Основные понятия теории абстрактных автоматов. Абстрактный цифровой автомат называется инициальным, если на множестве его состояний А выделяется начальное состояние ао

Тема 5.1. Переработка информации с помощью конечных автоматов

Глава 5. Основы теории конечных автоматов

Резюме по теме

Вопросы для повторения

1.Маршрут это?

2.В каком случае маршрут называется циклическим?

3.Что представляет собой цепь?

4.В каком случае цепь является простой цепью?

5.Дайте определение Эйлерова цикла?

6.В чем заключается отличие Эйлерова и Гамильтонова циклов?

7.Когда граф называется деревом?

8.Чем являются связные компоненты леса?

9.Вершина называется концевой если?

В данной теме рассмотрены такие понятия как маршрут, цикл, цепь, контур и так далее применительно графов. Приведены Эйлеров и Гамильтонов циклы. Показана отдельная структура графов, которая определяется как дерево. Совокупность данных структур характеризуется как лес.

Цель : рассмотреть основы теории конечных автоматов.

Задачи :

1. Рассмотреть понятие абстрактного автомата.

2. Выявить способы задания автоматов.

3. Рассмотреть взаимосвязь между автоматами Миля и Мура.

Автомат - дискретный преобразователь информации, способный под действием входных сигналов переходить из состояния в состояние и вырабатывать выходные сигналы.

Абстрактный автомат задается с помощью следующей пятерки множеств:

А = { X, Y, S, d , l} ,

где Х = {X 1 , X 2 ... X M } – входной алфавит автомата или множество входных символов;

Y = {Y 1 , Y 2 ... Y N } – выходной алфавит автомата или множество выходных символов;

S = {S 0 , S 1 . . . S K-1 } – алфавит или множество внутренних состояний автомата;

S 0 – начальное состояние автомата (в момент времени t = 0 ).

d – функция переходов;

l - функция выходов автомата.

Автомат называется конечным автоматом , если множества X, Y, S конечны (или счетны).

Автомат функционирует в дискретные моменты времени t = 0, 1, 2 ...n (рис. 5.1).

Рис. 5.1. Конечный автомат

В каждый момент времени автомат находится в одном из состояний из множества S .

Функция переходов d t следующее состояние автомата в зависимости от текущего состояния и входного сигнала или символа входного алфавита. Другими словами, функция d каждой паре «состояние – входной сигнал» ставит в соответствие следующее состояние.

d: S´X ® S; d - есть отображение декартова произведения S´X в S .

Функция переходов может быть записана следующим образом: S t+1 = d(S t , X t) .

Функция выходов l определяет в каждый момент времени t выходной сигнал автомата.

Существует две модели автоматов – автомат Мили и автомат Мура. Они отличаются функцией выходов, которая определяется следующим образом:

Y t = l (S t , X t) - для автомата Мили, или l: S´X®Y .

Y t = l (S t) - для автомата Мура.

В автомате Мили выходной сигнал в момент времени t зависит как от входного сигнала в момент времени t , так и от текущего состояния.

В автомате Мура выходной сигнал явно от входного не зависит и определяется только текущим состоянием.

Состояние автомата – это память автомата о прошлых входных воздействиях.

Автоматы также называют последовательностными машинами (Sequential Machines), так как входная последовательность преобразуется в последовательность состояний и выходную последовательность.

Можно сказать, что абстрактный автомат имеет 1 вход и 1 выход. На вход автомата поступают последовательности букв входного алфавита, на выходе формируются выходные последовательности.

Слово или цепочка – это конечная последовательность символов (букв) входного алфавита. Должны выполняться следующие условия (условия автоматности):

1. Длины входных и выходных слов одинаковы;

2. Одинаковым начальным отрезкам входных слов соответствуют одинаковые начальные отрезки выходных слов.

Имеющего один вход, один выход и в каждый момент времени находящегося в одном состоянии из множества возможных. На вход этому устройству поступают символы одного алфавита , на выходе оно выдаёт символы (в общем случае) другого алфавита.

Формально абстрактный автомат определяется как пятерка

$\backslash boldsymbol\{A\; =\; (S,\; X,\; Y,\; \backslash delta,\; \backslash lambda)\}$

Ограничение числа параметров абстрактного автомата определило такое понятие как конечный автомат .

