Расположение корней квадратного уравнения в зависимости от параметра.docx - Факультативное занятие "Расположение корней квадратного уравнения в зависимости от параметра". Исследование расположения корней квадратного трехчлена в заданиях с параметрами
Данные об автореСтукалова Надежда Васильевна
Место работы, должность:
МБОУ СОШ №15,учитель математики
Тамбовская область
Характеристики урока (занятия)
Уровень образования:
Среднее (полное) общее образование
Целевая аудитория:
Учащийся (студент)
Целевая аудитория:
Учитель (преподаватель)
Класс(ы):
Предмет(ы):
Алгебра
Предмет(ы):
Математика
Цель урока:
Тип урока:
Комбинированный урок
Учащихся в классе (аудитории):
Используемые учебники и учебные пособия:
А. Г. Мордкович, алгебра,9 класс, учебник,2011
А. Г. Мордкович, алгебра,9 класс, задачник,2011
С.А. Теляковский, алгебра 9 класс, учебник, 2009
Используемая методическая литература:
Мирошин, В.В. Решение задач с параметрами: Теория и практика / В.В. Мирошин.- М.: Экзамен, 2009.
Л. В Кузнецова Сборник заданий для экзамена
Используемое оборудование:
Компьютер, кинопроектор
Краткое описание:
План урока: 1. Организационный момент. 2. Обобщение и систематизация знаний (вспомнить необходимые и достаточные условия расположения корней квадратного трёхчлена на числовой прямой). 3. Решение задач с параметрами (работа в группах). 4. Самостоятельная работа с последующей проверкой. 5. Подведение итогов. 6. Домашнее задание.
Конспект урока
на тему
«Расположение корней квадратного трёхчлена
в зависимости от значений параметра»
учитель математики Стукалова Н.В. МБОУ СОШ №15
г. Мичуринск - наукоград РФ 2011г.
Цель урока:
Развивать практические умения и навыки учащихся по решению заданий с параметрами;
Подготовить учащихся к успешной сдачи ГИА по математике;
Развивать исследовательскую и познавательную деятельности учащихся;
Формировать интерес к математике;
Развивать математические способности учащихся.
План урока:
1. Организационный момент.
2. Обобщение и систематизация знаний (вспомнить необходимые и достаточные условия расположения корней квадратного трёхчлена на числовой прямой).
3. Решение задач с параметрами (работа в группах).
4. Самостоятельная работа с последующей проверкой.
5. Подведение итогов.
6. Домашнее задание.
Ход урока.
1. Организационный момент.
Учитель сообщает тему урока, ставит цели и задачи перед учащимися, сообщает план урока.
Задачи с параметрами вызывают большие затруднения. Это связано с тем, что решение таких задач требует не только знания свойств функций и уравнений, умения выполнять алгебраические преобразования, но также высокой логической культуры и хорошей техники исследования.
Наш урок посвящен решению задач по расположению корней квадратного трёхчлена на числовой прямой.
2. Обобщение и систематизация знаний:
Вспомнить необходимые и достаточные условия для выполнения различных требований расположения корней квадратного уравнения относительно заданных точек или промежутков.
После ответа учащихся демонстрируются слайды с правильным ответом.
1. Расположение корней по обе стороны от заданной на числовой прямой
точки.
условию х 1 < m<х 2, необходимо и достаточно выполнения неравенства аf(x)<0.
2. Расположение корней по обе стороны от заданного отрезка.
Для того чтобы корни квадратного уравнения при а ≠ 0 удовлетворяли
условию х 1 < m, х 2 < n, где m системы неравенств 3.
Расположение корней с одной стороны от заданной на числовой прямой
Точки.
Для того чтобы корни квадратного уравнения при а ≠ 0 удовлетворяли условию m<х 1 <х 2, т.е располагались на числовой прямой правее точки х = m, необходимо и достаточно выполнения системы неравенств Если левее точки х = m, необходимо и достаточно выполнения системы неравенств 4. Принадлежность корней заданному интервалу.
