§3.Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке. Алгоритм нахождения наиб и наим значения функции на отрезке

1. Находим область определения функции и проверяем, содержится ли в ней весь отрезок .

2. Определяем все стационарные точки, попадающие в отрезок . Для этого, находим производную функции, приравниваем ее к нулю, решаем полученное уравнение и выбираем подходящие корни.

3. Если стационарных точек нет или ни одна из них не попадает в отрезок, то переходим к следующему пункту.

4. Вычисляем значения функции в отобранных стационарных точках (если таковые имеются), а также при x = a и x = b.

5. Из полученных значений функции выбираем наибольшее и наименьшее - они и будут искомыми.

10) Достаточное условие выпуклости (вогнутости). Если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна (отрицательна) на множестве X, то функция выпукла вниз (вверх) на этом множестве.

11) Необходимое условие точек перегиба . Вторая производная f""(x) дважды непрерывно дифференцируемой функции в точке перегиба x0 равна нулю, т.е. f""(x0) = 0.

12) Достаточное условие точек перегиба. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции при переходе через точку x0, в которой f""(x0) = 0 меняет свой знак, то x0 есть точка перегиба ее графика.

6.Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.

Частными производными функции z = f (x,у) называются пределы отношения приращений функции z = z(х,у) к приращению соответствующего аргумента по направлениям ох или оу при Δх → 0 и Δу → 0 соответственно:

Частная производная по х:

при вычислении считают у = const.

Частная производная по у:

при вычислении считают x = const.

Множество G всех пар значений аргументов данной функции двух переменных называется областью определения этой функции .

Функция z = f(x,y) называется непрерывной в точке M0(x0,y0), если она определена в этой точке и ее окрестности и выполняется

Число A называется пределом функции z = f(x,y) в точке M0(x0,y0):

Линейная (относительно дельта икс и дельта игрик) часть полного приращения функции называется полным дифференциалом и обозначается dz:

где дэикс и дэигрик – дифференциалы независимых переменных, которые, по определению, равны соответствующим приращениям

Точка (х 0 ; у 0) называется точкой максимума функции z = f(x; y) (х 0 ; у 0) для

= <δ f(x; y) ≤ f(х 0 ; у 0).

Точка (х 0 ; у 0) называется точкой минимума функции z = f(x; y) , если всюду в окрестности точки (х 0 ; у 0) для

= <δ f(x; y) ≥ f(х 0 ; у 0).

Пусть имеется поверхность, заданная уравнением . Плоскость, в которой расположены все касательные прямые к линиям на поверхности, проходящим через данную точку , называется касательной плоскостью к поверхности в точке М0.

Прямая, проведенная через точку поверхности , перпендикулярно к касательной плоскости называется нормалью к поверхности .

Если поверхность задана уравнением , то уравнение касательной плоскости к этой поверхности в точке записывается в виде: , а уравнение нормали к поверхности в этой же точке – в виде:

Необходимые условия дифференцируемости: если функция f дифференцируема в точке х0,то у неё в этой точке существуют частные производные по всем переменным.если функция f дифференцируема в точке х0 ,то она непрерывна в этой точке.

Достаточное условия дифференцируемости: Пусть функция f() определена в некоторой окрестности точки х0. Пусть у функции в этой окрестности существуют непрерывные частыне производные по всем переменным, тогда функция f дифференцируема в этой точке.

Необходимые условия существования экстремума : или хотя бы одна частная производная не существует.

Достаточные условия существования экстремума функции двух переменных: Если> 0

то при а) > 0 функция имеет минимум (min )

В) < 0 функция имеет максимум (max )

Если<0 то экстремума нет .

Если = 0, то необходимо дополнительное исследование с помощью производных более высоких порядков.

Комплексныечисла

Определения:

1) Комплексное число - расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма , где и - вещественные числа, - мнимая единица.

2) Запись комплексного числа в виде , , называется алгебраической формой комплексного числа.

3) Угол (в радианах) радиус-вектора точки, соответствующей числу , называется аргументом числа и обозначается .

4) Модулем комплексного числа называется длина радиус-вектора соответствующей точки комплексной плоскости (или, что то же, расстояние между точкой комплексной плоскости, соответствующей этому числу, и началом координат).