Функционирование автомата состоит в порождении двух последовательностей: последовательности очередных состояний автомата $\backslash boldsymbol\{s\_1s\_2s\_3...\}$ и последовательности выходных символов $\backslash boldsymbol\{y\_1y\_2y\_3...\}$, которые для последовательности символов $\backslash boldsymbol\{x\_1x\_2x\_3...\}$ разворачиваются в моменты дискретного времени t = 1, 2, 3, … Моменты дискретного времени получили название тактов.

Функционирование автомата в дискретные моменты времени t может быть описано системой рекуррентных соотношений: $\backslash boldsymbol\{s(t+1)=\backslash delta(s(t),x(t));\}$

$\backslash boldsymbol\{y(t)=\backslash lambda(s(t),x(t)).\}$

Для уточнения свойств абстрактных автоматов введена классификация .

Абстрактные автоматы образуют фундаментальный класс дискретных моделей как самостоятельная модель, и как основная компонента машин Тьюринга , автоматов с магазинной памятью , конечных автоматов и других преобразователей информации.

Напишите отзыв о статье "Абстрактный автомат"

Отрывок, характеризующий Абстрактный автомат

Кутузов, сопутствуемый своими адъютантами, поехал шагом за карабинерами.
Проехав с полверсты в хвосте колонны, он остановился у одинокого заброшенного дома (вероятно, бывшего трактира) подле разветвления двух дорог. Обе дороги спускались под гору, и по обеим шли войска.
Туман начинал расходиться, и неопределенно, верстах в двух расстояния, виднелись уже неприятельские войска на противоположных возвышенностях. Налево внизу стрельба становилась слышнее. Кутузов остановился, разговаривая с австрийским генералом. Князь Андрей, стоя несколько позади, вглядывался в них и, желая попросить зрительную трубу у адъютанта, обратился к нему.
– Посмотрите, посмотрите, – говорил этот адъютант, глядя не на дальнее войско, а вниз по горе перед собой. – Это французы!
Два генерала и адъютанты стали хвататься за трубу, вырывая ее один у другого. Все лица вдруг изменились, и на всех выразился ужас. Французов предполагали за две версты от нас, а они явились вдруг, неожиданно перед нами.
– Это неприятель?… Нет!… Да, смотрите, он… наверное… Что ж это? – послышались голоса.
Князь Андрей простым глазом увидал внизу направо поднимавшуюся навстречу апшеронцам густую колонну французов, не дальше пятисот шагов от того места, где стоял Кутузов.
«Вот она, наступила решительная минута! Дошло до меня дело», подумал князь Андрей, и ударив лошадь, подъехал к Кутузову. «Надо остановить апшеронцев, – закричал он, – ваше высокопревосходительство!» Но в тот же миг всё застлалось дымом, раздалась близкая стрельба, и наивно испуганный голос в двух шагах от князя Андрея закричал: «ну, братцы, шабаш!» И как будто голос этот был команда. По этому голосу всё бросилось бежать.
Смешанные, всё увеличивающиеся толпы бежали назад к тому месту, где пять минут тому назад войска проходили мимо императоров. Не только трудно было остановить эту толпу, но невозможно было самим не податься назад вместе с толпой.
Болконский только старался не отставать от нее и оглядывался, недоумевая и не в силах понять того, что делалось перед ним. Несвицкий с озлобленным видом, красный и на себя не похожий, кричал Кутузову, что ежели он не уедет сейчас, он будет взят в плен наверное. Кутузов стоял на том же месте и, не отвечая, доставал платок. Из щеки его текла кровь. Князь Андрей протеснился до него.
– Вы ранены? – спросил он, едва удерживая дрожание нижней челюсти.
– Раны не здесь, а вот где! – сказал Кутузов, прижимая платок к раненой щеке и указывая на бегущих. – Остановите их! – крикнул он и в то же время, вероятно убедясь, что невозможно было их остановить, ударил лошадь и поехал вправо.