интервалу (m;n), необходимо и достаточно выполнения системы неравенств 5.Принадлежность корней заданному отрезку.
Для того чтобы корни квадратного уравнения при а ≠ 0 принадлежали интервалу , необходимо и достаточно выполнения системы неравенств 3. Решение задач с параметрами.
Учащиеся разделены на 4 группы. В каждой группе есть дети более успешные в алгебре. Каждая группа начинает решение задачи, совпадающей с номером своей группы. После обсуждения хода решения задачи, от каждой группы по одному представителю выходят к доске и оформляют решение задачи своей группы, и объясняет её решение (на откидных досках). В это время ребята должны решить задачи другой группы (можно получать консультацию у учителя). Задача №1.
При каких значениях параметра а
один корень уравнения (12а + 7)х 2 + (9а - 42)х + +11 - 3а = =0 больше 1, другой корень меньше 1? Решение.
Графиком функции у = f(х), где f(х) = (12а + 7)х 2 + (9а - 42)х + +11 - 3а, при а ≠ - 7/12 является параболой, ветви которой при а > - 7/12 направлены вверх, при а < - 7/12 - вниз. Тогда значения параметра а
удовлетворяют неравенству (12а +)f(1)< 0, где f(1) = 12а+7+9а-42+11-3а = 18а-24. Решив неравенство (12а+7)(18а-24)<0, получим, что - 7/12<а<4/3. Ответ: (-7/12; 4/3). Задача № 2
. Найдите значения параметра а, при которых корни уравнения (1+а)х 2 - 3ах +4а = 0 больше 1. Решение.
При а≠-1 заданное уравнение является квадратным и D= -а(7а+16). Получим систему , откуда -16/7≤а≤ -1. Значения параметра, при которых корни данного уравнения при а ≠ - 1 больше 1, принадлежат промежутку [-16/7; -1). При а = -1 заданное уравнение имеет вид3х - 4 = 0 и единственный корень Ответ: [-16/7; -1] Задача № 3
. При каких значениях параметра kкорни уравнения (k-2)х 2 -2kх+2k-3=0 принадлежат интервалу (0;1)? Решение.
При k≠2 искомые значения параметра должны удовлетворять системе неравенств ГдеD= 4k 2 -4(k-2)(2k-3) = -4(k 2 -7k+6), f(0) = 2k-3? F(1) = k-5, x в = k/(k-2). Данная система не имеет решений. При k = 2 заданное уравнение имеет вид -4х+1 = 0, его единственный корень х = ¼, который принадлежит интервалу (0;1). Задача №4
. При каких значениях а оба корня уравнения х 2 -2ах+а 2 -а = 0 расположены на отрезке? Искомые значения должны удовлетворять системе неравенств где D= 4а 2 -4(а 2 -а) = 4а, f(2) = a 2 -5a+4, f(6) = a 2 -13a+36, х в = а. Единственным решением системы является значение, а = 4. 4.
Самостоятельная работа (контрольно - обучающая).
Учащиеся работают в группах, выполняют один и тот же вариант, так как материал очень сложный и не всем может быть по силам. №1. При каких значениях параметра а оба корня уравнения х 2 -2ах+а 2 - 1 =0 принадлежит интервалу (-2;4)? №2. Найдите все значения k, при которых один корень уравнения (k-5)x 2 -2kx+k-4=0 меньше1, а другой корень больше 2. №3. При каких значениях а число 1 находится между корнями квадратного трехчлена х 2 + (а+1)х - а 2 ? По окончании времени демонстрируются ответы. Осуществляется самопроверка самостоятельной работы. 5.
Итог урока. Закончить предложение.
«Сегодня на уроке…». «Мне запомнилось …». «Хотелось бы отметить …». Учитель анализирует весь ход урока и его основные моменты, оценивает деятельность каждого ученика на уроке. 6. Домашнее задание
(из сборника заданий для подготовки к ГИА в 9 классе авт. Л. В. Кузнецова) Квадратный трехчлен - основная
функция школьной математики - между
прочим, не самая примитивная. Умение
использовать предоставляемые им ресурсы
для решения задач в большой степени
характеризует уровень математического
мышления изучающего школьную алгебру.