Модуль комплексного числа обозначается и определяется выражением . Часто обозначается буквами или . Если является вещественным числом, то совпадает с абсолютной величиной этого вещественного числа.

5) Если комплексное число , то число называется сопряжённым (или комплексно сопряжённым) к (обозначается также ). На комплексной плоскости сопряжённые числа получаются зеркальным отражением друг друга относительно вещественной оси. Модуль сопряжённого числа такой же, как у исходного, а их аргументы отличаются знаком.

6) Если вещественную и мнимую части комплексного числа выразить через модуль и аргумент ( , ), то всякое комплексное число , кроме нуля, можно записать в тригонометрической форм е

7) Опреденеиепроизведения комплексных чисел устанавливается с таким расчетом, чтобы числа a + b·i и a′ + b′·i можно было перемножать как алгебраические двухчлены, и чтобы число i обладало свойством i 2 =−1.

8) Пусть – произвольное натуральное число. Корнем n-ой степени из комплексного числа z называется комплексное число , такое, что .

9) Показательнаяформа записи комплексных чисел

Где - расширение экспоненты для случая комплексного показателя степени.

Свойства и теоремы:

1) Произведением двух комплексных чисел в алгебраической форме называется такое комплексное число, модуль которого равен произведению модулей сомножителей, а аргумент – сумме аргументов сомножителей.

2) Для того, чтобы перемножить два комплексных числа в тригонометрической форме записи нужно перемножить их модули, а аргументы сложить. Пусть , где и , где – два произвольных комплексных числа записанных в тригонометрической форме. Тогда .

3) Формула Муавра для комплексных чисел утверждает, что для любого

4) Для того, чтобы разделить комплексное число (a 1 + b 1 i ) на другое комплексное число (a 2 + b 2 i ), то есть найти , нужно и числитель, и знаменатель умножить на число, сопряжённое знаменателю.

5)

8.Интегральное исчисление функций одной переменной.

1) Первообразная

Функция F(x), дифференцируема на некотором интервале (а,b) называется первообразной для функции f(x) на этом интервале, если для каждого x (a,b) справедливо равенство

2) Неопределенный интеграл

Если F(x) является первообразной для функции f(x) на некотором интервале, то выражение F(x)+C называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается

3) Определенный интеграл

Под определенным интегралом от данной функции f(x) на данном отрезке понимается соответствующее приращение ее первообразной, т.е

4) Несобственный интеграл от разрывной функции

Пусть функция f(x) непрерывна a ≤x≤b и имеет точку разрыва при x=b. Тогда соответствующий несобственный интеграл от разрывной функции определяется формулой

и называется сходящимся или расходящимся в зависимости от того, существует или не существует предел правой части равенства

5) Несобственный интеграл с бесконечным промежутком интегрирования

Пусть функция f(x) непрерывна при a≤x≤b+∞. Тогда по определению

Если предел существует, то интеграл стоящий в левой части равенства, называется сходящимся и его значение определяется формулой; в противном случае равенство теряет смысл, интеграл стоящий слева, называется расходящимся и ему не приписывается никакого числового значения

Свойства и теоремы

6) Формула интегрирования по частям в неопределенном интеграле

7) Сформулировать правила интегрирования дробно-рациональных функций

1. Делим числитель на знаменатель

2. Q(x) =(x- )(x- )…

3. Раскладываем дробь на сумму простых дробей ; ; ; ;

Интеграл от дробей 1 и 2 типа вычисляется внесением функции под знак дифференциала, 3 и 4 сначала в знаменателе выделяется полный квадрат.

8) Сформулируйте правило интегрирования тригонометрических функций

9) С формулировать свойства определенного интеграла

1. Величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е

2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю

3. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на обратный

4. Если промежуток интегрирования разбит на конечное число частичных промежутков, то определенный интеграл, взятый по промежутку , равен сумме определенных интегралов, взятых по всем его частичным промежуткам

5. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла

6. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций

10) Формула Ньютона-Лейбница

Если f непрерывна на отрезке и F- ее любая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство

11) Формула интегрирования по частям в определенном интеграле

Для краткости употребляется обозначение

2) Сформулировать свойства неопределенного интеграла

1. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции

2. Неопределенный интеграл от дифференциала непрерывно дифференцируемой функции равен самой этой функции с точностью до постоянного слагаемого