6 Основные понятия и определения теории абстрактных авто­матов (лекция №9)
Цифровой (дискретный) автомат (ЦА) – устройство, которое осуществляет прием, хранение и/или преобразование дискретной информации по некоторому алгоритму. Примерами ЦА могут служить живые организмы, процессоры, бытовая техника калькуляторы – это реальные устройства, а также есть абстрактные, например, модели алгоритмов. ЦА относятся к последовательным устройствам. Этот класс устройств определяется тем , что значение выходов зависит не только от входных значений, но и от текущего состояния устройства. Т.е. вводится понятие – состояние . Для того чтобы хранить данные о состоянии, в котором находится устройство в ЦА используются запоминающие элементы – триггеры.
6.1 Математическая модель цифрового автомата
Цифровой автомат - устройство, характеризующееся набором внутренних состояний в которое оно попадет под воз­действием команд заложенной в него программы. Переход автомата из одного состояния в другое осуществляется в определенный момент времени.

Математической моделью ЦА (а в общем случае любого дискретного устройства) является так называемый абстракт­ный автомат, определенный как 6-компонентный кортеж: S=(A,X,Y,,,а 1) у которого:

1. 
   A={a 1 , a 2 , ... ,a m } – алфавит состояний – множество состояний, в которых может находиться проектируемый цифровой автомат. Количество состояний играет важную роль при реализации ЦА. Чем больше состояний, тем больше требуется запоминающих элементов(триггеров) для построения ЦА.
2. 
   X={x 1 , x 2 , ... ,x f } – алфавит входных значений – множество значений, которые могут поступать на вход ЦА. Например , если у автомата двухразрядный двоичный вход, то элементами алфавита могут быть 00, 01, 10 и 11.
3. 
   Y={y 1 , y 2 , ..., y g } – алфавит выходных значений – множество значений, которые могут быть установлены на выходе ЦА.
4. 
   : AXA – функция переходов a(t+1)=  (x(t),a(t)) . Функция переходов определяет, в какое состояние a(t+1) перейдет автомат под воздействием входного сигнала x(t) , если в текущий момент времени автомат находится в состоянии a(t).
5. 
    : AZW – функция выходов y (t )=  (a (t ), x (t )). Функция выходов определяет какое выходное значение y (t ) будет установлено на выходе автомата в зависимости от входного значения x (t ) и текущего состояния a (t ) .
6. 
   a i  A - начальное состояние автомата –состояние в которое устанавливается ЦА после подачи питания или после сброса

Рисунок 6.1 – Абстрактный автомат

Абстрактный автомат (рисунок 6.1) имеет один вход и один выход. Автомат работает в дискретном времени, принимающем целые неотрицательные значения t = 0,1,2,... В каждый момент t дискретного времени автомат находится в некотором состоянии a(t) из множества состояний автомата , причем в начальный момент t = 0 он всегда находится в начальном со­стоянии a(0)=a1. В момент t, будучи в состоянии a(t), автомат способен воспринять на входе букву входного алфавита X(t)  Z. В соответствии с функцией выходов он выдаст в тот же момент времени t букву выходного алфавита y(t)=(a(t), z(t)) и в соответствии с функцией переходов перейдет в следующее состояние a(t+1)=, a(t)  A, y(t)  Y.

Смысл понятия абстрактного автомата состоит в том, что он реализует некоторое отображение множества слов вход­ного алфавита X во множество слов выходного алфавита Y. Т.е. если на вход автомата, установленного в начальное состояние a1, подавать буква за буквой некоторую последовательность букв входного алфавита x(0), x(1),... - входное слово, то на выходе автомата будут последовательно появляться буквы выходного алфавита y(0), y(1),... - выходное слово. Т.о. выходное слово = (входное слово), где  - отображение, осуществляемое абстрактным автоматом.

На уровне абстрактной теории понятие "работа автомата" понимается как преобразование входных слов в выходные. Можно сказать, что в абстрактном автомате отвлекаемся от его структуры - содержимого прямоугольника (рисунок 6.1), рассматривая его как "черный ящик", т.е. основное внимание уделяем поведению автомата относительно внешней среды.

Понятие состояния в определении автомата введено в связи с тем, что часто возникает необходимость в описании пове­дения систем, выходы которых зависят не только от состояния входов в данный момент времени, но и от некоторой пре­дыстории, т.е. от сигналов , которые поступали на входы системы ранее. Состояния как раз и соответствуют некоторой памяти о прошлом, позволяя устранить время как явную переменную и выразить выходной сигнал как функцию со­стояния и входа в данный момент времени.

