Как найти дополнительный множитель дроби пример. Приведение дробей к общему знаменателю

При сложении и вычитании алгебраический дробей с разными знаменателями сначала дроби приводят к общему знаменателю . Это значит, находят такой один знаменатель, который делится на исходный знаменатель каждой алгебраической дроби, входящей в состав данного выражения.

Как известно, если числитель и знаменатель дроби умножить (или разделить) на одно и то же число, отличное от нуля, то значение дроби не изменится. Это является основным свойством дроби. Поэтому, когда дроби приводят к общему знаменателю, по-сути умножают исходный знаменатель каждой дроби на недостающий множитель до общего знаменателя. При этом надо умножить на этот множитель и числитель дроби (для каждой дроби он свой).

Например, дана такая сумма алгебраических дробей:

Требуется упростить выражение, т. е. сложить две алгебраические дроби. Для этого в первую очередь надо привести слагаемые-дроби к общему знаменателю. Первым делом следует найти одночлен, который делится и на 3x и на 2y. При этом желательно, чтобы он был наименьший, т. е. найти наименьшее общее кратное (НОК) для 3x и 2y.

Для числовых коэффициентов и переменных НОК ищется отдельно. НОК(3, 2) = 6, а НОК(x, y) = xy. Далее найденные значения перемножаются: 6xy.

Теперь надо определить, на какой множитель надо умножить 3x, чтобы получить 6xy:
6xy ÷ 3x = 2y

Значит, при приведении первой алгебраической дроби к общему знаменателю ее числитель надо умножить на 2y (знаменатель уже был умножен при приведении к общему знаменателю). Аналогично ищется множитель для числителя второй дроби. Он будет равен 3x.

Таким образом, получаем:

Далее уже можно действовать как с дробями с одинаковыми знаменателями: складываются числители, а в знаменателе пишется один общий:

После преобразований получается упрощенное выражение, представляющее собой одну алгебраическую дробь, являющуюся суммой двух исходных:

Алгебраические дроби в исходном выражении могут содержать знаменатели, представляющие собой многочлены, а не одночлены (как в приведенном выше примере). В таком случае, перед поиском общего знаменателя следует разложить знаменатели на множители (если это возможно). Далее общий знаменатель собирается из разных множителей. Если множитель есть в нескольких исходных знаменателях, то его берут единожды. Если множитель имеет разные степени в исходных знаменателях, то его берут с большей. Например:

Здесь многочлен a 2 – b 2 можно представить как произведение (a – b)(a + b). Множитель 2a – 2b раскладывается как 2(a – b). Таким образом, общий знаменатель будет равен 2(a – b)(a + b).

В данном материале мы разберем, как правильно приводить дроби к новому знаменателю, что такое дополнительный множитель и как его найти. После этого сформулируем основное правило приведения дробей к новым знаменателям и проиллюстрируем его примерами задач.

Понятие приведения дроби к другому знаменателю

Вспомним основное свойство дроби. Согласно ему, обыкновенная дробь a b (где a и b – любые числа) имеет бесконечное количество дробей, которые равны ей. Такие дроби можно получить, умножив числитель и знаменатель на одинаковое число m (натуральное). Иными словами, все обыкновенные дроби могут быть заменены другими вида a · m b · m . Это и есть приведение исходного значения к дроби с нужным знаменателем.

Привести дробь к другому знаменателю можно, умножив ее числитель и знаменатель на любое натуральное число. Главное условие – множитель должен быть одинаков для обоих частей дроби. В итоге получится дробь, равная исходной.

Проиллюстрируем это примером.

Пример 1

Привести дробь 11 25 к новому знаменателю.

Решение

Возьмем произвольное натуральное число 4 и умножим обе части исходной дроби на него. Считаем: 11 · 4 = 44 и 25 · 4 = 100 . В итоге получилась дробь 44 100 .

Все подсчеты можно записать в таком виде: 11 25 = 11 · 4 25 · 4 = 44 100

Выходит, любую дробь можно привести к огромному количеству разных знаменателей. Вместо четверки мы могли бы взять другое натуральное число и получить еще одну дробь, эквивалентную исходной.

