Выполнить пример по действиям. Порядок выполнения математических действий

Числовые и буквенные выражения могут содержать знаки различных арифметических действий. При преобразовании выражений и вычислении значений выражений действия выполняются в определенной очередности, так как существует строгий порядок выполнения математических действий

Сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание

Порядок выполения действий в выражениях без скобок:

- действия выполняются по порядку слева направо,

- причем сначала выполняется умножение и деление, а затем – сложение и вычитание .

1. Рассмотрим пример: выполните действия 17−3+6

Исходное выражение не содержит умножения и деления и не содержит скобок. Поэтому нам следует выполнить все действия по порядку слева направо , то есть, сначала мы от 17 отнимаем 3, получаем 14, после чего к полученной разности 14 прибавляем 6, получаем 20.

Кратко решение можно записать так: 17 − 3 + 6 = 14 + 6 = 20

2. Вычислите значение выражения 17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2

Сначала определим, в каком порядке следует выполнять действия в выражении. Оно содержит и умножение с делением, и сложение с вычитанием. Сначала слева направо нужно выполнить умножение и деление .

4: 2 теперь 4 делим на 2, получаем 2.

Подставляем в исходное выражение вместо 5 · 6: 3 найденное значение 10, а вместо 4: 2 - значение 2, получаем следующее выражение 17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2 = 17 − 10 − 2+ 2 .

В полученном выражении уже нет умножения и деления, поэтому остается по порядку слева направо выполнить оставшиеся действия: 17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7.

Действия первой и второй ступени

Для удобства принятия решения о последовательности выполнения действий их разделили на две ступени:

первая ступень - сложение и вычитание,

вторая ступень - умножение и деление.

Если выражение не содержит скобок, то по порядку слева направо сначала выполняются действия второй ступени (умножение и деление), затем – действия первой ступени (сложение и вычитание)

Правило, задающее порядок выполнения действий в выражениях со скобками, формулируется так: сначала выполняются действия в скобках, при этом также по порядку слева направо выполняется умножение и деление, затем – сложение и вычитание.

Рассмотрим пример: 99: (45 – 39 + 5) – 25: 5

Порядок вычисления такой. Сначала выполним действия в скобках:

45 – 39 = 6 ; 6 + 5 = 11 ,

затем действия второй ступени

Мы рассмотрим в этой статье три варианта примеров:

1. Примеры со скобками (действия сложения и вычитания)

2. Примеры со скобками (сложение, вычитание, умножение, деление)

3. Примеры, в которых много действий

1 Примеры со скобками (действия сложения и вычитания)

Рассмотрим три примера. В каждом из них порядок действий обозначен цифрами красного цвета:

Мы видим, что порядок действий в каждом примере будет разный, хотя числа и знаки одинаковые. Это происходит потому, что во втором и третьем примере есть скобки.

*Это правило для примеров без умножения и деления. Правила для примеров со скобками, включающих действия умножения и деления мы рассмотрим во второй части этой статьи.

Чтобы не запутаться в примере со скобками, можно превратить его в обычный пример, без скобок. Для этого результат, полученный в скобках, записываем над скобками, далее переписываем весь пример, записывая вместо скобок этот результат, и далее выполняем все действия по порядку, слева направо:

В несложных примерах можно все эти операции производить в уме. Главное — сначала выполнить действие в скобках и запомнить результат, а затем считать по порядку, слева направо.

А теперь — тренажеры!

1) Примеры со скобками в пределах до 20. Онлайн тренажер.

2) Примеры со скобками в пределах до 100. Онлайн тренажер.

3) Примеры со скобками. Тренажер №2

4) Вставь пропущенное число — примеры со скобками. Тренажер

2 Примеры со скобками (сложение, вычитание, умножение, деление)

Теперь рассмотрим примеры, в которых кроме сложения и вычитания есть умножение и деление.