6.2 Классификация цифровых автоматов

Рассмотренные выше абстрактные автоматы можно разделить на:

1. 
   полностью определенные и частичные;
2. 
   детерминированные и вероятностные;
3. 
   синхронные и асинхронные;

Частичным называется абстрактный автомат, у которого функция переходов или функция выходов , или обе эти функ­ции определены не для всех пар (a i , z j).

К детерминированным относятся автоматы, у которых выполнено условие однозначности переходов: автомат, находя­щийся в некотором состоянии a i , под действием любого входного сигнала z j не может перейти более, чем в одно состоя­ние.

В противном случае это будет вероятностный автомат , в котором при заданном состоянии a i и заданном входном сиг­нале z j возможен переход с заданной вероятностью в различные состояния.

Для определения синхронных и асинхронных автоматов вводится понятие устойчивого состояния . Состояние a s автомата называется устойчивым, если для любого состояния a i и входного сигнала z j таких, что (a i , z j) = a s имеет место (a s , z j) = a s , т.е. состояние устойчиво, если попав в это состояние под действием некоторого сиг­нала zj, автомат выйдет из него только под действием другого сигнала z k , отличного от z j .

Автомат, у которого все состояния устойчивы - асинхронный .

Автомат называется синхронным , если он не является асинхронным.

Абстрактный автомат называется конечным , если конечны множества А = {a 1 , a 2 , ..., a m }, Z = {z 1 , z 2 , ..., z f }, W = {w 1 , w 2 , ..., w g }. Автомат носит название инициального , если в нем выделено начальное состояние a 1 .
6.3 Разновидности цифровых автоматов
На практике наибольшее распространение получили два класса автоматов - автоматы Мили (Mealy) и Мура (Moore).

Закон функционирования автомата Мили задается уравнениями:

Кроме автоматов Мили и Мура иногда оказывается удобным пользоваться совмещенной моделью автомата, так на­зываемым С- автоматом.

Абстрактный С- автомат можно представить в виде устройства с одним входом, на который поступают сигналы из входного алфавита X, и двумя выходами, на которых появляются сигналы из алфавитов Y и U. Отличие С - автомата от моделей Мили и Мура состоит в том, что он одновременно реализует две функции выходов  1 и  2 , каждая из которых характерна для этих моделей в отдельности. Закон функционирования С- автомата можно описать следующими уравнениями:
а(t+1) =(a(t), z(t)); w(t) = 1 (a(t), z(t)); u(t) =  2 (a(t)); t = 0, 1, 2, ...
Выходной сигнал U h = 2 (a m) выдается все время, пока автомат находится в состоянии a m . Выходной сигнал Wg= 1 (a m , z f) выдается во время действия входного сигнала Z f при нахождении автомата в состоянии a m .
7 Способы описания и задания автоматов (лекция№10)
Для того, чтобы задать автомат, необходимо описать все компоненты кортежа S=(A, X, Y, , , а 1). Множества А, X, Y описываются и задаются простым перечислением своих элементов. Среди многообразия различных способов заданий функций  и  (следовательно и всего автомата в целом) наибольшее распространение получили табличный и графиче­ский.
7.1 Табличный способ описания цифровых автоматов

При табличном способе описания цифровых автоматов применяется два вида таблиц – таблица переходов и таблица выходов.

Таблица переходов отображает функцию переходов. Строкам таблицы соответствуют состояния автомата, т.е. в таблице столько строк, сколько состояний у автомата. Столбцам таблицы соответствуют входные значения , которые могут поступать на входы ЦА, т.е. столбцом столько – сколько элементов во входном алфавите. На пересечении i-столбца и j-строки в ячейке таблицы указывается состояние в которое перейдет ЦА под воздействием входного сигнала x i (которому соответствует i-й столбец) из состояния a j (которому соответствует j-я строка). Таблица переходов приведена на рисунке 6.2

Таблица выходов для автомата Мура состоит из одного столбца. Строкам таблицы соответствуют состояния автомата, т.е. в таблице столько строк, сколько состояний у автомата. Пример таблицы приведен на рисунке 6.4

y 2

Рисунок 6.7 –Графическое представление автомата Мура

Рисунок 6.8 –Графическое представление автомата Мили

• 
  определение входного, выходного и алфавита состояний, функции переходов и выходов ;
• 
  задание графов автомата и таблиц переходов и выходов;
• 
  минимизацию числа состояний

8.1 Структура цифрового автомата

Внутреннюю структуру цифрового автомата можно изобразить, как показано на рисунке 8.1.