В данной работе дается обоснование
этого тезиса и приведены примеры
конкретного применения свойств
квадратичной функции. Стимулирующим
фактором является то обстоятельство,
что при решении какой бы то ни было
задачи с параметрами рано или поздно
приходится (и удается) задачу
переформулировать в терминах квадратного
трехчлена и решить ее с привлечением
свойств этой универсальной функции. Исследование квадратного
трехчлена
Определение
.
Квадратным трехчленом
относительно переменной
x
называется выражение
вида f(x) = ax 2 +
bx + c (1), где a, b, cR,
a0. Квадратный трехчлен - обычный
многочлен степени 2. Спектр вопросов,
формулируемых в терминах квадратного
трехчлена, неожиданно оказывается
чрезвычайно широким. Поскольку задачи,
связанные с исследованием квадратного
трехчлена, занимают традиционно почетное
и видное место в письменных выпускных
школьных и вступительных вузовских
экзаменах, очень важно научить школьника
(будущего абитуриента) неформальному
(то есть творческому) владению
разнообразными приемами и методами
такого исследования. В данной методической
разработке фиксируются основные
утверждения о квадратном трехчлене
(теорема Виета, расположение корней
относительно заданных точек числовой
оси, техника обращения с дискриминантом),
решаются задачи различных типов и
разных уровней сложности. Главный
идеологический вывод заключается в
том, что в школьной математике существуют
насыщенные глубоким содержанием
фрагменты, доступные учащемуся и не
требующие привлечения средств
математического анализа и иных разделов
так называемой “высшей математики”. Графиком трехчлена (1) является
парабола; при a 0 - вверх. Расположение
параболы относительно оси Ox зависит от
значения дискриминанта D = b 2
- 4ac: при D>0 имеются две
точки пересечения параболы с осью Ox
(два различных действительных корня
трехчлена); при D=0 - одна точка (двукратный
действительный корень); при D 0 - выше оси Ox).
Стандартным приемом является следующее
представление трехчлена (с помощью
выделения полного квадрата): f(x) = ax 2
+ bx + c =
=
.
Это представление позволяет легко
строить график посредством линейных
преобразований графика функции y=x 2 ;
координаты вершины параболы:
. Это же преобразование позволяет
сразу решить простейшую задачу на
экстремум: найти наибольшее (при a 0) значение функции
(1); экстремальное значение достигается
в точке
и равно
. Одно из основных суждений о
квадратном трехчлене – Теорема 1 (Виета)
.
Если x 1 , x 2
- корни трехчлена (1), то
(формулы Виета). С помощью теоремы Виета можно
решать многие задачи, в частности, те,
в которых требуется сформулировать
условия, определяющие знаки корней. Две
следующие теоремы являются непосредственными
следствиями теоремы Виета. Теорема 2
. Для
того, чтобы корни квадратного трехчлена
(1) были действительны и имели одинаковые
знаки, необходимо и достаточно выполнение
следующих условий: D = b 2 -
4ac
0, x 1 x 2
=
> 0, при этом оба корня положительны
при x 1 + x 2
=
> 0, и оба корня отрицательны при x 1
+ x 2 =
Теорема 3
. Для
того, чтобы корни квадратного трехчлена
(1) были действительны и имели различные
знаки, необходимо и достаточно выполнение
следующих условий: D=b 2 -
4ac > 0, x 1 x 2
=
при этом положительный корень
имеет больший модуль при x 1
+ x 2 =
> 0, и отрицательный корень имеет
больший модуль при x 1 +
x 2 =
Доказываемые ниже теоремы и
следствия эффективно могут (и значит,
должны) применяться при решении задач
с параметрами. Теорема 4
. Для
того, чтобы оба корня квадратного
трехчлена (1) были меньше, чем число M, то
есть на числовой прямой корни лежат
левее точки M, необходимо и достаточно
выполнение следующих условий: ,
или, объединяя условия,
(рис. 1,а и 1,б). Доказательство
. Необходимость
.