Сначала рассмотрим примеры без скобок:

Есть одна хитрость, как не запутаться при решении примеров на порядок действий. Если нет скобок, то выполняем действия умножения и деления, далее переписываем пример, записывая вместо этих действий полученные результаты. Затем выполняем сложение и вычитание по порядку:

Если в примере есть скобки, то сначала нужно избавиться от скобок: переписать пример, записывая вместо скобок полученный в них результат. Затем нужно выделить мысленно части примера, разделенные знаками «+» и «-«, и посчитать каждую часть отдельно. Затем выполнить сложение и вычитание по порядку:

3 Примеры, в которых много действий

Если в примере много действий, то удобнее будет не расставлять порядок действий во всем примере, а выделить блоки, и решить каждый блок отдельно. Для этого находим свободные знаки «+» и «–» (свободные — значит не в скобках, на рисунке показаны стрелочками).

Эти знаки и будут делить наш пример на блоки:

Выполняя действия в каждом блоке не забываем про порядок действий, приведенный выше в статье. Решив каждый блок, выполняем действия сложения и вычитания по порядку.

А теперь закрепляем решение примеров на порядок действий на тренажерах!

Правила порядка выполнения действий в сложных выражениях изучаются во 2 классе, но практически некоторые из них дети используют еще в 1 классе.

Сначала рассматривается правило о порядке выполнения действий в выражениях без скобок, когда над числами производят либо только сложение и вычитание, либо только умножение и деление. Необходимость введения выражений, содержащих два и более арифметических действий одной ступени, возникает при знакомстве учеников с вычислительными приемами сложения и вычитания в пределах 10, а именно:

Аналогично: 6 - 1 - 1, 6 - 2 - 1, 6 - 2 - 2.

Так как для нахождения значений этих выражений школьники обращаются к предметным действиям, которые выполняются в определенном порядке, то они легко усваивают тот факт, что арифметические действия (сложение и вычитание), которые имеют место в выражениях, выполняются последовательно слева направо.

С числовыми выражениями, содержащими действия сложения и вычитания, а также скобки, учащиеся впервые встречаются в теме "Сложение и вычитание в пределах 10". Когда дети встречаются с такими выражениями в 1 классе, например: 7 - 2 + 4, 9 - 3 - 1 , 4 +3 - 2; во 2 классе, например: 70 - 36 +10, 80 - 10 - 15, 32+18 - 17; 4*10:5, 60:10*3, 36:9*3, учитель показывает, как читают и записывают такие выражения и как находят их значение (например, 4*10:5 читают: 4 умножить на 10 и полученный результат разделить на 5). К моменту изучения во 2 классе темы "Порядок действий" учащиеся умеют находить значения выражений этого вида. Цель работы на данном этапе - опираясь практические умения учащихся, обратить их внимание на порядок выполнения действий в таких выражениях и сформулировать соответствующее правило. Учащиеся самостоятельно решают подобранные учителем примеры и объясняют, в каком порядке выполняли; действия в каждом примере. Затем формулируют сами или читают по учебнику вывод: если в выражении без скобок указаны только действия сложения и вычитания (или только действия умножения и деления), то их выполняют в том порядке, в каком они записаны (т.е. слева направо).

Несмотря на то, что в выражениях вида а+в+с, а+(в+с) и (а+в)+с наличие скобок не влияет на порядок выполнения действий в силу сочетательного закона сложения, на этом этапе учащихся целесообразнее сориентировать на то, что сначала выполняется действие в скобках. Это связано с тем, что для выражений вида а - (в+с) и а - (в - с) такое обобщение неприемлемо и учащимся на начальном этапе довольно трудно будет сориентироваться в назначении скобок для различных числовых выражений. Использование скобок в числовых выражениях, содержащих действия сложения и вычитания, в дальнейшем получает свое развитие, которое связано с изучением таких правил, как прибавление суммы к числу, числа к сумме, вычитание суммы из числа и числа из суммы. Но при первом знакомстве со скобками важно нацелить учащихся на то, что сначала выполняется действие в скобках.