Рисунок 8.1 – Структурная схема цифрового автомата.

Блок памяти представляет собой набор триггеров, которые хранят разряды закодированного номера состояния. Количество триггеров зависит от количества состояний, в которых может находиться автомат. И вычисляется как:

N=log 2 M
где M – количество состояний, а N –количество триггеров
Комбинационная схема №2 реализует функцию выходов автомата и на ее выходе устанавливаются выходные значения автомата в соответствии с текущим состоянием автомата и входными значениями.

8.2 Минимизация числа состояний цифрового автомата
Часто при выполнении абстрактного синтеза вводятся избыточные состояния, эквивалентность которых не является очевидной. Избыточное количество состояний может привести к применению лишних триггеров, что усложнит КС1 и КС2. Поэтому очень важно выполнять минимизацию числа состояний перед его структурным синтезом.

Алгоритм минимизации основан на разбиении всего множества состояний на попарно непересекающиеся классы эквивалентных состояний и замене всего класса эквивалентности одним состоянием. Полученный в результате минимизированный автомат будет содержать столько состояний на сколько классов эквивалентности было разбито исходное множество состояний.

Определение Два состояния a s и a m являются эквивалентными, если
 (a s , E) =  (a m , E), где  - функция перехода, E – входное слово произвольной длины.

Другими словами, состояния эквивалентны, если в ответ на одни и те же входные слова вырабатывается одна и та же последовательность состояний, независимо от того в каком из двух состояний a s или a m находился автомат в начальный момент времени. Если два состояния эквивалентны , то одно состояние можно заменить на другое.

Кроме эквивалентных состояний существует понятие k-эквивалентных состояний: 1-эквивалентные, 2-эквивалентные и т.д.

Определение Два состояния a s и a m являются k - эквивалентными, если
 (a s , E k ) =  (a m , E k ), где  - функция перехода, E k – входное слово длины k .
Алгоритм минимизации:

1. 
   Находится последовательно разбиения П 1 , П 2 , … П К, П К+1 состояний автомата до тех пор пока на каком-то К+1 шаге П К.+1 станет равно П К. В этом случае полученное к-эквивалентное разбиение будет представлять собой полностью эквивалентные классы.
2. 
   В каждом классе эквивалентности выбирают по одному состоянию, которые образуют новое множество состояний минимизированного автомата.
3. 
   Для переопределения функций переходов и выходов вычеркивают строки, которые соответствую состояниям , не вошедшим в новое множество состояний минимизируемого автомата, а в остальных строка таблицы переходов все состояния заменяются на им эквивалентные состояния, которые вошли в новое множество.
4. 
   Если множество состоит из одного состояние, то у него нет эквивалентных состояний. Если все состояния входят в отдельные множества из одного состояния, то автомат нельзя минимизировать.
5. 
   Разбиение на множества начинается с 0-эквивалентного класса. В данном случае в одни множества попадают состояния с одинаковыми выходными сигналами.

По способу формирования функции выходов выделяют три типа абстрактных автоматов: автомат Мили, автомат Мура, С-автомат. Автомат Мили характеризуется системой уравнений:

y (t) =(a (t), x (t));

a (t+1) = δ (a (t), x (t)). (1-1)

Автомат Мура - системой уравнений:

a (t+1) = δ (a (t), x (t)). (1-2)

С-автомат - системой уравнений:

y 1 (t) =(a (t),x (t));

У 2 (t) = 2 (a (t));

a (t+1) =δ (a (t),x (t)).

Произвольный абстрактный автомат Мили или Мура (рис.1.1.) имеет один входной и один выходной каналы. Произвольный абстрактный С-автомат имеет один входной и два выходны х канала (рис.1.2.).