Если трехчлен (1) имеет действительные
корни x 1 и
x 2 (может
быть, совпадающие), x 1
x 2 и x 1
,
(x 1 - M) (x 2
- M) > 0, x 1 +
x 2 0, M >
(x 1 + x 2)/2.
По формулам Виета
,
поэтому
,
или
,
ч.т.д. Достаточность
- противоречие с условием. Если же
,
то (x 1 - M)(x 2
- M)0,
x 1 x 2
- (x 1 + x 2)M
+ M 2
0, откуда
,
af(M)
0
- вновь противоречие с условием; остается
только возможность x 1 Теорема 5
. Для
того, чтобы один из корней квадратного
трехчлена (1) был меньше, чем число M, а
другой больше, чем число M, то есть точка
M лежала бы в интервале между корнями,
необходимо и достаточно выполнение
следующих условий: ,
или, объединяя условия, af(M) (рис.
2,а и 2,б). Доказательство
. Необходимость
.
Если трехчлен (1) имеет действительные
корни x 1 и
x 2 , x 1 M , то (x 1
- M)(x 2 -
M),
поэтому
,
или af(M)
Достаточность
.
Пусть af(M) ,
или
,
,
тогда (x 1 -
M)(x 2 - M)0, x 1 x 2
- (x 1 +
x 2)M + M 2
0, откуда
,
af(M)0
- противоречие с условием; остается
только возможность
,
что и требуется доказать. Теорема
доказана. Теорема 6
. Для
того, чтобы оба корня квадратного
трехчлена (1) были больше, чем число M, то
есть на числовой прямой корни лежат
правее точки M, необходимо и достаточно
выполнение следующих условий: ,
или, объединяя условия,
(рис.
3,а и 3,б). Доказательство
.
Необходимость
.
Если трехчлен (1) имеет действительные
корни x 1 и
x 2 (может
быть, совпадающие), x 1
x 2 и x 1
> M, x 2 >
M , то
,
(x 1 -M)(x 2 -M)>0,
x 1 + x 2
> 2M; иначе x 1 x 2
- (x 1 + x 2)M
+ M 2 > 0, M ,
поэтому
,
или
,
ч.т.д. Достаточность
.
Пусть
.
Рассуждаем от противного. Предположим,
что
,
,
тогда
- противоречие с условием. Если же
,
то (x 1 - M)(x 2
- M)0,
x 1 x 2
- (x 1 + x 2)M
+ M 2
0, откуда
,
af(M)
0
- вновь противоречие с условием; остается
только возможность x 1 >
M, x 2 > M, что
и требуется доказать. Теорема доказана. Следствие 1
. Для
того, чтобы оба корня квадратного
трехчлена (1) были больше, чем число M, но
меньше, чем число N (M ,
или, объединяя условия,
(рис.
4,а и 4,б). Следствие 2
. Для
того, чтобы только больший корень
квадратного трехчлена (1) принадлежал
интервалу (M,N), где M ,
или, объединяя условия,
меньший
корень при этом лежит вне отрезка (рис.
