар.

Если в задаче на ЕГЭ по математике вам надо посчитать объем конуса или площадь сферы - считайте, что повезло.

Применяйте формулы объема и площади поверхности цилиндра, конуса и шара. Все они есть в нашей таблице. Учите наизусть. Отсюда начинается знание стереометрии.

Иногда неплохо нарисовать вид сверху. Или, как в этой задаче, - снизу.

2. Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду?

Всё просто - рисуем вид снизу. Видим, что радиус большего круга в раз больше, чем радиус меньшего. Высоты у обоих конусов одинаковы. Следовательно, объем большего конуса будет в раза больше.

Еще один важный момент. Помним, что в задачах части В вариантов ЕГЭ по математике ответ записывается в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Поэтому никаких или у вас в ответе в части В быть не должно. Подставлять приближенное значение числа тоже не нужно! Оно обязательно должно сократиться!. Именно для этого в некоторых задачах задание формулируется, например, так: «Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на ».

А где же еще применяются формулы объема и площади поверхности тел вращения? Конечно же, в задаче С2 (16). Мы тоже расскажем о ней.