Рисунок 1.1 - Абстрактный автомат

Рисунок.1.2 Абстрактный С-автомат

Если на вход абстрактного автомата Мили или Мура, установленного в начальное состояние а о, подавать буква за буквой некоторую последовательность букв входного алфавита х (0), х (1),. - входное слово, то на выходе автомата будут последовательно появляться буквы выходного алфавита у (0), у (1),. - выходное слово. Для случая С-автомата на его выходах будут появляться две последовательности: y 1 (0), y 1 (1),. и y 2 (0), y 2 (1),. В абстрактном С - автомате выходной сигнал y 2 (t) =(a (t)) выдается все время, пока автомат находится в состоянии a (t). Выходной сигнал y 1 (t) =λ 1 (a (t),x (t)) выдается во время действия входного сигнала x (t) при нахождении С-автомата в состоянии a (t).

Таким образом, на уровне абстрактной теории функционирование цифрового автомата понимается как преобразование входных слов в выходные слова.

Выделяют полностью определенные и частичные автоматы.

Полностью определенным называется абстрактный цифровой автомат, у которого функция переходов или функция выходов, или обе эти функции определены для всех пар переходов (x i ,a j).

Частичным называется абстрактный цифровой автомат, у которого функция переходов или функция выходов, или обе эти функции определены не для всех пар переходов (x i ,a j).

Абстрактный цифровой автомат называется инициальным, если на множестве его состояний А выделяется начальное состояние а о.

1.3 Способы задания абстрактных автоматов

Чтобы задать конечный автомат S, необходимо описать все элементы множества: S={ X,A,Y,,,a o }. Существует несколько способов задания работы автомата, но наиболее часто используется табличный (матричный), графический, аналитический.

При табличном способе автомат задается двумя таблицами: таблицей переходов и таблицей выходов, или матрицей соединений. Таблица переходов произвольного полностью определенного автомата строится следующим образом: строки таблицы помечаютсябуквами входного алфавита автомата, а столбцы таблицы - буквами алфавита состояний автомата; В клетке таблицы переходов, находящейся на пересечении строки, отмеченной входным сигналом x i , и столбца отмеченного состоянием a j , ставится состояние а k , являющееся результатом перехода автомата из состояния a j под воздействием входного сигнала х i , что определяется выражением a k =(a j , х j).

Таблица 1.1 Таблица переходов автомата

Пример заполнения таблицы переходов некоторого абстрактного полностью определенного автомата с входным алфавитом X={х 1 , х 2 } - и алфавитом состояний A={a 1 , a 2 , а 3 } представлен в табл.1.2.

Таблица 1.2

Если абстрактный автомат частичный, то в клетке таблицы его переходов, находящейся, на пересечении строки, отмеченной входным сигналом и столбца отмеченного соответствующим состоянием (при условии, что переход в это состояние под действием данного входного сигнала не определен) ставится прочерк, и любое входное слово, приводящее к указанному переходу является запрещенным.

Заполнение остальных клеток аналогично случаю полностью определенного автомата. Вид таблицы переходов не зависит от типа задаваемого автомата (автомат Мили, Мура, С-автомат). Таблицы выходов автоматов Мили, Мура, С-автомата имеют различия.

Таблица выходов полностью определенного автомата Мили строится следующим образом: идентификация столбцов и строк, а также формат таблицы соответствуют таблице переходов полностью определенного автомата. В клетке таблицы выходов, находящейся на пересечении строки, отмеченной входным сигналом X j , и столбца, отмеченного состоянием а к, ставится выходной сигнал У m , который автомат выдает, находясь в состоянии а k при наличии входного сигнала Xj, что определяется выражением Ym=(а k , х j).

Таблица 1.3 Таблица выходов абстрактного автомата Мили.

Пример заполнения таблицы выходов некоторого абстрактного полностью определенного автомата с входным алфавитом X={x 1 , x 2 }, алфавитом состояний A={a 1 , а 2 , а 3 } и выходным алфавитом Y={y 1 , y 2 , y 3 }-представлен в табл.1.4.

Таблица 1.4

Очевидно, абстрактный полностью определенный С-автомат задается двумя таблицами выходов, первая из которых есть таблица выходов автомата Мили, а вторая - Мура. Если автомат частичный, то в некоторых клетках его таблицы может стоять прочерк, что означает отсутствие выходного сигнала.