5,а и 5,б). Следствие 3
. Для
того, чтобы только меньший корень
квадратного трехчлена (1) принадлежал
интервалу (M,N), где M ,
или, объединяя условия,
; больший
корень при этом лежит вне отрезка (рис. 6,а и 6,б). Следствие 4
. Для
того, чтобы один из корней квадратного
трехчлена (1) был меньше, чем M, а другой
больше, чем N (M ,
или, объединяя условия,
(рис. 7,а и 7,б). Разумеется, аналитическая и
геометрическая интерпретации результатов
теорем 4-6 и следствий 1-4 эквивалентны,
и стратегической целью является выработка
навыков точного перевода с одного языка
на другой. Особенно важно продемонстрировать,
как “визуализация” (“графический
взгляд”) помогает безошибочно записать
формальные условия, необходимые и
достаточные для выполнения требований
задачи. Укажем типичные задачи, решаемые
с помощью доказанных теорем (более общо
- решаемые на основании свойств квадратного
трехчлена). Задача 1
. Найдите
все значения a, при которых уравнения
x 2 +ax+1=0 и
x 2 +x+a=0 имеют
хотя бы один общий корень. Решение
. Оба
уравнения имеют в точности одинаковые
корни в том и только том случае, если
коэффициенты соответствующих квадратных
трехчленов совпадают (многочлен второй
степени полностью определяется двумя
своими корнями и при этом соответственные
коэффициенты этих многочленов равны),
отсюда получаем a=1. Однако, если учитывать
только действительные корни, то при a=1
таковых нет (дискриминант соответствующего
трехчлена отрицателен). При a1
рассуждаем так: если x 0
- корень обоих уравнений f(x)=0 и g(x)=0, то
x 0 будет
корнем уравнения f(x)-g(x)=0 (это только
необходимое, но не достаточное условие
существования общего корня двух уравнений
f(x)=0 и g(x)=0, так как уравнение f(x) - g(x)=0
является их следствием
);
вычтем из первого уравнения второе, и
получим (x 2 +
ax + 1) - (x 2 + x
+ a) = 0, x(a-1) - (a-1)=0, откуда, поскольку a1,
x=1. Таким образом, если
заданные уравнения имеют
общий корень, то он равен 1
.
Подставим x = 1 в первое уравнение: 1 + a +
1 = 0, и a = -2. Ответ
. a = -2. Задача 2
. При каких
a сумма квадратов корней уравнения x 2
- ax + a – 1 = 0 будет наименьшей? Решение
. По теореме
Виета
, x 1 +
x 2 = a, x 1 x 2
= a - 1. Имеем: x 1 2
+ x 2 2
= (x 1 +x 2) 2
- 2x 1 x 2
= a 2
- 2(a-1) = a 2
- 2a + 2 = (a-1) 2
+ 1
1 и
=1 при
a=1. Ответ
. a
= 1. Задача 3
. Существуют
ли такие a, что корни многочлена
f(x)=x 2 +2x+a
действительны, различны и оба заключены
между -1 и 1? Решение
. Для того,
чтобы оба корня x 1
и x 2 трехчлена
f(x) были заключены между -1 и 1, необходимо,
чтобы между -1 и 1 было заключено среднее
арифметическое этих корней:
;
но, по теореме Виета
,
,
поэтому Ответ
. Нет. Задача 4
. При каких
значениях параметра a оба корня квадратного
уравнения x 2 +(2a+6)x
+ 4a + 12 = 0 действительны и оба больше -1? Решение
. Теорема
6
дает: ,
,
,
. Ответ
.