3. Отличный от нуля постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме неопределенных интегралов от этих функций

5) Замена переменной в неопределенном интеграле

Пусть требуется найти интеграл . Введем новую переменную t, положив x= (t), где (t)- непрерывная функция с непрерывной производной, имеющая обратную функцию t=Ψ(t). Тогда причем в правой части после интегрирования следует сделать подстановку t=Ψ(x)

3) Таблица интегралов

Логарифмы

Экспоненциальные функции

Иррациональные функции

Тригонометрические функции

12) Замена переменной в определенном интеграле

Функция f(x) непрерывна на отрезке , функция x= (t) имеет на отрезке [ непрерывную производную, при этом a≤ (t)≤b и =а, =b

13) Вычисление площади плоской фигуры

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке . Если при этом f(x)≥0 на , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=f(x), y=0, x=a, x=b, выразится с помощью интеграла:

Если же f(x)≤0 на , то –f(x)≥0 на . Поэтому площадь S соответствующей криволинейной трапеции находится по формуле

В полярных координатах

Значение функции в точке max явл наибольшим лишь в некоторой окрестности этой точки и совсем не обязательно явл. наибольшим значением во всей области определения ф-ии. То же самое можно сказать и о минимуме. В этом случае их назыв часто локальными (местными) max и min в отличии от абсолютных, т.е. - наибольшее и наименьшее знач. во всей обл определения. Если функция f(x) задана на а,в и непрерывна на нем, то она достигает на нем в каких либо точках своего наибольшего и наименьшего значений. Как их найти? Если на а,в есть несколько max, то наиб. значение внутри (если оно достигается) совпадает с одним из них. В то же время наибольшее значение для всего а,в функция может достичь и на одном из концов.

Правило..

Нужно сравнить между собой все min и граничные значения f(а) и f(в). Наименьшее значение и будет наименьшим значением функции на а,в. Обычно поступают при нахождении наиб. и наим. значений проще:

Находят все критические точки внутри сегмента а,в, вычисляют значения функции в них (не определяя есть ли в них экстремум), 2) вычисляют значение функции на концах f(а) и f(в), 3)сравнивают полученные значения между собой: наименьшее значение из этих значений и будет наименьшим значением функции, наибольшее- наибольшим на а,в.

Пример:

Наити наиб. и наименьшее значение функции у=на-1,2,

1.ищем критические точки на (-1,2).

У"=
=0, 2х+2х 3 -2х 3 =0, 2х=0, =0. Других нет.

2. f(-1)=1/2, f(2)=4/5.

f(0)=0, наименьшее значение, f(2)=4/5.- наибольшее на

Нужно заметить следующее. В прикладных задачах наиболее часто встречается случай, когда между а и в функция у=f(x) им. только одну критическую точку. В этом случае без сравнения с граничными значениями ясно, что если в т. max, то это и есть наибольшее значение функции на а,в, если это min, то это и есть наименьшее значение на а,в. Это важно в тех случаях, когда в выражение функции входят буквенные выражения и оказывается более просто исследовать на экстремум, чем сравнивать значения на концах.

Важно отметить, что все сказанное о нахождении наиб и наим значений применимо и к (а,в) и к бесконечному промежутку , только в этом случае не берут во внимание значения на концах.

§4.Напрвление вогнутости кривой и точки перегиба

Пусть функция у=f(x) им. в т.конечную производную. Тогда она им. в этой точке касательную, уравнение которой есть у-=f "()(х-) или у=f()+(х-)
.

В некоторой окрестности (- график функции может располагаться по разному: либо выше касательной, либо ниже, либо с обеих сторон.

Определение.

Говорят, что в т.М(,) кривая у=f(x) вогнута вниз или просто вогнута (вогнута вверх или выпукла), если для всех х из некоторой окрестности (- точки все точки кривой расположены выше касательной (ниже касательной).

Если в т.М кривая переходит с одной стороны касательной на другую, то т.М назыв. точкой перегиба кривой.

В т.М1- кривая вогнута, М2-выпуклая, М3-перегиб.

В точке перегиба кривая меняет выпуклость на вогнутость или наоборот. Точка перегиба- пограничная между участками выпуклости и вогнутости кривой.