На практике таблицы переходов и выходов часто совмещают в одну таблицу, называемую отмеченной таблицей переходов автомата. Примеры отмеченных таблиц переходов представлены в табл.1.6. - 1.8 (Общий вид отмеченной таблицы переходов - табл.1.6., отмеченная таблица переходов автомата Мили - табл.1.7., отмеченная таблица переходов автомата Мура - табл.1.8.).

Кроме рассмотренных выше таблиц переходов и выходов произвольный абстрактный автомат может быть задан матрицей соединений.

Матрица соединений является квадратной и содержит столько столбцов (строк), сколько различных состояний содержит алфавит состояний данного автомата. Каждый столбец (строка) матрицы соединений помечается буквой состояния автомата. В клетке, находящейся на пересечении столбца, помеченного буквой а j и строки, помеченной буквой a s автомата, ставится входной сигнал (или дизъюнкция входных сигналов), под воздействием которого осуществляется данный переход.

Для абстрактного автомата Мили в клетке рядом с состоянием проставляется также выходной сигнал, который автомат выдает в результате данного перехода (табл.1.9.) Для автомата Мура выходной сигнал проставляется в строке рядом с состоянием (эти состояния соответствуют исходным состояниям автомата).

Таблица 1.6

Таблица 1.7

Таблица 1.9.

При графическом способе задания абстрактные автоматы представляются ориентированными графами. Графом автомата называется ориентированный связный граф, вершины которого соответствуют состояниям автомата, а дуги между ними - переходам между состояниями. Две вершины a k и a s соединяются дугой в том случае, если в автомате имеется переход из состояния a k в состояние a s . Для автомата Мили входной и выходной сигналы проставляются на дуге, соответствующей данному переходу (рис 1.3.), для автомата Мура входной сигнал проставляется на дуге, а выходной - рядом с вершиной, соответствующей состоянию (рис 1.4.).

Здесь рассматриваются только детерминированные автоматы, у которых выполнено условие однозначности переходов: автомат, находящийся в некотором состоянии, под действием любого входного сигнала не может перейти более чем в одно состояние. Применительно к графическому способу задания автомата это означает, что в графе автомата из любой вершины не могут выходить две и более дуги, отмеченные одним и тем же входным сигналом.

Рисунок 1.3-Граф автомата Мили Рисунок 1.4-Граф автомата Мура

При аналитическом способе задания абстрактные автоматы задаются четверкой объектов:

S={ X,A,Y,F}, где F задает для каждого состояния а j автомата отображение (ХхА) - > (AxY). Другими словами, при аналитическом способе задания для каждого состояния автомата а j указывается отображение F ai , представляющее собой множество всех троек а р, x m , y k , и таких, что под воздействием входного сигнала x m автомат переходит из состояния а j в состояние а р, выдавая при этом выходной сигнал y k .

Применительно к общему определению абстрактного автомата, последнее равнозначно описанию функций δ и λ в соответствии с выражением: a p = δ (a i , x m), y к = λ (a i , x m).

Отображение F ai записывается следующим образом:

F ai {a p (X m /y k),a i (X f /y z) …}.

Для абстрактного автомата Мили (табл.1.7.) аналитическое задание имеет следующий вид:

S={ X,A,Y,F}, X={x 1 ,x 2 }, A={a 1 , а 2 , а 3 }, Y={y 1 , y 2 , у 3 },

F a1 ={a 2 (x 1 /y 2), a 1 (x 2 /у 3) },

F а 2 ={а 3 (x 1 /y 3), a 1 (x 2 /y 1) },

F a 3 ={a 1 (x 1 /y 3), а 2 (x 2 /y 2) }.

Следует отметить, что функция F ai всегда записывается для исходного состояния.

Определим синхронные и асинхронные автоматы. Состояние а s автомата S называется устойчивым cостоянием, если для любого входного сигнала х j Х, такого, что а s = δ (а i Х m) имеет место a s = δ (a s , x m).

Автомат S называется асинхронным, если каждое его состояние a s А устойчиво. Автомат S называется синхронным, если он не является асинхронным.

Необходимо заметить, что построенные на практике автоматы всегда асинхронные и устойчивость их состояний всегда обеспечивается тем или иным способом, например, введением сигналов синхронизации. Однако, на уровне абстрактной теории автоматов, когда автомат всего лишь математическая модель, которая не отражает многих конкретных особенностей его реализации, часто оказывается более удобным оперировать с синхронными автоматами.