Но не любое число может стать знаменателем новой дроби. Так, для a b в знаменателе могут стоять только числа b · m , кратные числу b . Вспомните основные понятия деления – кратные числа и делители. Если число не кратно b , но делителем новой дроби оно быть не может. Поясним нашу мысль примером решения задачи.

Пример 2

Вычислить, возможно ли приведение дроби 5 9 к знаменателям 54 и 21 .

Решение

54 кратно девятке, которая стоит в знаменателе новой дроби (т.е. 54 можно разделить на 9). Значит, такое приведение возможно. А 21 мы разделить на 9 не можем, поэтому такое действие для данной дроби выполнить нельзя.

Понятие дополнительного множителя

Сформулируем, что такое дополнительный множитель.

Определение 1

Дополнительный множитель представляет собой такое натуральное число, на которое умножают обе части дроби для приведения ее к новому знаменателю.

Т.е. когда мы выполняем это действие с дробью, мы берем для нее дополнительный множитель. Например, для приведения дроби 7 10 к виду 21 30 нам потребуется дополнительный множитель 3 . А получить дробь 15 40 из 3 8 можно с помощью множителя 5 .

Соответственно, если мы знаем знаменатель, к которому необходимо привести дробь, то мы можем вычислить для нее и дополнительный множитель. Разберем, как это сделать.

У нас есть дробь a b , которую можно привести к некоторому знаменателю c ; вычислим дополнительный множитель m . Нам надо произвести умножение знаменателя исходной дроби на m . У нас получится b · m , а по условию задачи b · m = c . Вспомним, как связаны между собой умножение и деление. Эта связь подскажет нам следующий вывод: дополнительный множитель есть не что иное, как частное от деления c на b , иначе говоря, m = c: b .

Таким образом, для нахождения дополнительного множителя нам нужно разделить требуемый знаменатель на исходный.

Пример 3

Найдите дополнительный множитель, с помощью которого дробь 17 4 была приведена к знаменателю 124 .

Решение

Используя правило выше, мы просто разделим 124 на знаменатель первоначальной дроби – четверку.

Считаем: 124: 4 = 31 .

Выполнять расчеты такого типа часто требуется при приведении дробей к общему знаменателю.

Правило приведения дробей к указанному знаменателю

Перейдем к определению основного правила, с помощью которого можно привести дроби к указанному знаменателю. Итак,

Определение 2

Для приведения дроби к указанному знаменателю нужно:

определить дополнительный множитель;
умножить на него и числитель, и знаменатель исходной дроби.

Как применить это правило на практике? Приведем пример решения задачи.

Пример 4

Выполните приведение дроби 7 16 к знаменателю 336 .

Решение

Начнем с вычисления дополнительного множителя. Разделим: 336: 16 = 21 .

Полученный ответ умножаем на обе части исходной дроби: 7 16 = 7 · 21 16 · 21 = 147 336 . Так мы привели исходную дробь к нужному знаменателю 336 .

Ответ: 7 16 = 147 336 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Знаменателем арифметической дроби a / b называют число b, показывающее размеры долей единицы, из которых составлена дробь. Знаменателем алгебраической дроби A / B называют алгебраическое выражение B. Для выполнения арифметических действий с дробями их необходимо привести к наименьшему общему знаменателю.

Вам понадобится

Для работы с алгебраическими дробями при нахождении наименьшего общего знаменателя необходимо знать методы разложения многочленов на множители.

Инструкция

Рассмотрим приведение к наименьшему общему знаменателю двух арифметических дробей n/m и s/t, где n, m, s, t – целые числа. Понятно, что эти две дроби можно привести к любому знаменателю, делящемуся на m и на t. Но стараются привести к наименьшему общему знаменателю. Он равен наименьшему общему кратному знаменателей m и t данных дробей. Наименьшее кратное (НОК) чисел – это наименьшее , делящееся одновременно на все заданные числа. Т.е. в нашем случае необходимо найти наименьшее общее кратное чисел m и t. Обозначается как НОК (m, t). Далее дроби умножаются на соответствующие : (n/m) * (НОК (m, t) / m), (s/t) * (НОК (m, t) / t).