. Задача 5
. При каких
значениях параметра a оба корня квадратного
уравнения x 2 +4ax+
(1-2a+4a 2) = 0
действительны и оба меньше -1? Решение
. Теорема
4
дает: ,
,
,
a>1. Ответ
. a
> 1. Задача 6
. При каких
значениях параметра a один корень
квадратного уравнения f(x) = (a-2)x 2
- 2(a+3)x + 4a = 0 больше 3, а другой меньше 2? Решение
. Заметим
сразу, что a2
(иначе уравнение имело бы только один
корень). Применим следствие
4
(здесь M=2, N=3): При каком значении параметра a один корень уравнения больше 1, а другой меньше 1? Рассмотрим функцию - Цель работы:
Задачи:
Гипотеза:
Использование графического метода в нетрадиционных задачах с параметром упрощает математические выкладки и является рациональным способом решения. тогда и только тогда: 1. Оба корня меньше числа А, 2. Корни лежат по разные стороны от числа А, тогда и только тогда: тогда и только тогда: 3. Оба корня больше числа А, то есть Найти все значения параметра а, для которых один корень уравнения больше 1, а другой меньше 1. При каких значениях параметра уравнение имеет два различных корня одного знака? -6
-2
3
a
1. Оба корня лежат между точками A и B , то есть тогда и только тогда: 2. Корни лежат по разные стороны от отрезка тогда и только тогда: 3. Один корень лежит вне отрезка, а другой на нем, то есть тогда и только тогда: Исследуйте уравнение на количество корней в зависимости от параметра. уравнение не имеет решений. имеет одно решение. Исследуйте уравнение на количество корней в зависимости от параметра. Если один корень лежит на отрезке, а другой слева от него. Если один корень лежит на отрезке, а другой справа от него. первоначальное уравнение будет иметь два различных корня. при которых уравнение имеет три различных корня. Ответ: при при которых первоначальное уравнение будет иметь два различных корня. уравнение имеет четыре различных корня. Изучение многих физических и геометрических
закономерностей часто приводит к решению задач с
параметрами. Некоторые ВУЗы также включают в
экзаменационные билеты уравнения, неравенства и
их системы, которые часто бывают весьма сложными
и требующими нестандартного подхода к решению. В
школе же этот один из наиболее трудных разделов
школьного курса алгебры рассматривается только
на немногочисленных факультативных или
предметных курсах. В данной работе рассматривается и
исследуется задача второго типа применительно к
корням квадратного трехчлена, нахождение
которых сводится к решению квадратного
уравнения. 1. Что такое параметр
Выражение вида aх
2 + bх + c
в
школьном курсе алгебры называют квадратным
трехчленом относительно х,
где a, b,
c –
заданные действительные числа, причем, a
=/= 0.
Значения переменной х, при которых выражение
обращается в нуль, называют корнями квадратного
трехчлена. Для нахождения корней квадратного
трехчлена, необходимо решить квадратное
уравнение aх
2 + bх + c =
0. Определение.
Параметром называется
независимая переменная, значение которой в
задаче считается заданным фиксированным или
произвольным действительным числом, или числом,
принадлежащим заранее оговоренному множеству.
2. Основные типы и методы решения задач с
параметрами
Среди задач с параметрами можно выделить
следующие основные типы задач. Например, найти значения параметра, при которых
корни уравнения (a –
2)х
2
–
2aх
+ a +
3 =
0
положительные. Аналитический
– это способ так
называемого прямого решения, повторяющего
стандартные процедуры нахождения ответа в
задачах без параметра. Рассмотрим пример такой
задачи. Задача № 1
При каких значениях параметра а уравнение х
2
–
2aх + a
2
– 1 = 0 имеет два
различных корня, принадлежащих промежутку (1; 5)? Решение
х
2 –
2aх + a
2 –
1 = 0. Ответ: 2 < а
< 4. Графический
– это способ, при котором
используют графики в координатной плоскости (х;у)
или (х;а). Наглядность и красота такого способа
решения помогает найти быстрый путь решения
задачи. Решим задачу № 1 графическим способом. Теперь осталось «зафиксировать»
параболу в нужном положении необходимыми
условиями. Итак, переходя от геометрической модели задачи
к аналитической, получаем систему неравенств. Ответ: 2 < а
< 4. Как видно из примера, графический способ
решения задач рассматриваемого типа возможен в
случае, когда корни «нехорошие», т.е. содержат
параметр под знаком радикала (в этом случае
дискриминант уравнения не является полным
квадратом). А каким еще возможным условиям могут
удовлетворять корни квадратного трехчлена при
искомых значениях параметра?
Уравнения содержащие параметр. 3. Дискриминант D=b2−4ac показывает, пересекается ли парабола с Утверждение 4: Оба корня лежат между точками А и В, то есть А < х1 < 2 группа:
На мой взгляд, функционально-графический метод
является удобным и быстрым способом решения
уравнений с параметром.
Как известно, в отношении уравнений с
параметрами встречаются две постановки задачи.
Автор надеется, что данная работа поможет
учителям при разработке уроков и при
подготовке учащихся к ЕГЭ.