Определение точки перегиба остается в силе и в случае, когда касательная к кривой у=f(x) перпенд. оси ох, те в т.производнаяf "()=, и т.не явл. точкой возврата кривой. В отличии от случаев (указанных на чертеже),

x x

где т.и х точками перегиба не явл-ся.

Найдем условия, при которых им. место определенное направление вогнутости или перегиб кривой. у=f(x) в произвольной т.х=.

Пусть, например, кривая в т.М(,) выпуклая. Тогда она располагается в некоторой окрестности (- этой точки ниже касательной у=f()+f "()(х-). Рассмотрим вспомогательную ф-ию(х)= f(х)-f()-f "()(х-). В т.()=0, в-окрестности т.
. Отсюда следует, что в точкефункция
имеетmax. Значит в точке ""(). Но ""()=f ""(х) и потому в т.f ""().

Таким образом, чтобы в т.х0 кривая у=f(x) была выпуклой необходимо, чтобы f ""(). Если же в т.х0 f ""(), то в т.-max и кривая, значит, выпуклая. Условие f ""() достаточное для выпуклости в т..

Рассуждая совершенно аналогично, получим, что условие f ""() необходимое для вогнутости в т.х0, а условие f ""() достаточное для вогнутости.

Вывод:

если в т.вторая производная положительнаf ""(), то кривая выгнута в этой точке, если в т.вторая производная отрицательнаf ""(), то кривая выпуклая в этой точке.

Удобно правило "чашечки":

В точках перегиба нет определенной вогнутости или выпуклости, а потому они могут быть лишь в точках, где f ""()=0. Но условиеf ""() еще не обеспечивает точно, что- точка перегиба. Например, для кривых у=х 4 и у=-х 4 , в т.f ""()=0, однако в ней первая кривая вогнута, вторая выпукла.

Вывод: условие f ""()=0 явл. необходимым условием существования перегиба в т.. Но, как видели, т. перегиба могут быть и там, где вторая производнаяf""()= ил не существует вовсе.

Достаточным условием перегиба кривой в т.явл. смена знака второй производнойf ""() при переходе через т.. При этом, если 2-ая производная меняет при переходе через т.знак с + на - , то в т.перегиб со сменой вогнутости на выпуклость, Еслиf ""() меняет знак с - на + при переходе через т., то в т.перегиб со сменой выпуклости на вогнутость..

Определение . Если кривая вогнута (выпукла) в каждой точке некоторого промежутка, то она назыв. вогнутой (выпуклой) на этом промежутке.

Исследование функции у=f(x) на выпуклость, вогнутость, точки перегиба проводят по следующему плану:

1.Находят все точки подозрительные на перегиб, для чего:

а) находят второю производную, приравнивают ее к нулю и находят действительные корни полученного уравнения,

б)находят точки, где конечная производная f ""(x) не сущ-ет,

2.Исследуют f ""(х) на изменение знака при переходе через каждую подозрительную на перегиб точку. Если знак меняется- перегиб есть, если нет-то нет.

Для тех точек,где f ""(х0)  кривая вогнута, где наоборот -выпукла. Так же как и в случае экстремумов, если точек подозрительных на перегиб конечное число, пользуются методом интервалов.

Определение.

Если кривая выпукла (вогнута) в каждой точке некоторого промежутка, она назыв. выпуклой (вогнутой) на этом промежутке.

Пример

Исследовать на вып., вогнутость, т. перегиба ф-ию у=х 4 -6х 2 +5. Обл. опред. Х=.

1.найдем у"=4х 3 -12х, у""=12х 2 -12=12(х 2 -1), у""=0, х 2 -1=0, х 1,2 =-т. подозрительные на перегиб, других нет.

Вся обл. опред. разбивается на интервалы (--1),(-1,1),(1, , в каждой из них f ""(х) им. постоянный знак, т.к. непрерывна в них. Легко видеть, что в (--1) +, в (-1,1) -, и в (1,  +. Отсюда ясно, что в т. -1 и 1 перегиб, причем в (-1) график функции вогнутый, в (-1,1) выпуклый, в (1,  - вогнутый.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 100

Дисциплина Математика

Специальность

Курс 1 группа C 153

Тема занятия: Наибольшее и наименьшее значение функций

Тип урока: урок закрепления знаний и формирование умений и навыков

Вид занятия: практическое занятие

Цели :

– обучающая: Составить алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке. Провести первичное закрепление и первичный контроль усвоения алгоритма;

– развивающая: Развивать логическое мышление, вычислительные навыки;

– воспитательная: содействовать воспитанию у студентов самостоятельности, самопознания, самосозидания и самореализации.