Учитель обращает внимание детей на то, как важно соблюдать это правило при вычислениях, иначе можно получить неверное равенство. Например, учащиеся объясняют, каким образом, получены значения выражений: 70 - 36 +10=24, 60:10 - 3 =2, почему они неверны, какие значения в действительности имеют эти выражения. Аналогично изучают порядок действий в выражениях со скобками вида: 65 - (26 - 14), 50:(30 - 20), 90:(2 * 5). С такими выражениями учащиеся также знакомы и умеют их читать, записывать и вычислять их значение. Объяснив порядок выполнения действий в нескольких таких выражениях, дети формулируют вывод: в выражениях со скобками первым выполняется действие над числами, записанными в скобках. Рассматривая эти выражения нетрудно показать, что действия в них выполняются не в том порядке, в каком записаны; чтобы показать другой порядок их выполнения, и использованы скобки.

Следующим вводится правило порядка выполнения действий в выражениях без скобок, когда в них содержатся действия первой и второй ступени. Поскольку правила порядка действий приняты по договоренности, учитель сообщает их детям или же учащиеся знакомятся с ними по учебнику. Чтобы учащиеся усвоили введенные правила, наряду с тренировочными упражнениями включают решение примеров с пояснением порядка выполнения их действий. Эффективны также упражнения в объяснении ошибок на порядок выполнения действий. Например, из заданных пар примеров предлагается выписать только те, где вычисления выполнены по правилам порядка действий:

После объяснения ошибок можно дать задание: используя скобки, изменить порядок действий так, чтобы выражение имело заданное значение. Например, чтобы первое из приведенных выражений имело значение, равное 10, надо записать его так: (20+30):5=10.

Особенно полезны упражнения на вычисление значения выражения, когда ученику приходится применять все изученные правила. Например, на доске или в тетрадях записывается выражение 36:6+3*2. Учащиеся вычисляют его значение. Затем по заданию учителя дети изменяют с помощью скобок порядок действий в выражении:

• 36:6+3-2
• 36:(6+3-2)
• 36:(6+3)-2
• (36:6+3)-2

Интересным, но более трудным является обратное упражнение: расставить скобки так, чтобы выражение имело заданное значение:

• 72-24:6+2=66
• 72-24:6+2=6
• 72-24:6+2=10
• 72-24:6+2=69

Также интересными являются упражнения следующего вида:

• 1. Расставьте скобки так, чтобы равенства были верными:
• 25-17:4=2 3*6-4=6
• 24:8-2=4
• 2. Поставьте вместо звездочек знаки "+" или "-" так, чтобы получились верные равенства:
• 38*3*7=34
• 38*3*7=28
• 38*3*7=42
• 38*3*7=48
• 3. Поставьте вместо звездочек знаки арифметических действий так, чтобы равенства были верными:
• 12*6*2=4
• 12*6*2=70
• 12*6*2=24
• 12*6*2=9
• 12*6*2=0

Выполняя такие упражнения, учащиеся убеждаются в том, что значение выражения может измениться, если изменяется порядок действий.

Для усвоения правил порядка действий необходимо в 3 и 4 классах включать все более усложняющиеся выражения, при вычислении значений которых ученик применял бы каждый раз не одно, а два или три правила порядка выполнения действий, например:

• 90*8- (240+170)+190,
• 469148-148*9+(30 100 - 26909).

При этом числа следует подбирать так, чтобы они допускали выполнение действий в любом порядке, что создает условия для сознательного применения изученных правил.

Какие действия выполняются первыми: умножение и деление или сложение и…?

Если между собой сравнить функции сложение и вычитание с умножением и делением, то умножение и деление всегда рассчитываются в первую очередь.

В примере такие две функции, как сложение и вычитание, а также умножение и деление равнозначны между собой. Очердность выполнения определяется в порядке очереди слева направо.

Следует помнить тот факт, что особым приоритетом в примере обладают действия, взятые в круглые скобки. Таким образом, даже если за пределами скобок стоит умножение, а в скобках сложение, следует сначала сложить, а уже потом умножить.