Вспомним из школьного курса алгебры основные
уравнения aх + b =
0;
aх2 + bх + c = 0.
При поиске их корней, значения
переменных a, b, c,
входящих в уравнение
считаются фиксированными и заданными. Сами
переменные называют параметром. Поскольку, в
школьных учебниках нет определения параметра, я
предлагаю взять за основу следующий его
простейший вариант.
Основные способы решения задач с параметром:
аналитический и графический.
По условию задачи уравнение должно иметь два
различных корня, а это возможно лишь при условии:
Д > 0.
Имеем: Д = 4a
2 – 2(а
2 – 1) = 4.
Как видим дискриминант не зависит от а,
следовательно, уравнение имеет два различных
корня при любых значениях параметра а. Найдем
корни уравнения: х
1 = а
+ 1, х
2
= а
– 1
Корни уравнения должны принадлежать промежутку
(1; 5), т.е.
Итак, при 2 < а
< 4 данное уравнение имеет
два различных корня, принадлежащих промежутку (1;
5)
Такой подход к решению задач рассматриваемого
типа возможен и рационален в тех случаях, когда
дискриминант квадратного уравнения «хороший»,
т.е. является точным квадратом какого либо числа
или выражения или корни уравнения можно найти по
теореме обратной т.Виета. Тогда, и корни не
представляют собой иррациональных выражений. В
противном случае решения задач такого типа
сопряжено с достаточно сложными процедурами с
технической точки зрения. Да и решение
иррациональных неравенств требует от ученика
новых знаний.
Как известно из курса алгебры корни квадратного
уравнения (квадратного трехчлена) являются
нулями соответствующей квадратичной функции: У = х
2
– 2ах
+ а
2 – 1. Графиком функции
является парабола, ветви направлены вверх
(первый коэффициент равен 1). Геометрическая
модель, отвечающая всем требованиям задачи,
выглядит так.
1 <х
о < 5.
Во втором способе решения мы работали с
коэффициентами уравнения и областью значения
функции у
= х
2 – 2ах
+ а
2
– 1.
Такой способ решения нельзя назвать только
графическим, т.к. здесь приходится решать систему
неравенств. Скорее этот способ комбинированный:
функционально-графический. Из этих двух способов
последний является не только изящным, но и
наиболее важным, так как в нем просматриваются
взаимосвязь между всеми типами математической
модели: словесное описание задачи,
геометрическая модель – график квадратного
трехчлена, аналитическая модель – описание
геометрической модели системой неравенств.
Итак, мы рассмотрели задачу, в которой корни
квадратного трехчлена удовлетворяют заданным
условиям в области определения при искомых
значениях параметра.
Урок 2: Расположение корней квадратного уравнения в зависимости
от параметра.
Цель: Формировать умение распознавать положение параболы в
зависимости от ее коэффициентов.
I.
Объяснение нового материала.
Ход урока
Решение многих задач с параметрами, предлагаемых на экзаменах, в
частности, на ЕГЭ по математике, требует умения правильно
формулировать необходимые и достаточные условия, соответствующие
различным случаям расположения корней квадратного трёхчлена на
числовой оси.
Рассмотрим пример: найдите все значения параметра с, при которых оба
меньше, чем – 1.
1
2). Теперь нужно
Уравнение имеет два различных корня при D > 0 (с >
составить систему уравнений когда х1>−1 и х2>−1 . Ее будет
достаточно сложно решить.
Для решения заданий такого типа существует специальный метод.
Сначала рассмотрим квадратичную функцию f(x) = ax2+bx+c,a≠0.
Запишем ее в виде f(x)=a(x+ b
2a)
Вспомним основные характеристики параболы, позволяющие построить ее
график. При решении заданий с параметрами эти характеристики
применяются в другом контексте.
+ 4ac−b2
4a
2
.
1. Прямая x=−b
2a – ось параболы, которая является одновременно
осью ее симметрии. Вершиной параболы является точка (
−b
2a
;4ac−b2
4a).