Задачи:

Должен знать: нахождение наибольшего и наименьшего значений функции

Должен уметь: применять полученные знания на практике

Формируемые компетенции :

– общие: ОК 1-9

– профессиональные: ПК 1.1. – ПК 4.3.

Обеспечение занятия: карточки, ОК

Внутридисциплинарные связи: занятие по теме «Наибольшее и наименьшее значения функции» связано с такими темами как: «Определение производной ее геометрический и физический смысл», «Производные основных элементарных функций», «Вторая производная, ее физический смысл», «Нахождение скорости и ускорения с помощью производной», «Дифференцирование сложных функций», «Признак постоянства, возрастание и убывание функции», «Экстремумы функции. Исследование функции на экстремум», «Исследование функции с помощью производной», «Применение производной к построению графиков», «Применение производной к исследованию и построению функций», «Выпуклость графика функции, точки перегиба», «Решение упражнений по теме: «Производная и ее приложение»

Методы обучения: активные: словесные, наглядные

Ход занятия

Организация занятия (3 мин. ).

Сообщение темы и целей занятия. (4 мин .)

Актуализация опорных знаний как переход к освоению новых знаний. (7мин .)

Для изучения новой темы нам необходимо повторить пройденный материал. Сделаете вы это, выполнив устно следующие задания. В тетрадь запишите только ответы к каждому пункту. (3мин.)

По графику функции у=f(x) найдите:

1.Область определения функции.

2. Абсциссы точек, в которых f`(x)=0

3. Абсциссы точек, в которых f`(x) не существует.

4. Наибольшее значение функции. (Унаиб.).

5. Наименьшее значение функции (Унаим.).

Преподаватель: Какие точки называются стационарными?

Обучающийся: Стационарными называются точки, в которых производная функции f / (x)=0.

Преподаватель: Чтобы найти стационарные точки надо: найти производную функции f / (x) и решить уравнение f / (x)=0

Сообщение и усвоение новых знаний с закреплением полученных знаний. (41 мин .)

Алгоритм отыскания наименьшего и наибольшего значений непрерывной функции у= f (x ) на отрезке [ a ; b ]

найти f "(x);

найти точки, в которых f "(x)=0 или f "(x) не существует, и отобрать из них те, что лежат внутри отрезка ;

вычислить значения функции y=f "(x) в точках, полученных в п.2, и на концах отрезка и выбрать из них наибольшее и наименьшее; они и будут соответственно наибольшим и наименьшим значениями функции y=f(x) на отрезке , которые можно обозначить так: max y(x) и min y(x).

Пример.

Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Найдем критические точки.

Так как производная функции определена для любого х , решим уравнение

Закрепление нового материала. Решение задач.

1 Вариант.

Найдите У наиб. и У наим. Функции у=2-8x+6 на отрезке[-1;4]

Отбери точки, принадлежащие отрезку [-1;4]

3. Найди у(-1)

2 Вариант.

Найдите У наиб. и У наим. Функции у=+4x-3 на отрезке

Найди стационарные точки, решив уравнение у´=0

Отбери точки, принадлежащие отрезку [-3;2]

3. Найди у(-3)

И в отобранных точках на втором шаге

Отбери среди найденных значений наибольшее и наименьшее.

Решение задания из учебника

Самостоятельная работа

Вариант 1. Определите наибольшее и наименьшее значения функции у= х 2 + 4x на отрезке [-3;6].

Варианты ответа:

а) min y(x)= -12, max y(x)= -5; б) min y(x)= -4, max y(x)= 60; в) min y(x)= -12, max y(x)= 4

[-3;6] [-3;6] [-3;6] [-3;6] [-3;6] [-3;6]

Вариант 2. Определите наибольшее и наименьшее значения функции у= х 2 -2х на отрезке .

Варианты ответа:

а) min y(x)= -1, max y(x)= -3/4; б) min y(x)= -1, max y(x)= 8; в) min y(x)= -3/4, max y(x)= -1

Вариант 3. Определите наибольшее и наименьшее значения функции у= 3х 2 + 6x на отрезке [-2;2].