Чтобы разобраться в этой теме,можно рассмотреть все случаи поочередно.

Сразу учтем,что наши выражения не имеют скобок.

Итак,если в примере первое действие умножение,а второе-деление,то первым выполняем умножение.

Если в примере первое действие деление,а второе умножение,то первым делаем деление.

В таких примерах действия выполняются в порядке слева направо,независимо от того,какие используются числа.

Если же в примерах помимо умножения и деления имеются сложение и вычитание,то умножение и деление делаются в первую очередь,а потом сложение и вычитание.

В случае со сложением и вычитанием также нет разницы,какое из этих действий делается первым.Соблюдается порядок слева направо.

Рассмотрим разные варианты:

В данном примере первое действие, которое необходимо произвести это умножение, а затем уже сложение.

В этом случае, вы сначала умножаете значения, затем делите, а только потом складываете.

В этом случаи вы должны сначала сделать все действия в скобках, а затем только делать умножение и деление.

А так надо запомнить, что в любой формуле сначала выполняются действия как умножение и деление, а затем только вычитание и сложение.

Также с числами, которые стоят в скобках нужно посчитать их в скобках, а только потом делать различные манипуляции, помня последовательность описанную выше.

Первыми будут следующие действия: умножение и деление.

Только затем выполняются сложение и вычитание.

Однако если есть скобка, то в первую очередь будут выполняться действия, которые находятся в них. Даже если это сложение и вычитание.

Например:

В этом примере сначала выполним умножение, то 4 на 5, затем к 20 прибавим 4. Получится 24.

Но если будет так: (4+5)*4, то сначала выполним сложение, получаем 9. Затем 9 умножаем на 4. Получаем 36.

Если в примере присутствуют все 4 действия, то сначала идет умножение и деление, а потом сложение и вычитание.

Или в примере 3 разных действия, то первым будет либо умножение (либо деление), а потом либо сложение (либо вычитание).

Когда НЕТ СКОБОК.

Пример: 4-2*5:10+8=11,

1 действие 2*5 (10);

2 действие 10:10 (1);

3 действие 4-1 (3);

4 действие 3+8 (11).

Все 4 действия можно разделить на две основные группы, в одной — сложение и вычитание, в другой — умножение и деление. Первыми будет то действие, который первый по счету в примере, то есть самый левый.

Пример: 60-7+9=62, сначала нужно 60-7, потом то, что получится (53) +9;

Пример: 5*8:2=20, сначала нужно 5*8, потом то, что получится (40) :2.

Когда ЕСТЬ СКОБКИ в примере, то сначала выполняются действия которые в скобке (согласно вышеперечисленными правилам), а потом остальные как в обычно.

Пример: 2+(9-8)*10:2=7.

1 действие 9-8 (1);

2 действие 1*10 (10);

3 действие 10:2 (5);

4 действие 2+5 (7).

Зависит как записано выражение, рассмотрим на простейшем числовом выражении:

18 — 6:3 + 10х2 =

Сначала выполняем действия с делением и умножением, затем по очереди, слева направо, с вычитанием и сложением: 18-2+20 = 36

Если это выражение со скобками, тогда выполняют действия в скобках, затем умножение или деление и в заключение сложение/вычитание, например:

(18-6) : 3 + 10 х 2 = 12:3 + 20 = 4+20=24

Вс правильно: сначала выполняют умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Если в примере нет скобок, то в первую очередь выполняется умножение и деление по порядку, а потом уже сложение и вычитание, то же по порядку.

Если в примере только умножение и деление, то действия будут выполняться по порядку.

Если в примере только сложение и вычитание, то действия тоже будут выполняться по порядку.

В первую очередь выполняются действия в скобках по тем же правилам, то есть сначала умножение и деление, и только потом сложение и вычитание.