2. Знак числа а показывает, куда направлены ветви параболы: если а >
0, то вверх, если а < 0, то вниз.
осью абсцисс.
Объединим вышесказанное в таблице:
Расположение графика по отношению к оси абсцисс в зависимости от
знаков коэффициента а и дискриминанта.
а > 0
а < 0
D > 0
D = 0
D < 0
Утверждение 1: Оба корня меньше числа А, то есть х1 < А и х2 < А тогда
и только тогда, когда { D>0,
a>0,
x0f(A)>0
или { D>0,
a<0,
x0f(A)<0.
Утверждение 2: Корни лежат по разные стороны от числа А, то есть х1 <
А < х2 , тогда и только тогда, когда { a>0,
системы можно заменить формулой a⋅f(A)<0.
f(A)<0 или { a<0,
f(A)>0.
Эти две
Утверждение 3: Оба корня больше числа А, то есть х1 > А и х2 > А, тогда
и только тогда, когда { D>0,
a>0,
x0>A,
f(A)>0
или { D>0,
a<0,
x0>A,
f(A)<0.
a<0,
А<х0<В,
f(A)<0,
f(В)<0.
a>0,
А<х0<В,
f(A)>0,
f(В)>0
В и А < х2 < В, тогда и только тогда, когда { D>0,
> х2 и А < х1 < В, тогда и только тогда, когда { a>0,
> х2 и А < х2 < В, тогда и только тогда, когда { a>0,
или { D>0,
f(В)>0 или { a<0,
или { a<0,
f(A)>0,
f(В)<0
f(A)>0,
f(В)<0.
f(A)<0,
f(В)>0.
f(A)<0,
Утверждение 5: Больший корень лежит между точками А и В, то есть х1
Утверждение 6: Меньший корень лежит между точками А и В, то есть х1
Утверждение 7: Корни лежат по разные стороны от отрезка
есть х1 < А < В < х2, тогда и только тогда, когда { a>0,
f(A)<0,
f(В)<0
или { a<0,
f(A)>0,
f(В)>0.
[А;В]
, то
Вернемся к примеру1: найдите все значения параметра с, при которых оба
корня квадратного уравнения х2+4сх+(1−2с+4с2)=0 различны и
меньше, чем – 1. (Для решения необходимо воспользоваться утверждением
1.)
Пример 2: При каких действительных значениях k оба корня (в том числе
кратных) уравнения (1 + k)х2 – 3kх + 4k = 0 больше 1? (Для решения
необходимо воспользоваться утверждением 3.)
II. Закрепление пройденного материала. Практическая работа в
группах.
1 группа:
1. При каких значениях k число 2 находится между корнями уравнения 2х2
1
2 х + (k – 3)(k + 5) = 0?
–
2. При каких значениях параметра а оба корня уравнения х2 – ах + 2 = 0
лежат в интервале (0; 3)?
1. При каких значениях k число 3 находится между корнями уравнения х2
+
х + (k – 1)(k + 7) = 0?
2. Существуют ли такие значения параметра а, что корни уравнения х2 +
2х + а = 0 лежат между – 1 и 1?
3 группа:
1. Найдите множество значений параметра k, при число 2 находится
между корнями уравнения 9х2 – 6х – (k – 2)(k + 2) = 3.
2. При каких значениях параметра а все решения уравнения (а – 1)х2 – (а +
1)х + а = 0 имеет единственное решение удовлетворяющее условию 0 <
x < 3?
III. Домашняя работа.
1. При каких значениях параметра а оба корня уравнения (а + 4)х2 – 2(а +
2)х + 3(а + 6) = 0 положительны?
2. При каких значениях параметра а оба корня уравнения (а – 3)х2 – 3(а –
4)х + 4а – 16 = 0 принадлежат интервалу (2; 5)?
3. При каких значениях параметра а один из корней уравнения 2ах2 – 2х –
3а – 2 = 0 больше 1, а другой меньше 1?