Приведем нахождения наименьшего общего знаменателя трех дробей: 4/5, 7/8, 11/14. Для начала разложим знаменатели 5, 8, 14 : 5 = 1 * 5, 8 = 2 * 2 * 2 = 2^3, 14 = 2 * 7. Далее вычисляем НОК (5, 8, 14), перемножая все числа, входящие хотя бы в одно из разложений. НОК (5, 8, 14) = 5 * 2^3 * 7 = 280. Заметим, что если множитель встречается в разложении нескольких чисел (множитель 2 в разложении знаменателей 8 и 14), то берем множитель в большей степени (2^3 в нашем случае).

Итак, общий получен. Он равен 280 = 5 * 56 = 8 * 35 = 14 * 20. Здесь мы получаем числа, на которые надо умножить дроби с соответствующими знаменателями, чтобы привести их к наименьшему общему знаменателю. Получаем 4/5 = 56 * (4/5) = 224 / 280, 7/8 = 35 * (7/8) = 245/280, 11/14 = 20 * (11/14) = 220/280.

Приведение к наименьшему общему знаменателю алгебраических дробей выполняется по аналогии с арифметическими . Для наглядности рассмотрим задачу на примере. Пусть даны две дроби (2 * x) / (9 * y^2 + 6 * y + 1) и (x^2 + 1) / (3 * y^2 + 4 * y + 1). Разложим на множители оба знаменателя. Заметим, что знаменатель первой дроби представляет собой полный квадрат: 9 * y^2 + 6 * y + 1 = (3 * y + 1)^2. Для

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо: 1) найти наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей, оно и будет наименьшим общим знаменателем. 2) найти для каждой из дробей дополнительный множитель, для чего делить новый знаменатель на знаменатель каждой дроби. 3) умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.

Примеры. Привести следующие дроби к наименьшему общему знаменателю.

Находим наименьшее общее кратное знаменателей: НОК(5; 4)=20, так как 20 — самое меньшее число, которое делится и на 5 и на 4. Находим для 1-й дроби дополнительный множитель 4 (20: 5=4). Для 2-й дроби дополнительный множитель равен 5 (20: 4=5). Умножаем числитель и знаменатель 1-й дроби на 4, а числитель и знаменатель 2-й дроби на 5. Мы привели данные дроби к наименьшему общему знаменателю (20 ).

Наименьший общий знаменатель этих дробей — число 8, так как 8 делится на 4 и на само себя. Дополнительного множителя к 1-й дроби не будет (или можно сказать, что он равен единице), ко 2-й дроби дополнительный множитель равен 2 (8: 4=2). Умножаем числитель и знаменатель 2-й дроби на 2. Мы привели данные дроби к наименьшему общему знаменателю (8 ).

Данные дроби не являются несократимыми.

Сократим 1-ю дробь на 4, а 2-ю дробь сократим на 2. (см. примеры на сокращение обыкновенных дробей: Карта сайта → 5.4.2. Примеры сокращения обыкновенных дробей ). Находим НОК(16; 20)=2 4 · 5=16· 5=80. Дополнительный множитель для 1-й дроби равен 5 (80: 16=5). Дополнительный множитель для 2-й дроби равен 4 (80: 20=4). Умножаем числитель и знаменатель 1-й дроби на 5, а числитель и знаменатель 2-й дроби на 4. Мы привели данные дроби к наименьшему общему знаменателю (80 ).

Находим наименьший общий знаменатель НОЗ(5; 6 и 15)=НОК(5; 6 и 15)=30. Дополнительный множитель к 1-й дроби равен 6 (30: 5=6), дополнительный множитель ко 2-й дроби равен 5 (30: 6=5), дополнительный множитель к 3-ей дроби равен 2 (30: 15=2). Умножаем числитель и знаменатель 1-й дроби на 6, числитель и знаменатель 2-й дроби на 5, числитель и знаменатель 3-ей дроби на 2. Мы привели данные дроби к наименьшему общему знаменателю (30 ).

Страница 1 из 1 1