Варианты ответа:

а) min y(x)= -4, max y(x)= 0; б) min y(x)= -20, max y(x)= 0; в) min y(x)= -3, max y(x)= 24

[-2;2] [-2;2] [-2;2] [-2;2] [-2;2] [-2;2]

Вариант 4. Определите наибольшее и наименьшее значения функции у= 2х 2 - 2х на отрезке [-1;3].

Варианты ответа:

а) min y(x)= -0,5, max y(x)= 12; б) min y(x)= 4, max y(x)= 5; в) min y(x)= 0, max y(x)= 5

[-1;3] [-1;3] [-1;3] [-1;3] [-1;3] [-1;3]

Подведение итогов занятия. (5 мин .)

Чем мы занимались сегодня на уроке?

Что понравилось, какие виды деятельности?

Анализ работы студентов, выставление оценок

Рефлексия занятия. (5 мин.)

Продолжите предложения:

Я сегодня узнал…

Мне была интересна задача…

Самая сложная задача для меня заключалась…

Мне занятие понравилось….

Мне занятие не понравилось…

Задание для внеаудиторной самостоятельной работы. (5 мин. )

С помощью данного сервиса можно найти наибольшее и наименьшее значение функции одной переменной f(x) с оформлением решения в Word . Если же задана функция f(x,y) , следовательно, необходимо найти экстремум функции двух переменных . Также можно найти интервалы возрастания и убывания функции .

Правила ввода функций :

Необходимое условие экстремума функции одной переменной

Достаточное условие экстремума функции одной переменной

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

То точка x * является точкой локального (глобального) минимума функции.

Если в точке x * выполняется условие:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) < 0

То точка x * - локальный (глобальный) максимум.

Пример №1 . Найти наибольшее и наименьшее значения функции: на отрезке .
Решение.

Критическая точка одна x 1 = 2 (f’(x)=0). Эта точка принадлежит отрезку . (Точка x=0 не является критической, так как 0∉).
Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критической точке.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Ответ: f min = 5 / 2 при x=2; f max =9 при x=1

Пример №2 . С помощью производных высших порядков найти экстремум функции y=x-2sin(x) .
Решение.
Находим производную функции: y’=1-2cos(x) . Найдем критические точки: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Находим y’’=2sin(x), вычисляем , значит x= π / 3 +2πk, k∈Z – точки минимума функции; , значит x=- π / 3 +2πk, k∈Z – точки максимума функции.

Пример №3 . Исследовать на экстремум фцнкцию в окрестностях точки x=0.
Решение. Здесь необходимо найти экстремумы функции. Если экстремум x=0 , то выяснить его тип (минимум или максимум). Если среди найденных точек нет x = 0, то вычислить значение функции f(x=0).
Следует обратить внимание, что когда производная с каждой стороны от данной точки не меняет своего знака, не исчерпываются возможные ситуации даже для дифференцируемых функций: может случиться, что для сколь угодно малой окрестности по одну из сторон от точки x 0 или по обе стороны производная меняет знак. В этих точках приходится применять другие методы для исследования функций на экстремум.

С практической точки зрения наибольший интерес представляет использование производной для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции. С чем это связано? Максимизация прибыли, минимизация издержек, определение оптимальной загрузки оборудования... Другими словами, во многих сферах жизни приходится решать задачи оптимизации каких-либо параметров. А это и есть задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции.

Следует отметить, что наибольшее и наименьшее значение функции обычно ищется на некотором интервале X , который является или всей областью определения функции или частью области определения. Сам интервал X может быть отрезком , открытым интервалом , бесконечным промежутком .

В этой статье мы будем говорить о нахождении наибольшего и наименьшего значений явно заданной функции одной переменной y=f(x) .

Навигация по странице.

Наибольшее и наименьшее значение функции - определения, иллюстрации.

Кратко остановимся на основных определениях.

Наибольшим значением функции , что для любого справедливо неравенство .

Наименьшим значением функции y=f(x) на промежутке X называют такое значение , что для любого справедливо неравенство .

Эти определения интуитивно понятны: наибольшее (наименьшее) значение функции – это самое большое (маленькое) принимаемое значение на рассматриваемом интервале при абсциссе .

Стационарные точки – это значения аргумента, при которых производная функции обращается в ноль.