22-(11+3Х2)+14=19

Порядок выполнения арифметических действий прописан строго, чтобы не было никаких разночтений при выполнении однотипных вычислений разными людьми. Прежде всего выполняются умножение и деление, потом сложение и вычитание, если действия одного порядка идут одно за другим, то они выполняются в порядке очереди слева направо.

Если при записи математического выражения используются скобки, то в первую очередь следует выполнить действия указанные в скобках. Скобки помогают изменить очередность при необходимости сперва выполнить сложение или вычитание, а уже после умножение и деление.

Любые скобки можно раскрыть и тогда порядок выполнения вновь будет правильным:

6*(45+15) = 6*45 +6*15

Лучше сразу в примерах:

• 1+2*3/4-5=?

В этом случае выполняем сначала умножение, так как оно стоит левее чем деление. Потом деление. Затем сложение, так по причине более левого расположения и в конце вычитание.

• 1*3/(2+4)?

сначала делаем вычисление в скобках, затем умножение и деление.

• 1+2*(3-1*5)=?

Сначала делаем действия в скобках: умножение, затем вычитание. После этого идет умножение вне скобок и сложение кв конце.

Первоочередно идет умножение и деление. Если есть в примере скобки, то в начале считают действие в скобках. Какой бы знак там ни был!

Тут необходимо помнить несколько основных правил:

1. Если в примере отсутствуют скобки и присутствуют операции — только сложение и вычитание, либо только умножение и деление — в этом случае все действия осуществляются по порядку слева на право.

Например, 5+8-5=8(выполняем все по порядку — к 5 прибавляем 8, а затем отнимаем 5)

1. Если в примере присутствуют смешанные операции — и сложение, и вычитание, и умножение, и деление, то в первую очередь выполняем операции умножение и деление, а затем только сложение или вычитание.

Например, 5+8*3=29 (сначала 8 умножаем на 3, а затем прибавляем 5)

1. Если в примере имеются скобки, то вначале выполняются действия в скобках.

Например, 3*(5+8)=39 (сначала 5+8, а затем умножаем на 3)

Для правильного вычисления выражений, в которых нужно произвести более одного действия, нужно знать порядок выполнения арифметических действий. Арифметические действия в выражении без скобок условились выполнять в следующем порядке:

1. Если в выражении присутствует возведение в степень, то сначала выполняется это действие в порядке следования, т. е. слева направо.
2. Затем (при наличии в выражении) выполняются действия умножения и деления в порядке их следования.
3. Последними (при наличии в выражении) выполняются действия сложения и вычитания в порядке их следования.

В качестве примера рассмотрим следующее выражение:

Сначала необходимо выполнить возведение в степень (число 4 возвести в квадрат и число 2 в куб):

3 · 16 - 8: 2 + 20

Затем выполняются умножение и деление (3 умножить на 16 и 8 разделить на 2):

И в самом конце, выполняются вычитание и сложение (из 48 вычесть 4 и к результату прибавить 20):

48 - 4 + 20 = 44 + 20 = 64

Действия первой и второй ступени

Арифметические действия делятся на действия первой и второй ступени. Сложение и вычитание называются действиями первой ступени , умножение и деление - действиями второй ступени .

Если выражение содержит действия только одной ступени и в нём нет скобок, то действия выполняются в порядке их следования слева направо.

Пример 1.

15 + 17 - 20 + 8 - 12

Решение. Данное выражение содержит действия только одной ступени - первой (сложение и вычитание). Надо определить порядок действий и выполнить их.

Ответ: 42.

Если выражение содержит действия обеих ступеней, то первыми выполняются действия второй ступени, в порядке их следования (слева направо), а затем действия первой ступени.

Пример. Вычислить значение выражения:

24: 3 + 5 · 2 - 17

Решение. Данное выражение содержит четыре действия: два первой ступени и два второй. Определим порядок их выполнения: согласно правилу первым действием будет деление, вторым - умножение, третьим - сложение, а четвёртым - вычитание.

Теперь приступим к вычислению.