Для чего нам стационарные точки при нахождении наибольшего и наименьшего значений? Ответ на этот вопрос дает теорема Ферма. Из этой теоремы следует, что если дифференцируемая функция имеет экстремум (локальный минимум или локальный максимум) в некоторой точке, то эта точка является стационарной. Таким образом, функция часто принимает свое наибольшее (наименьшее) значение на промежутке X в одной из стационарных точек из этого промежутка.

Также часто наибольшее и наименьшее значение функция может принимать в точках, в которых не существует первая производная этой функции, а сама функция определена.

Сразу ответим на один из самых распространенных вопросов по этой теме:"Всегда ли можно определить наибольшее (наименьшее) значение функции"? Нет, не всегда. Иногда границы промежутка X совпадают с границами области определения функции или интервал X бесконечен. А некоторые функции на бесконечности и на границах области определения могут принимать как бесконечно большие так и бесконечно малые значения. В этих случаях ничего нельзя сказать о наибольшем и наименьшем значении функции.

Для наглядности дадим графическую иллюстрацию. Посмотрите на рисунки – и многое прояснится.

На отрезке

На первом рисунке функция принимает наибольшее (max y ) и наименьшее (min y ) значения в стационарных точках, находящихся внутри отрезка [-6;6] .

Рассмотрим случай, изображенный на втором рисунке. Изменим отрезок на . В этом примере наименьшее значение функции достигается в стационарной точке, а наибольшее - в точке с абсциссой, соответствующей правой границе интервала.

На рисунке №3 граничные точки отрезка [-3;2] являются абсциссами точек, соответствующих наибольшему и наименьшему значению функции.

На открытом интервале

На четвертом рисунке функция принимает наибольшее (max y ) и наименьшее (min y ) значения в стационарных точках, находящихся внутри открытого интервала (-6;6) .

На интервале , о наибольшем значении никаких выводов сделать нельзя.

На бесконечности

В примере, представленном на седьмом рисунке, функция принимает наибольшее значение (max y ) в стационарной точке с абсциссой x=1 , а наименьшее значение (min y ) достигается на правой границе интервала. На минус бесконечности значения функции асимптотически приближаются к y=3 .

На интервале функция не достигает ни наименьшего, ни наибольшего значения. При стремлении к x=2 справа значения функции стремятся к минус бесконечности (прямая x=2 является вертикальной асимптотой), а при стремлении абсциссы к плюс бесконечности, значения функции асимптотически приближаются к y=3 . Графическая иллюстрация этого примера приведена на рисунке №8.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на отрезке .

Запишем алгоритм, позволяющий находить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

1. Находим область определения функции и проверяем, содержится ли в ней весь отрезок .
2. Находим все точки, в которых не существует первая производная и которые содержатся в отрезке (обычно такие точки встечаются у функций с аргументом под знаком модуля и у степенных функций с дробно-рациональным показателем). Если таких точек нет, то переходим к следующему пункту.
3. Определяем все стационарные точки, попадающие в отрезок . Для этого, приравниваем ее к нулю, решаем полученное уравнение и выбираем подходящие корни. Если стационарных точек нет или ни одна из них не попадает в отрезок, то переходим к следующему пункту.
4. Вычисляем значения функции в отобранных стационарных точках (если такие имеются), в точках, в которых не существует первая производная (если такие имеются), а также при x=a и x=b .
5. Из полученных значений функции выбираем наибольшее и наименьшее - они и будут искомыми наибольшим и наименьшим значениями функции соответственно.

Разберем алгоритм при решении примера на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

Пример.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции

• на отрезке ;
• на отрезке [-4;-1] .

Решение.

Областью определения функции является все множество действительных чисел, за исключением нуля, то есть . Оба отрезка попадают в область определения.

Находим производную функции по :

Очевидно, производная функции существует во всех точках отрезков и [-4;-1] .

Стационарные точки определим из уравнения . Единственным действительным корнем является x=2 . Эта стационарная точка попадает в первый отрезок .

Для первого случая вычисляем значения функции на концах отрезка и в стационарной точке, то есть при x=1 , x=2 и x=4 :

Следовательно, наибольшее значение функции достигается при x=1 , а наименьшее значение – при x=2 .

Для второго случая вычисляем значения функции лишь на концах отрезка [-4;-1] (так как он не содержит ни одной стационарной точки):